On almost (para)complex Cayley structures on spheres S^2,4 and S^3,3.pdf 1. Введение Почти комплексные структуры на обычной шестимерной сфере S6 изучаются давно и активно, (см., например, библиографию и исторический обзор по этой теме в статьях [1 и 2]). В 1958 г. LeBrun показал, что ортогональные почти комплексные структуры J на S6 не интегрируемы, а в 1999 г. Bor и Hernandez-Lamoneda показали, что неинтегрируемыми будут почти комплексные структуры J, ортогональные не только относительно стандартной метрики g0, но и для метрик, близких к стандартной. Однако вопрос о существовании на S6 интегрируемых почти комплексных структур не решен до сих пор. Среди ортогональных почти комплексных структур J на (S6, g0) особое место занимает почти комплексная структура Кэли J0, которая получается при помощи векторного произведения в объемлющем пространстве R7 чисто мнимых октав Кэли. Структура Кэли J0 является инвариантной относительно действия компактной особой группы G2, при этом S6 = G2 / SU (3). В работе [3] для структуры Кэли J0 на S6 получены аналитические выражения фундаментальной формы и ее внешнего дифференциала через калибровки пространства R7, найден тензор Нейенхейса через тройное векторное произведение и показано, что фундаментальная 2-форма ю является собственной для оператора Лапласа. Классификация инвариантных почти комплексных структур на однородных многообразиях размерности 6 с полупростой группой изотропии представлена в работе [4]. Как известно [5], существует расщепляемая алгебра Кэли Ca', которая получается из кватернионов процедурой удвоения Кэли - Диксона с использованием «мнимого» числа e, такого, что e2 = +1. Алгебра Кэли Ca' имеет псевдоевклидово скалярное произведение сигнатуры (4,4), определенное квадратичной формой | XX |2 = X) + X2 + х2 + хз - х4 - х5 - Х6 - х7 . Группой автоморфизмов алгебры Ca' является некомпактная особая группа G*. Пространство чисто мнимых сплит-октонионов наследует квадратичную форму g сигнатуры (3,4) и является поэтому псевдоевклидовым пространством R3,4. Существуют два типа сфер в пространстве R3,4: действительного и мнимого радиуса. Псевдосфера S2,4 действительного радиуса является однородным псевдоримановым многообразием S2,4 s G* / SU (1,2) сигнатуры (2,4). Псевдосфера S3,3(i) мнимого радиуса является однородным псев-доримановым многообразием S3,3 s G*/SL(3,R) сигнатуры (3,3). Умножение в алгебре Ca' определяет в пространстве R3,4 чисто мнимых октав векторное произведение, инвариантное относительно G2*. Это позволяет определить на сфере S2,4 с R3,4 ортогональную почти комплексную структуру Кэли J через умножение касательных векторов на вектор нормали. В данной работе показано, что такая структура не интегрируема и вычислен ее тензор Нейенхейса через тройное векторное произведение. Найдено выражение фундаментальной 2-формы ю почти эрмитовой структуры на S2,4 и показано, что 2-форма ю является собственной для оператора Лапласа. В отличие от обычной римановой сферы S6, на S2,4 существуют интегрируемые почти комплексные структуры. На сфере S3,3(i) с R3,4 мнимого радиуса векторное произведение в R3,4 определяет почти пара-комплексную структуру P. Показано, что она не интегрируема, вычислен тензор Нейенхейса через тройное векторное произведение. Найдено выражение фундаментальной 2-формы ю на S3,3(i) и показано, что ю является собственной 2-формой оператора Лапласа. В отличие от обычной римановой сферы S6, на S3,3(i) существуют интегрируемые почти пара-комплексные структуры, которые легко строятся с использованием стереографической проекции. 2. Предварительные сведения 2.1. Алгебры Кэли Пусть H - алгебра кватернионов w = x0 + x1 e1 + x2 e2+ X e3. Алгебра Ca чисел Кэли получается процедурой удвоения Кэли - Диксона. Для этого вводится еще одна мнимая единица e и образуются числа Кэли в виде x = a+be, где a и b - кватернионы. Умножение таких чисел определяется по формуле xy = (a + be)(c + de) = (ac - db) + (da + bc )e . Группой автоморфизмов алгебры Кэли Ca является простая особая компактная группа G2. Известен другой вариант процедуры удвоения Кэли - Диксона. В этом случае дополнительная «единица» e обладает свойством e2 = +1. Тогда мы получаем так называемые сплит-октонионы (split-octonions) в виде x = a+be, где a и b - кватернионы. Умножение таких чисел определяется по формуле xy = (a + be)(c + de) = (ac + db) + (da + bc )e . В результате получается неассоциативная алгебра Ca', которая называется расщепляемой (split) алгеброй Кэли. В дальнейшем удобно ввести обозначения: e4 = e, e5 = e1e, e6 = e2e, e7 = e3e. Отметим, что ef = -1 при i = 1, 2, 3 и ef = +1 при j = 4, 5, 6, 7. Каждое сплит-число Кэли записывается в виде x = x0 + x1 e1 + ... + x7 e7, где xa е R, а числа e1, e2, ..., e7 - мнимые единицы. Имеют место следующие правила их перемножения (первый сомножитель в столбце слева, а второй - в строке сверху): _ e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e1 -1 e3 -e2 e5 -e4 -e7 e6 e2 -e3 -1 e1 e6 e7 -e4 e5 e3 e2 -e1 -1 e7 -e6 e5 -e4 e4 -e5 -e6 -e7 +1 -e1 -e2 -e3 e5 e4 -e7 e6 e1 +1 e3 -e2 e6 e7 e4 e5 e2 -e3 +1 e1 e7 -e6 e5 e4 e3 e2 - e1 +1 Напомним основные свойства алгебры Са', подробнее об этом см. [5]. Сопряжение сплит-октонионов задается обычным образом, x = x0 - x1e1 - ... - x7e7, и обладает свойством xy = yx. Алгебра Кэли Са' имеет квадратичную форму N(x) = xx = x^ + xj2 + x^ + x^ - x42 - x^ - x6 - x^ и соответствующее псевдоевклидово скалярное произведение (x, y) = (xy + yx )/2 сигнатуры (4,4). Поэтому алгебру Са' мы будем часто рассматривать как псевдоевклидово пространство R4,4. Алгебра Са' является композиционной [5], поскольку выполняется равенство N(xy) = N(x) N(y). Алгебра Са' неассоциативна, т.е. (xy)z^x(yz). Ассоциатором называется выражение [x,y,z] = (xy)z - x(yz). Расщепленная алгебра Са' является альтернативной, т.е. выполняются свойства • (xx)y = x(xy), x(yy) = (xy)y, V x,y е Са'. Это название такие алгебры получили потому, что ассоциатор кососимметричен (альтернативен) по всем аргументам. В частности, свойство альтернативности записывается через ассоциатор следующим образом: [x,x,y] = 0, [x, y, y] = 0. Отметим еще ряд свойств алгебры Са': • x(yx) = (xy)x; • (xx)y = x(xy), x(yy) = (xy)y , т.е. [x, x,y] = 0 и [x, y, y] = 0 ; • (xxy)x = xx(yx) , т.