On first Baire class functions defined on some classes of nonmetrizable spaces.pdf В данной работе все топологические пространства подразумеваются нормальными и используются следующие обозначения: N - множество натуральных чисел; Ж. - пространство вещественных чисел, наделенное стандартной евклидовой топологией; символом S обозначается прямая Зоргенфрея (или «стрелка»), представляющая собой множество вещественных чисел, топология в котором порождена базой {(a,b]: a,b e Ж, a < b}. Если множество A с Ж., то символом SA обозначим топологическое пространство, в котором база окрестностей точки x определяется следующим образом: {[x, x + е), Ve > 0}, если x e A с Ж ; {(x -e, x], Ve > 0}, если x e Ж \ A . В частности, если A = 0 , то SA = S . Множеством первой категории в топологическом пространстве называется множество, представимое в виде счетного объединения нигде не плотных множеств. Топологическое пространство X называется бэровским, если пересечение любой последовательности открытых всюду плотных множеств всюду плотно. Топологическое пространство X называется наследственно бэровским, если каждое замкнутое подмножество F с X является бэровским пространством. В работе [3] показано, что регулярное, с первой аксиомой счетности пространство является наследственно бэровским тогда и только тогда, когда оно не имеет счетного замкнутого подпространства без изолированных точек. Предложение 1. Пространство SA является наследственно бэровским для любого множества A с Ж . Доказательство. Поскольку пространство SA регулярное и имеет первую аксиому счетности, то в силу предыдущего утверждения достаточно показать, что пространство SA не имеет счетного замкнутого подпространства без изолированных точек. Пусть множество F замкнуто в SA и не имеет изолированных точек. Тогда замыкание F множества F в евклидовой топологии прямой также не содержит изолированных точек. Это означает [1], что множество F несчетно. Поскольку множество F \ F счетно, то F является несчетным. □ Для любого множества A с Ж., пространство SA нормальное и линделефовое. Эти факты можно доказать аналогично доказательствам нормальности и линде-лефовости прямой Зоргенфрея [8]. Совершенным пространством называется пространство, в котором все замкнутые множества имеют тип Gs. Нетрудно видеть, что в пространстве SA открытые множества являются счетным объединением промежутков вида (a1,Ь1], [a2,Ь2), (a3, Ь3), [a4, b4 ], а каждый из этих промежутков имеет тип Fa . Таким образом, пространство SA является совершенным для любого множества A с Ж.. Отсюда следует, что пространство SA наследственно линделефово [8]. Пусть X - топологическое пространство. Отображение f: X ^ Ж называется функцией первого класса Бэра, если существует последовательность непрерывных функций {f , поточечно сходящаяся к функции f на множестве X. Множество всех функций первого класса Бэра обозначается B1 (X). В силу того, что топология, заданная на SA , тоньше, чем топология на прямой, то B1 (Ж) с B1 (SA), но обратное включение не верно. Пример 2. Пусть K - канторово множество в евклидовой прямой. Тогда ад Ж\K = U(an,Ьп). Пусть B = {bn}neNи для каждого натурального n заданы возn=1 растающие последовательности {ьП } , Ь'п e(an,Ьп), сходящиеся к точкам bn . Определим непрерывные функции fi : S ^ Ж следующим образом: fi (x) = 0, если x e (K \ B [J \^an, b'n , fi (bn) = 1 при n < i и линейные на каждом множестве , Ьп J . Нетрудно видеть, что для всех i e N функции f непрерывны на S и lim f (x) = xB (x) для любой точки x e S. Таким образом, характеристическая функция xB является функцией первого класса Бэра на S . Так как функция %B |K не имеет точек непрерывности на замкнутом в евклидовой топологии множестве K , то хB £ B1( Ж) по теорема Бэра [4]. Тот факт, что пространства B1 (Ж) и B1 (S) различны также следует из [6] ввиду того, что B1 (Ж) секвенциально сепарабельно, а B1 (S) - нет (напомним, что пространство X называется секвенциально сепарабельным, если существует счетное подмножество D с X, такое, что любая точка x e X есть предел некоторой последовательности точек из множества D ). Функцию f , заданную на топологическом пространстве X со значениями в вещественной прямой, называют cl-функцией (cliquish) в точке x e X , если для любого 8 > 0 и любой окрестности U точки x существует открытое непустое множество G с U , такое, что |f (y) - f (z)| < 8 для любых двух точек y, z e G. Функцию f называют cl-функцией, если она cl-функция в каждой точке x e X , а множество всех таких функций обозначается CL (X). В работе [5] показано, что для любой cl-функции f , заданной на топологическом пространстве X, множество точек разрыва Df функции f является множеством первой категории. Из этого вытекает следующее Предложение 3. Пусть X - бэровское пространство, f e CL (X) и Cf - множество точек непрерывности функции f. Тогда множество Cf всюду плотно в X. Доказательство. Поскольку f e CL (X), то в силу предыдущего утверждения ад Df = U Fn , где множества Fn нигде не плотны. Следовательно, Cf = X \ Df = n=1 f ад Л ад = X \ U Fn = Q (X \ Fn). Тогда множества X \ Fn открыты, всюду плотны и, V n=l / n=l поскольку пространство X - бэровское, то множество Cf всюду плотно. □ Теорема 4. Пусть X - бэровское пространство. Тогда B1 (X) с CL (X). