Solution of nonlinear hyperbolic equations by an approximate analytical method.pdf Нелинейное уравнение (1) utt - a 2их + b\u\p ut = 0 tt с положительными параметрами a и b, натуральным p и начально-краевыми условиями различного вида в прямоугольной области является математической моделью различных нестационарных процессов. В частности, при p > 0 неоднородное уравнение вида (1) возникает в релятивистской квантовой механике [1, с. 16]. При p = 1 уравнение (1) моделирует неустановившееся течение жидкости в трубе со скоростью u(x,t) [2, с. 42]. Для нахождения приближенного решения (1) с соответствующими условиями, как правило, используются трудоемкие численные методы. В данной статье предлагается приближенно-аналитический метод решения уравнения (1). Для его применения необходимо сначала от (1) перейти к нагруженному [3, с. 17] уравнению (2) которое рассматривается в качестве аппроксимирующего относительно (1) при исходных начальных и граничных условиях. Уравнения вида (2) и его обобщения представляют самостоятельный интерес и исследованы, например, в [4, 5], где доказаны теоремы существования и единственности обобщенных решений соответствующих краевых задач. Переход от (1) к (2) позволяет «ослабить» нелинейность исходного уравнения и при этом избежать чрезмерного искажения сути моделируемого процесса. Найденное впоследствии точное или приближенное решение нагруженного уравнения (2) впоследствии можно принять за приближенное решение исходного нелинейного уравнения (1). Такой подход применен в [6, 7], где получены формулы общих членов последовательностей приближенных решений начально-краевых задач для некоторых нагруженных уравнений, аппроксимирующих исходные нелинейные уравнения. В [8] для нахождения приближенного решения первой смешанной задачи с однородными граничными условиями для уравнения С2), используются априорные оценки решения поставленной задачи. Ниже используется комбинация этих подходов, в которой для запуска итерационного процесса приближения к регулярному решению задачи (1), (3), (4) предварительно ищется решение задачи (2) - (4) с использованием его же априорных оценок. 1. Априорные оценки В области Q = {(x,t): 0 < x < l, 0 < t < T} рассмотрим уравнение (2) c натуральной степенью p > 3. Требуется найти интегрируемую функцию u(x,t) е C2,2(Q), удовлетворяющую уравнению (2) в области Q, а также условиям u(x,0) = 0, ut (x,0) = 0, 0 < x < l; u(0, t) =^j(t), u(l, t) = y2(t), 0

Скачать электронную версию публикации