е. [xx, y, x] = 0; • ((xy)z)y = x(yzy), (xyx)z = x(y(xz)), (xy)(zx) = x(yz)x. 2.2. Группа G2* Комплексная исключительная простая группа Ли G2 имеет две вещественных формы. Одна из них, компактная, обозначается символами G/ или G2 и хорошо известна [6]. Вторая, некомпактная, вещественная форма обозначается G2, ее описание можно найти в [7]. Эта группа G2 может быть определена как группа автоморфизмов расщепляемой алгебры Са'. Поэтому G2 с SO(4,3). Группу G2 можно также понимать, как стабилизатор векторного произведения на семимерном псевдоевклидовом пространстве V сигнатуры (3,4). Выберем в псевдоевклидовом пространстве V базис (e1, e2, . , e7), в котором квадратичная форма принимает вид g = -2(e1 • e5 + e2 • e6 + e3 • e7) - (e4)2. Тогда группа G2* является стабилизатором следующей 3-формы на V: Q0 ^V2(e123 - e567) + e4 л (e15 + e26 + e37). 2.3. Векторное произведение Векторным (r-местным) произведением на вещественном n-мерном векторном пространстве V с невырожденной билинейной формой (x,y) называется [8] полилинейное отображение P: V ^ V (1 < r < n), которое обладает свойствами (P(xj,..., xr),хг) - 0, 1 < i < r и || P(x^.....xr)||1 - det((xt,x^). Одноместные векторные произведения - это ортогональные комплексные структуры J на четномерном векторном пространстве V. Двухместное векторное произведение существует только в размерности 3 и 7. На семимерном векторном пространстве V они описываются следующим образом [8]. Пусть W - композиционная алгебра и V - ортогональное дополнение к единице e в алгебре W. Определим P: Vx V ^ V формулой P(x,y) = xy + (x,y)e. Тогда P является двухместным векторным произведением и, наоборот, каждое такое векторное произведение возникает таким образом. Если dim W = 8, мы получаем 2-местное векторное произведение на 7-мерном пространстве V. Билинейная форма, ассоциированная с таким векторным произведением, имеет сигнатуру (0, 7) или (4, 3). Группа автоморфизмов есть либо G2 (компактная форма), либо G2 (некомпактная форма). Любые два двуместных векторных произведения являются изоморфными. Трехместные векторные произведения. Пусть V - композиционная алгебра и (x,y) - соответствующая билинейная форма. Определим P1,P2:VxV ^ V формулами [8]: P (x, y, z) - s(_x(yz)+ < x, y > z +< y, z > x_< z, x > y), P2 (x, y, z) - e(_(xy)z + < x, y > z +< y, z > x_< z, x > y), где e - ±1. Тогда P1 и P2 представляют собой трехместные векторные произведения на V относительно билинейной формы e(x,y) и обратно каждое трехместное векторное произведение возникает таким образом. Алгебра Кэли Ca' является композиционной с билинейной формой сигнатуры (4,4), поэтому на ней определены трехместные векторные произведения P1 и P2. Операция сопряжения определяет антиизоморфизм этих векторных произведений. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать на Ca' только второе векторное произведение P: P(x, y, z) - _(xy)z + < x, y > z+ < y, z > x_ < z, x > y. Отметим, что если векторы x, y, z взаимно ортогональны, то P(x, y, z) - _(xy)z . 2.4. Псевдосферы в пространстве R3,4 Рассмотрим семимерное пространство R7 чисто мнимых элементов X = x1e1 + ... + x7e7 расщепляемой алгебры Ca'. Оно наследует квадратичную форму g сигнатуры (3,4) и является поэтому псевдоевклидовым пространством R3,4. В пространстве R3,4 можно определить два вида (псевдо)сфер: 2 + 2 + 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 - 2 x1 + x^ + x3 x^ x5 x^ x7 - r Первая псевдосфера S2,4(r) имеет действительный радиус r > 0, она пересекает оси Oxb Ox2, Ox3. Касательные плоскости являются псевдоевклидовыми сигнатуры (2,4). Скалярные квадраты векторов нормалей к S2,4(r) положительны, а их квадраты в алгебре Кэли Ca' - отрицательны. Группа G2 действует транзитивно и изометрично на S2,4(r), а ее группа изотропии совпадает с SU(1,2). Поэтому сфера S2,4(r) является однородным пространством: S2,4 = G* / SU(1,2). Отметим также, что S2,4 = SO(3,4) / SO(2,4). Вторая псевдосфера S3,3(ir) мнимого радиуса ir, она пересекает оси Ox4, ..., Ox7. Касательные плоскости являются псевдоевклидовыми сигнатуры (3,3). Скалярные квадраты векторов нормалей к S3,3(ir) отрицательны, а их квадраты в алгебре Кэли Ca' - положительны. Группа G2 действует транзитивно и изометрично на S3,3(ir), а ее группа изотропии совпадает с SL(3,R). Поэтому сфера S3,3(ir) является однородным пространством: S3,3 = G* /SL(3,R). 2.5. Почти пара - комплексные структуры Почти пара-комплексной структурой на 2n-мерном многообразии M называется [9] поле P эндоморфизмов касательного расслоения TM, таких, что P2 = Id и ранги собственных распределений T^M : = ker(Id + P) равны. Почти пара-комплексная структура P называется интегрируемой, если распределения T^M ин-волютивны. В этом случае P называется пара-комплексной структурой. Тензор Нейенхейса NP почти пара-комплексной структуры P определяется равенством NP(X,Y ) = 2([X,Y ] + [PX, PY ] - P[PX, Y ] - P[X, PY ]) для всех векторных полей X, Y на M. Как и в комплексном случае, пара-комплексная структура P интегрируема тогда и только тогда, когда NP = 0. В работе [9] представлен обзор теории и подробно рассмотрены инвариантные пара-комплексные и пара-кэлеровы структуры на группах Ли. 3. Векторное произведение в R3'4 = Im (Ca') Пусть Ca' - расщепляемая алгебра Кэли. Как обычно, числа вида x = x0 будем называть действительными, а числа X = xle\ + x2e2 + ... + x7e7 - чисто мнимыми. Будем записывать сплит-октонионы в виде суммы x = x0 + X. Пространство R3,4 = Im(Ca') мнимых октав наследует из Ca' скалярное произведение g(X,Y) = (X,Y) сигнатуры (3,4). Пусть x = X, y = Y - два чисто мнимых сплит-октониона. Определим векторное произведение элементов X, Y е Im(Ca') как мнимую часть их произведения в алгебре Ca': XxY = Im(XY). Легко видеть, что XxY = XY + g(X,Y). Также легко видеть, что данное векторное произведение Xx Y билинейно, косо-симметрично и ортогонально каждому их сомножителей. Умножение в алгебре Ca' выражается через векторное произведение следующим образом: для x = x0 + X и y = y0 + Y имеем xy = (x0 y0 - (X,Y)) + x0Y + y0X+XxY. Для любых векторов X, Y е Im(Ca') имеет место следующее равенство: Xx(XxY) = - g(XX)Y + g(X,Y)X. В частности, если n - вектор единичной длины, то для любого Y е R3,4 выполняется равенство nx(nxY) = -Y + g(n,Y)n. Смешанное произведение определяется равенством (XYZ) = g(X,YxZ) = = g(XxY,Z) и представляет собой кососимметричную 3-форму Q на R3,4, Q(X,Y,Z) = g(XxY,Z). В обозначениях „pqr = dxpA.dxq Adxr 3-форма Q имеет следующее выражение: О _ „123 „145 + „167 „246 „257 „347 356 О_„ -„ +„ -„ -„ -„ +„ . Поскольку на R3,4 имеется псевдориманова метрика и соответствующая форма объема ц _ yj| det(g) |dx: л - л dx1 _„1234567 , то определен оператора Ходжа * : Лk (R3,4) ^Л7-k (R3 4). Поэтому на пространстве R3,4 = Im (Ca') определена внешняя 4-форма Т = *Q, щ _ „4567 „2367 +„2345 „1357 „1346 „1256 +„1247 Т_„ -„ +„ -„ -„ -„ +„ . Очевидно, что Q = *Т. Вычисляя значения Т на векторах базиса