Group of automorphisms of one class of formal matrix algebras.pdf Автоморфизмы и изоморфизмы различных колец и алгебр всегда привлекают внимание специалистов (см., например, [1-8]). В данной статье рассматриваются автоморфизмы алгебр формальных матриц над коммутативным кольцом. Если R - кольцо, то M(n, R) - кольцо всех (nx^-матриц над R, E - единичная матрица. Через AutR(T) обозначается группа автоморфизмов R-алгебры T над коммутативным кольцом R. 1. Алгебры формальных матриц Общая теория колец формальных матриц изложена в книгах [9] и [10]. Определим их один частный вид - алгебры формальных матриц над данным коммутативным кольцом R. Пусть n > 2 и {sijk| i, j, к = 1,...,n} - некоторое множество элементов кольца R, удовлетворяющих равенствам siik = 1 = sikh sijk ' sikl = sijl ' sjkl (1) для всех индексов i, j, k, l = 1,.,n. Для произвольных матриц A = (aj), B = (bj) из M(n, R) положим n AB = С = ^ где cj = £s1kJa,kbkj . k=1 Все матрицы порядка n над кольцом R относительно сложения и введенного нового умножения образуют ассоциативную R-алгебру с единицей. Будем её обозначать M(n, R, Е), где Е = {sjk | i, j, k = 1,.,n}, или буквой K. Алгебра K называется алгеброй формальных матриц порядка n над кольцом R. Множество Е - система множителей, а его элементы называются множителями R-алгебры K. Если все Sjk равны 1, то получаем алгебру M(n, R). Из тождеств (1) вытекают следующие тождества: siji sjij sijl' sjil slij ' slji. (2) Симметрическая матрица S = (sj) называется матрицей множителей алгебры K. Пусть Е = {spk | i, j, k = 1,...,n} - система множителей, т - подстановка степени п. Тогда {sT(f)T(j-)T(k) | i, j, k = 1,...,n} - тоже система множителей, так как она удовлетворяет равенствам (1). Обозначим её через тЕ. Существует алгебра формальных матриц tK = M(n, R, тЕ). Соответствие A-tA, где A = (aj), tA = (о^ху)), задает изоморфизм алгебр K и tK. До конца статьи буква K обозначает некоторую алгебру формальных матриц M(n, R, Е), все множители которой равны 1 или 0. Пусть индексы i, j, k попарно различны. С помощью тождеств (2) нетрудно убедиться, что для множителей sj, sjkj- и skik имеет место только одна из следующих возможностей: 1) все три элемента - единицы; 2) какие-то два из этих трех элементов - нули, а третий - единица; 3) все три элемента - нули. Существует подстановка т, такая, что в матрице tS (как действуют подстановки на матрицах написано выше) на главной диагонали стоят блоки, состоящие из единиц, а все позиции вне этих блоков заняты нулями (можно говорить, что матрица tS имеет канонический вид). Алгебры K и tK изоморфны. Договоримся, что матрица множителей S алгебры K уже имеет указанный блочный вид. Можно получить теперь некоторое разложение алгебры K. Пусть число блоков на главной диагонали матрицы S равно m. На главной диагонали каждой матрицы A из K выделим блоки Ab...,Am того же порядка и в той же последовательности, что и на главной диагонали матрицы S. Тогда блоки Aj для фиксированного I всех матриц из K образуют алгебру матриц M(kh R) для какого-то J. Обозначим ее Kh В дальнейшем буква L обозначает прямую сумму алгебр K1 ©... © Km , а I -множество всех матриц A е K, для которых блоки Aj,.,Am состоят из нулей. Тогда I - нильпотентный идеал алгебры K. И верно равенство K = L © I, т. е. K есть расщепляющееся расширение идеала I с помощью алгебры L. Считаем, что множители sijk удовлетворяют следующему дополнительному условию: для любых попарно различных индексов i, j, k из Sj = sjkj- = skik = 0 следует sijk = 0. В таком случае I2 = 0. 2. Автоморфизмы алгебр формальных матриц Пусть дана R-алгебра K. Запишем ее, как в разделе 1, в виде K = L © I. Предполагаем, что для L и I выполняются условия, сформулированные в разделе 1. Еще считаем, что ф! = I для всех ф е AutR (K). Это будет так, когда, например, R -полупервичное кольцо. Естественным образом идеал I является L-L-бимодулем. Если а е AutR (L), то имеем также притягивающий L-L-бимодуль aIa, где x ° a ° y = а( x)aa( y) для всех x, y е L, a е I. Разложение L = K1 ©... © Km позволяет рассматривать каждую матрицу из K как блочную матрицу порядка m. Запишем E = e1 ©... © em, где ei -единичный элемент кольца K. Положим Ij = efey. Здесь Ij - подбимодуль L-L-бимодуля I. Каждый автоморфизм ф R-алгебры K можно представить матрицей 0) относительно разложения K = L © I. В этой матрице a:L^L, в:I-^I, 5:L^I -R-модульные гомоморфизмы. Кроме того, a - автоморфизм R-алгебры L, в - изоморфизм между бимодулями 1I1 и aIa, 5 - дифференцирование алгебры L со значениями в бимодуле aIa. Верно и обратное. Если a:L-L, p:I->I, 5:L-I - отображения со свойствами, перечисленными выше, то преобразование алгебры K, задаваемое матрицей (5 0), является её автоморфизмом. Не будем различать автоморфизм и соответствующую матрицу. Алгебра L сепарабельна. Поэтому всякое дифференцирование со значениями в L-L-бимодуле aIa является внутренним. То есть найдется матрица D е I со свойством 5(X) = (aX)D - D(aX), X е L. Изоморфизм в «переставляет» бимодули Iy для всех i, j = 1,.,m с i Ф j. Приведем некоторую полезную информацию о группе AutR(L). Считаем далее кольцо R неразложимым. Несложно проверить, что всякий автоморфизм a алгебры L «переставляет» кольца K1,.,Km в том смысле, что для любого i = 1,.,m верно равенство aKi = Kj для какого-то j. Используя это наблюдение, можно выделить в группе AutR(L) подгруппу Е, изоморфную некоторой группе подстановок степени m (ее строение известно; мы отождествляем автоморфизмы из Е с соответствующими подстановками). Обозначим через Г нормальную подгруппу в AutR(L), состоящую из автоморфизмов, переводящих каждое кольцо K в себя. Тогда ГпЕ= e) и группа AutR(L) есть полупрямое произведение ГхЕ подгрупп Г и Е. Последнее означает, что каждый автоморфизм а е AutR (L) можно единственным образом записать в виде a = дт, где цеГ, теЕ . Это дает гомоморфизм h: AutR(L) - Е, a-т. Определим еще такой гомоморфизм f: AutR(K)-AutR(L), что f (ф) = a для каждого Ф = (§ 0) е AutR (K). Далее положим g = hf. Тогда Kerg = {ф = (g 0) | aKt = Kt,i = 1,...,m}. Что важно, подгруппа Img совпадает с Е. Подстановки из Е естественным образом можно считать подстановками степени n. Затем, используя соглашение о множителях sijk, находим, что для всякой подстановки теЕ верно равенство sijk = sT(i)T(j-)T(k) при всех i,j, k = 1,...,n. Получается, что соответствие (aijk)-(aT(i)T(j-)) является автоморфизмом R-алгебры K (см. раздел 1). Обозначим этот автоморфизм через £т. Он переставляет в матрицах из K те же строки и столбцы, что и автоморфизм т в матрицах из L. Автоморфизмы вида для всех теЕ образуют подгруппу в AutR(K). Она изоморфна Е при соответствии ^-т. Отождествляем с т. После этого можно записать полупрямое произведение AutR(K) = Kerg х Е. Есть еще одно полупрямое разложение группы AutR(K). Пусть буква Д обозначает нормальную подгруппу автоморфизмов вида (j1 1). Поскольку дифференцирование 5 является внутренним, то подгруппа Д изоморфна мультипликативной группе E+I. Пусть Л - подгруппа автоморфизмов вида (0 0). Имеем разложение AutR(K) = Д х Л. Существуют также разложения Kerg = Д х {ф = (« 0) | aKi = К,, i = 1,..., m} и AutR(K) = Д х {ф = (0 0) | aKl =K,i = 1,...,m} х Е. Отметим, что строение подгрупп А и Е понятно. Подгруппа Kerf также имеет достаточно ясное строение (некоторые сведения о ней есть в разделе 4). Проблема описания группы AutR(K) фактически сводится к вычислению группы Imf |Kerg). Обозначим ее через Таким образом, Q = { аеГ | найдется ф е AutR (K) такой, что ф = (0 0) для некоторого Р). Справедливо равенство Imf = Q х Е. В ряде случаев строение группы Q будет выявлено в следующем разделе. 