A numerical method for solving the coefficient inverse problem for diffusion-convection-reaction equation.pdf Известно, что для изучения многих динамических процессов в классической и магнитной гидродинамике, космической отрасли и физике космоса, ракетостроении, химической промышленности, полупроводниковых технологиях, экологии, теплопередаче, акустике и т. д. пользуются одномерным нестационарным уравнением диффузии - конвекции - реакции [1-4 ] ди ди д ди --+v(x, t)--+ у(х, t)u =- (k(x, t)-) + f (x, t), 0 < х < l, 0 < t < T , (1) дt дх дх дх где u(х, t)- физическая величина (масса, импульс, энергия и т.д.), v(х, t)- коэффициент конвективного переноса (скорость конвекции), у( х, t)- кинетический коэффициент реакции, к(х, t)- коэффициент диффузии. Слагаемое у(х, t)и описывает поглощения или выделения физической величины, а слагаемое f (х, t) описывает действие внешнего источника. В настоящей работе рассматриваются две коэффициентные обратные задачи для уравнения (1) по определению коэффициента конвективного переноса и кинетического коэффициента реакции, представляя их функциями лишь от временной переменной. Общим методам решения обратных задач для уравнений математической физики посвящены [5-7]. Вопросы существования и единственности, а также разрешимости некоторых коэффициентных обратных задач для параболических уравнений исследованы в [8-11]. Ряд работ посвящен численному исследованию проблемы восстановления младших коэффициентов, входящих в одномерное уравнение диффузии - конвекции - реакции [12-16]. В данной работе для решения обратной задачи по восстановлению младших коэффициентов в уравнении диффузии - конвекции - реакции предлагается численный метод, основанный на использовании явно-неявной схемы при дискретизации данного уравнения. Постановка задачи и метод решения Задача А. Пусть рассматривается нестационарное уравнение диффузии - конвекции - реакции ды ды д ды --+ v(t)--+ у(х,t)u =-(k(x,t)-) + f (x,t), 0 < х < l, 0 < t < T , (2) 3t дх дх дх со следующими начальным и граничным условиями: ы(х,0) = ф(х), 0 < х < l; (3) ы(0, t) = 0(t), 0 < t < T ; (4) ы (l, t) = r (t), 0 < t < T . (5) Коэффициент конвективного переноса считается непрерывной и ограниченной функцией переменной t: v = v(t). Известно, что прямая задача для уравнения (2) состоит в определении функций ы(х, t) из уравнения (2) с заданными коэффициентами v(t), у(х, t), k(х, t), правой частью f (х,t) и дополнительными условиями (3) - (5). Предположим, что помимо функции ы(х, t) неизвестной является также функция v(t). Требуется восстановление этой функции по следующему интегральному условию переопределения: i | ы (х, ^ёх = E(t), 0 < t < T , (6) 0 где E (t) - заданная функция. Предполагается, что при этом выполняются условия согласования i 0(0) = ф(0), r(0) = ф(1), |ф(х)ёх = E(0). 