e1, ..., e7, легко видеть, что имеет место следующее выражение на векторах X,Y,Z,W е R3,4: Т(Х, Y,Z, W) = g(X,(YxZ)x W) = -g(X,Yx(Zx W)). Лемма 1. На пространстве R3,4 = Im(Ca') мнимых октав ассоциатор [X,Y,Z] может быть выражен следующей формулой: [X,Y,Z] = 2(XxY)xZ + 2g(Y,Z)X - 2g(ZX)Y. Доказательство. Используя кососимметричность 3-формы Q и ассоциатора [X,Y,Z], а также формулу XY = XxY- g(X,Y), получаем [X,Y,Z] = (XY)Z -X(YZ) = (XxY)xZ -Xx(YxZ) - g(XxY, Z) +g(X,YxZ) -- g(X,Y)Z + g(Y,Z)X = = (XxY)xZ -Xx(YxZ) - g(X,Y)Z + Xg(Y,Z). Теперь используем это выражение в следующей сумме и получаем необходимую формулу: [X,Y,Z] = [X,Y,Z] + [ZX,Y] + [X,Z,Y] = 2(XxY)xZ + 2g(Y,Z)X - 2g(ZX)Y. Следствие. Имеет место следующая формула: (XxY)xZ - gX,Z)Y + g(Y,Z)X = - Xx(YxZ) + g(X,Z)Y - g(X,Y)Z. Доказательство. Следует из равенства [X,Y,Z] = -[Z,YX]. Нам потребуются также свойства векторного произведения, которые сразу следуют из предыдущего равенства: • Если n,Y,Z е R3,4 и если Y,Z ± n, то (nxY)xZ = - nx(YxZ) - g(Y,Z)n. • Если n - вектор единичной длины, то для любых Y,Z е R3,4 nx(nxZ) = -Z + g(n,Z)n, g(nxY, nxZ) = g(Y,Z) - g(Y, n) g(Z, n). • Если же g(n,n) = -1, то для любых Y,Z е R3,4 nx(nxZ) = Z + g(n,Z)n, g(nxY, nxZ) = -g(Y,Z) - g(Y, n) g(Z, n). 4. Почти комплексная структура на S2'4(r) Рассмотрим сферу S2,4 = S2,4(1) единичного радиуса в пространстве R3,4 = Im(Ca') мнимых сплит-октав Кэли. Касательные плоскости TxS2,4 к сфере являются псевдоевклидовыми сигнатуры (2,4). Скалярные квадраты векторов нормалей n(x) = x к сфере S2,4 положительны. Рассмотрим векторное умножение касательных векторов Y е TxS2,4 на вектор нормали n(x) = x. Легко видеть, что эта операция переводит касательное пространство в себя: если Y eTxS2,4, т.е., g(Y,n) = 0, то g(nxY,n) = 0, т.е. nxY eTxS2,4. Из свойства векторного произведения следует nx(nxY) = -g(n,n)Y +g(n,Y)n = -Y. Это означает, что оператор Jx(Y) = nxY левого умножения касательных векторов в точке xe S2,4 на вектор нормали n(x) = x к сфере S2,4 определяет на TxS2'4 комплексную структуру. Поскольку такая операция определена в каждой точке xe S2,4, то мы получаем, что единичная сфера S2,4 имеет естественную почти комплексную структуру J, которую мы будем называть структурой Кэли: Jx: Tx S2,4 ^ Tx S2,4, Jx(Y) = n(x)xY. Из равенства g(nxX, nxY) = g(X,Y) - g(X,n)g(Y,n) сразу следует ее ортогональность. Пусть ro(X,Y) = g(JX,Y) - фундаментальная 2-форма, соответствующая J. Поскольку g(XxY,Z) = Q(X,Y,Z), то легко видеть, что ю(Х,Т) = g(nxX,Y) = Q(nXY) = Q(X,Y,n) = g(Xx Y,n) = g(nXxY). Лемма 2. Форма Q при ее ограничении на сферу обладает свойством Q(JX,Y,Z) = Q(X,JY,Z) = Q(X,Y,JZ). Доказательство. Используем формулу (nxY)xZ = - nx(YxZ) - g(Y,Z)n и равенство g(X, YxZ) = g(Xx Y,Z): Q(Z, JX,Y) = g(Z, JXxY) = g(Z, (nxX)xY) = g(Z, -nx(XxY) - g(X,Y)n) = g(Z, -nx(XxY)) = - g(Zxn, XxY) = g(nxZ, XxY) = g(JZ, XxY) = Q(JZXJ). Лемма 3. Для любых X,Y,Z eTx S2,4 имеет место равенство i„T(XY,Z) = -Q JX,Y,Z), где in - внутреннее произведение с вектором нормали n(x). Доказательство. iax¥(X,Y,Z) = -g(n, Xx(YxZ)) = - g(nxX,YxZ) = -Q(JX,Y,Z). Пусть e1, ..., e6 - ортонормированный базис пространства Tx S2,4, в котором e1 и e2 являются пространственноподобными, а остальные - времениподобны. Тогда e0 = n(x), e1, ... , e6 - ортонормированный базис пространства R3,4 = Rx ©Tx S2,4. Пусть ц = e0 л e1 л ... л e6 - элемент объема R3,4 и = e1 л ... л e6 - элемент объема сферы S2,4 (в точке x). Очевидно, |aS = inц, где in - внутреннее произведение с вектором нормали n(x). Пусть *S и *R - операторы Ходжа на сфере и на R3,4 соответственно. Символом 0|S будем обозначать ограничение дифференциальной формы 0 в R3,4 на подмногообразие S2,4, а символом 0|n - нормальную компоненту формы 0 вдоль S2,4, то есть, 0| - n л 6. Лемма 4. Пусть 0 - k-форма на R3,4 и 0|S - ее ограничение на касательное пространство Tx S2,4 с R3,4. Тогда для операторов Ходжа *S и *R на сфере и на R3,4 соответственно выполняются равенства *R0 = (-1)ws0, *s(0|s) = (-1)kin(*R0). Доказательство. Форму 9 можно записать в виде 9=9|S + n л 6, где 6 -форма степени k-1, которая выражается через e1, ... , e6. Очевидно, что in(*R( n л(Э)) = 0. Поэтому достаточно доказать лемму для 9 = 9|S. Для любой k-формы v на S2,4 имеем v л^9 = g(v, 9)|S Из этого равенства, с учетом того, что ц = ил^, получаем nлv л*S9 = g(v,9)nл|S = g(v,9)| или, что то же самое, (-^Члил*^ = g(v,9)| = vл*R9. Последнее равенство верно не только для форм v на Tx S2,4, но и для любых k-форм v = v|S + n л^у на R7. На второй компоненте n л'у обе части равенства обращаются в нуль. Поэтому мы получаем равенство S9 = *r9. Применяя внутреннее произведение in к обеим частям последнего равенства, получаем утверждение леммы. Теорема 1. Фундаментальная форма a почти комплексной структуры Кэли J на S2,4 и ее внешний дифференциал da обладают свойствами: (1) a = inQ, da = 3Q|S, (2) *sa = Y|s, *sda = -3inT, (3) da(X,Y,Z) = 3inx¥(JX,Y,Z), (4) da(JX,Y,Z) = da(X,JY,Z) = da(X,Y,JZ), (5) da (XJYJZ) = -da (X, Y,Z), (6) aлda = 0. Доказательство. Первое равенство вытекает из определения a и Q: i„Q(X,Y) = g(n,XxY) = a(X,Y) для любых X,Y, касательных к сфере. Во втором равенстве мы считаем, что векторное поле n(x) = x определено на всем R7. Тогда, поскольку 3-форма Q с постоянными коэффициентами в R7, является замкнутой, поэтому dinQ = LnQ = 3Q, где Ln = d-in + in-d - производная Ли вдоль векторного поля n(x) = x на R7. Следовательно, da = dinQ = LnQ = 3Q. Вторая пара равенств получается из лемм 2 и 3 и из первых свойств, *Sa = *S(inQ)|S = in*R(inQ). Подробнее, пусть en - оператор внешнего умножения на 1-форму, дуальную векторному полю n(x) = x. Как известно, на k-формах v операторы in и en связаны соотношением in *R = (-1)k*Ren. Поэтому *sa = in*R(in^) = *Ren(iP) = *rW = T|s. Далее, *Sda = 3*SQ|S = -3in*RQ = -3inT. Равенство (3) вытекает из (1) и из леммы 2. Свойства (4), (5) следуют из (1) и леммы 1. Последнее равенство следует из (1) и из in (ОлЦ) = 0. Замечание. Фундаментальная 2-форма a на S2,4 является козамкнутой 5a = 0. Действительно, 4-форма Т на R7 имеет постоянные коэффициенты, поэтому d¥ = 0. Хорошо известно, что на k-формах кодифференциал 5 имеет выражение: 5 = (-1)k *-1d* = (-1)kn+n+1+n *d*, где n - число «минусов» метрического тензора g. В нашем случае n = 4 и n = 6. Следовательно, 5 = -*d*. Поэтому 5a = -*d*a = -*d (T|S) = -*(d T)|S = 0. В работе [10] Хитчин определил понятие невырожденности (стабильности) для 3-форм Ф на шестимерном вещественном векторном пространстве V и построил для 3-формы Ф линейный оператор K®, квадрат которого