3. Группа П Сохраняются все принятые ранее обозначения. Пусть аей и ф = (0 0) соответствующий автоморфизм R-алгебры K, то есть f (ф) = а. Для любых i, j = 1,...,m верны равенства P(Ij) = a(e,)Ia(e;) = elej = Ij (L-L-бимодули Ij появились в разделе 2). Обозначим В.. =р |, . Запишем еще a = a1+^+ cm, где v 1 ij ai = a |k. е AutR (Kt). Тогда Pj : 1 (Itj )j ^ a. (Itj )a, - изоморфизм K-K-бимодулей (бимодули вида A определены в разделе 2). Вопросу о том, какие элементы из Г входят в можно придать следующую форму. Для каких автоморфизмов a. е Aut R ( K. ) и a j е Aut R (Kj) существуют изоморфизмы между K,-K-бимодулями Ij. Обозначим через l1,.,lm порядки колец матриц Kb...,Km соответственно. Положим с = НОК(11 ,...,lm) и K = M(c,R). Автоморфизмы a1,.,am стандартным способом считаем автоморфизмами R-алгебры K . Сформулируем одно необходимое условие существования изоморфизма L-L-бимодулей 1I1 -* aIa. Следствие 3.1. Если L-L-бимодули 1I1 и aIa изоморфны, то для любых i, j е{1,...,m} автоморфизм a,rlaj- R-алгебры K является внутренним. Группу внутренних автоморфизмов R-алгебры T будем обозначать Inn(AutR(T)). Предложение 3.2. Справедливо включение Inn(AutR (L)) с Q. Следствие 3.3. Если все автоморфизмы каждой из R-алгебр K1,.,Km являются внутренними (это будет так, когда R - кольцо главных идеалов или локальное кольцо), то имеет место равенство Q = AutR (K1) х... х AutR (Km). Строение группы Q можно найти, если все кольца матриц K1,...,Km имеют одинаковый порядок. Отождествим эти кольца. Следствие 3.4. Пусть все кольца K1,.,Km имеют одинаковый порядок. Тогда группа Q порождается внутренними автоморфизмами R-алгебры L и автоморфизмами вида (у,у,.,у). 4. Некоторые полупрямые разложения Установим несколько изоморфизмов, проясняющих строение группы AutR(K). Введенная в разделе 2 подгруппа А лежит в Inn(AutR(K)). Разложение AutR(K) = А х Л влечет разложение Inn(AutR(K)) = А х Inn o(AutR(K)), где Inno(AutR(K)) - подгруппа внутренних автоморфизмов вида (0 0). Здесь a -внутренний автоморфизм алгебры L. Обозначим через Ф подгруппу всех таких автоморфизмов ф = (0 0), где а внутренний автоморфизм алгебры L. Понятно, что Ф с Kerg и верно равенство Ф = Kerf • Inn0(AutR(K)). Введем еще подгруппу состоящую из автоморфизмов вида (0 0). Действие изоморфизма в на каждом бимодуле Ij (i ф j) совпадает с умножением на некоторый обратимый элемент кольца R. Отсюда следует изоморфизм U (R) х... х U (R), где U(R) - мультипликативная группа кольца R. Так как Kerf = А х то имеем равенства: Ф = Kerf • Inno(AutR(K)) = ( А х ¥) • Inno(AutR(K)) = = ( А х Inno(AutR(K))) • ¥ = Inn(AutR(K)) • Получается, что о подгруппе Ф мы располагаем полной информацией. С помощью найденных полупрямых разложений выведем несколько результатов о строении подгруппы Kerg и всей группы AutR(K). Следствие 4.1. Фактор-группа Kerg/Ф изоморфно вкладывается в факторгруппу r/Inn(AutR(L)) и является ограниченной абелевой группой. Напомним, что буква S обозначает матрицу множителей кольца K (введена в разделе 1, там же есть сведения о блоках матрицы S). Следствие 4.2. 1) Если порядки всех блоков на главной диагонали матрицы S попарно различны, то справедливо равенство AutR(K) = Kerg. 2) Если все автоморфизмы каждой R-алгебры K1...,Km являются внутренними, то имеем равенство AutR(K) = А х(¥ • Inn0(AutR(K))) х Е (см. еще следствие 3.3). Отметим, что строение всех встречающихся в п. 2 следствия 4.2 подгрупп известно.

Скачать электронную версию публикации