0 Таким образом, задача заключается в определении функций ы(х, t) и v(t), удовлетворяющих уравнению (2) и условиям (3) - (6). Для численного решения поставленной коэффициентной обратной задачи (2) -(6) сначала введем равномерную разностную сетку в области 0 < t < T по переменной t ={tj = Ж j = 0, m } . T ды -- с шагом At = - . Производную - в уравнении (2) при tj, j = 1, m, дискретизиm дt руем разностью «назад» ды дt ы ( х, tj )- ы ( х, tj-1) At Для оператора конвективного переноса используем явную аппроксимацию по времени, а для операторов диффузионного переноса и реакции - неявные аппроксимации. Следует отметить, что подобные технологии применяются при численном решении различных краевых задач для уравнения диффузии - конвекции - реакции [17]. Обозначив u1 (x) и u (x, t}-), задачу (2) - (6) запишем в следующем виде: u1(x)-u1 1 (x) 1 du 1-1 i i d --+Y (x)uJ (x) = - dx dx 0 < x < l; u1 (0) = e1; du1 (x) dx k1 (x) + f1 (x) - + VJ At (7) () (9) (10) (11) u1 (l) = r1; i I u1 (x)dx = E1 ; 0 u0 (x) = ф(x); где (12) v1 &v(tj), у1 (x) = y(x, tj), k1 (x) = k(x,tj), e1 =e(tj), r1 = r(t1), f1 (x) = f(x,t1), E1 = E(t 1), 1 = 1, 2, ... ,m. Следует отметить, что дифференциально-разностная задача (7) - (11) аппроксимирует задачу (2) - (6) с погрешностью O(At). Предположим, что решение полученной дифференциально-разностной задачи (7) - (11) на каждом временном слое 1 = 1, 2,..., m можно представить в виде u1 (x) = p1 (x) + vJwJ (x), где W (x), p1 (x) - неизвестные функции. Подставив соотношение (12) в уравнение (7), будем иметь p1 (x) + v1 wJ (x) - u1 1 (x) 1 du1 1 - + Y( x) p1 (x) +V1 Y( x)w1 (x) = + v У dx At dw1 (x) dx dp1 (x) dx k1 (x) k1 (x) + f1 (x) + VJ dx dx / dp1 (x) У dx p1 (x) - u1 1 (x) + Y( x) p1 (x) --^p dx k1 (x) -f1 (x) или At w1 (x) du1 1 dw1 (x) dx + Y1 (x)w1 (x) - d dx dx k1 (x) = 0. +VJ At /J Соотношение (12) также подставим в (8), (9): p1 (0)+vJwJ (0) = e1. p] (l) + vJwJ (l) = r1. В силу произвольности переменной v1 из последних соотношений можно получить следующие краевые задачи относительно функций w1 (x), p1 (x): p1 (x) - u1 1 (x) dp1 (x) k1 (x) - f1 (x) = 0, 0 < x < l; (13) (14) (15) + у1 (x) p1 (x) dx At p1 (0) = e1; p1 (l) = r1; \ w1 (x) du1 1 dw1 (x) dx + Y1 (x)w] (x) - d dx dx k1 (x) =0, 0 < x < l; (16) (17) At w1 (0) = 0; w1 (l) = 0, (18) j = 1, 2,..., m ; u0 (x) = ф(x). А подстановка (12) в условие переопределения (10) дает l l J p1 (x)dx + v1 J w1 (x)dx = E1 . (19) 0 0 Из полученных соотношений можно конструировать следующий вычислительный алгоритм для численного решения задачи (7) - (11) по определению u1 (x), v1, 1 = 1, 2, ...,m : - для фиксированного значения временного слоя j определяются решения задач (13) - (15) и (16) - (18), т.е. функции p] (x) и w1 (x) на отрезке [0,l]; - из соотношения (19) определяется приближенное значение искомой функции V(t) при t = t: E1 - J p1 (x)dx v= J w1 (x)dx - по формуле u1 (x) = p1 (x) + vJwJ (x) определяется приближение искомой функции u(x, t) при t = tj; - при переходе на следующий временной слой описанная процедура вычислений снова повторяется. Для численного решения задач (13) - (15) и (16) - (18) можно использовать метод конечных разностей. Введем равномерную разностную сетку в области [0 < x < l] по переменной x ю x = { xt = iAx, i = 0, n, Ax = l / n } . Дискретные аналоги задач (13) - (15) и (16) - (18) на сетке ax представим в виде kj pi+i -pi - kj pi-pi-i Pi - U 1 j j 1 ---+ Y j Pi - - At Ax - / =0, i = 1, w -1, г+1/2 A л;-1/2 * Ax Ax p0 = 01 , pJ„ = r1; у

Скачать электронную версию публикации