пропорционален тождественному оператору: K^,2 = Х(Ф)М Если Х(Ф) < 0, то K,j, определяет на V комплексную структуру, а если Х(Ф)>0, то пара-комплексную структуру. Пусть ц - форма объема на V. Оператор Кф определяется следующей формулой: 1Кф(X)Ц=^Xфлф . Для фундаментальной формы ю почти комплексной структуры Кэли на S2,4 3-форма da имеет вид da = 3Q|S, где Q=ro123 -ю145 +ю167 -ю246 -ю257 -ю347 +ю356. Найдем оператор Хитчина [5] Кю для 3-формы dю на сфере S2,4. Рассмотрим сначала точку х = е1 e S2,4. Касательное пространство TxS2'4 имеет ортонормирован-ный базис векторов e2, ..., е7 и форму объема ц = ю234567 . 2-форма d(B на TxS2,4 имеет вид dюx = 3(-ю246 -ю257 -ю347 +ю35 6). 2-форма dюx является инвариантной при действии на TxS2,4 подгруппы изотропии SU(1,2) с G2*. Поэтому достаточно вычислить КЛя на одном векторе, например Кю(е2): \е^юх лdюх = 9(-ю46-ю57)(-ю246 -ю257 -ю347 +ю356) = =29(ю46 лю257 +ю57 лю246) = -18ю24567 = 18гезю234567 = 18^ц. Поэтому Кю(е2) = 18е3 = 18е1хе2 = 18J(e2). Отсюда следует, что Idl!i = Jx. Из инвариантности почти комплексной структуры Кэли J и формы Q относительно группы G2 , действующей транзитивно на S2,4, мы получаем, что равенство Idlls = Jx имеет место во всех точках псевдосферы S2,4. Вывод. 3-форма do на S2,4 является всюду невырожденной и определяет почти комплексную структуру 1ю на S2,4, которая совпадает с почти комплексной структурой Кэли J. Вычислим тензор Нейенхейса N(X,Y) = 2([JXJY] - [XJ] - J[JX,Y] - J[XJY]) почти комплексной структуры J [11]. Для этого найдем ковариантную производную тензора J. Поскольку n(x) = x, то для любого касательного вектора X e Tx S2,4 имеем Dnx(X) = X. Будем считать, что касательные векторы X,Y e Tx S2,4 продолжены на пространство R7 как постоянные векторные поля и n(x) = x также определено на R7\{0}. Тогда имеют место равенства (VXJ)Y = prx(DX(JY)) = = prx(DX{nxY)) = prx(XxY), где pr - ортогональная в R3,4 проекция на касательное пространство Tx S2,4, prx(Z) = Z - g(Z,n)n. Получаем (7) (VXJ)Y = XxY - g(n, XxY)n = XxY - ю(X,Y)n. Замечание. Из полученного выражения VXJ сразу вытекает кососимметричность оператора VXJ и, в частности, свойство VX(J)X = 0 приближенной псевдокэ-леровости многообразия S2,4 и равенство VJXJ = -JVXJ . Теорема 2. Тензор Нейенхейса N(X,Y) почти комплексной структуры Кэли J на S2,4 имеет вид N(X,Y) = -8nx(XxY). Доказательство. В книге [11] приведена формула 4g((VZJ)X,Y) = 6dФ(Z,JX,JY) -6d 1. Тогда из уравнения псевдосферы следует, что * +2x +2x2 +2x2 _ 1 - 2 1 2 , или 0 < У42 + у2 + y2 + У? _ 1 - ^ < 1 . x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 Г Через каждую точку (y4, y5, y6, y7)eD4, при фиксированной точке (y1, y2, y3) e S2, проходит единственная прямая, пересекающая псевдосферу в точке xi _ r ■ уг, i _ 1,2, ...,7, при r _ 1/^1-у42 - у2 - у2 - у2 и, наоборот, каждая прямая, прохо- S2 4 гл4 , пересекает шар D при определенных (У1, У2, у3) e S2. Рис. 1. Стереографическая проекция Fig. 1. Stereographic projection Поскольку прямое произведение S2xD4 допускает комплексные структуры, то диффеоморфизм стереографической проекцииf S2,4 ^ S2xD4 позволяет перенести 2 4 2,4 2 4 комплексные структуры с S xD на сферу S , . Отметим, что по построению S xD является псевдоримановым сигнатуры (2,4). 5. Почти пара-комплексная структура на S3'3(i) Результаты этой части аналогичны тем, что были получены для сферы S2,4, однако имеются и некоторые отличия. Рассмотрим сферу S3,3 = S3,3(i) чисто мнимого единичного радиуса в пространстве R3,4 = Im(Ca') мнимых сплит-октав Кэли. Касательные плоскости к сфере TxS3,3, V xe S , , являются псевдоевклидовыми сигнатуры (3,3). Скалярные квадраты векторов нормалей n(x) = x к сфере S3,3 отрицательны, g(n,n) = -1. Векторное умножение касательных векторов Y eTxS3,3 на вектор нормали n(x) = x переводит касательное пространство в себя: если Y е TxS3,3, то есть, g(Y,n) = 0, то g(nxY,n) = 0, т.е. nxY eTxS3,3. Из свойства векторного произведения следует, что nx(nxY) = -g(n,n)Y +g(n,Y)n = Y. Это означает, что (Px)2 = Id. Оператор Px(X) = nxX кососимметричен, g(nxX,Y) = = -g(X,nxY), но не ортогонален: g(PxX,PxY) = g(nxX,nxY) = -g(X,Y), VX,YeTxS3,3. Оператор Px пространственноподобные векторы переводит во времениподобные векторы. Собственные подпространства оператора Px являются трехмерными изотропными подпространствами, касательными к S3,3. Поэтому оператор Px(Y) = nxY умножения касательных векторов на вектор нормали n(x) = x к сфере S3,3 определяет на TxS3,3 пара-комплексную структуру. Такая операция определена в каждой точке xe S3,3, следовательно, мы получаем, что единичная псевдорима-нова сфера S3,3 имеет естественную почти пара-комплексную структуру P, которую мы будем называть почти пара-комплексной структурой Кэли: Px: TxS3,3 ^ TxS3,3, Px(Y) = n(x)xY , Vxe S3,3, V Y e TxS3,3. Пусть a(X,Y) = g(PX,Y) - фундаментальная 2-форма, соответствующая P, и пусть Q(X,Y,Z) = g(XxY,Z). Тогда легко видеть, что a(X,Y) = g(nxX,Y) = Q(nX",Y) = Q(X,Y,n) = g(Xx Y,n) = g(n,XxY). Напомним, что на пространстве R3,4 = Im (Ca') определена внешняя 4-форма Т = *Q. Пусть *S и *R - операторы Ходжа на сфере и на R3,4 соответственно. Символом 9|S будем обозначать ограничение дифференциальной формы 9 в R3,4 на подмногообразие S3,3, а символом 9|n - нормальную компоненту формы 9 вдоль S3,3, то есть, 6| = n л 6. Для почти пара-комплексной структуры Кэли совершенно аналогично доказываются все результаты, установленные в разделе 3.2 для почти комплексных структур Кэли: 1. Форма Q при ее ограничении на сферу обладает свойством Q(PX,Y,Z) = Q(X,PY,Z) = Q(X,Y,PZ). 2. Для любыхX,Y,Z e TxS3,3 имеет место равенство inT(X,Y,Z) = -Q(PX,Y,Z). 3. Пусть 9 - k-форма на R3,4 и 9|s - ее ограничение на касательное пространство Tx S3,3 с R3,4. Тогда *r9 = (-1)Ws9, *s(9|s) = (-1)ki„(*R9). 4. Фундаментальная форма a почти пара-комплексной структуры Кэли P на S3,3 и ее внешний дифференциал da обладают свойствами: a = i„Q, da = 3Q|S, *Sa = T|S, *Sda = -3inT, aлda = 0, da(X,Y,Z) = 3inT(PX,Y,Z), da(X,Y,Z) = 3g(X,YxZ), da(PX,Y,Z) = da(X, PY,Z) = da(X,Y, PZ), da(X,PY,PZ) = -da(X,Y,Z). Для фундаментальной формы a почти пара-комплексной структуры Кэли на S3,3 3-форма da имеет вид da = 3Q|S, где Q = a123-a145 +a167-a246 -a257 --a347 +a356. Найдем оператор Хитчина [10] Kda для сферы S3,3. Рассмотрим сначала точку x = e4 e S3,3. Касательное пространство TxS3,3 имеет ортонормирован-ный базис и форму объема | = a123567. 2-форма da на TxS3'3 имеет вид dax = 3(a123 +a167 - a257 +a356). Вследствие инвариантности формы dax относительно подгруппы изотропии

Скачать электронную версию публикации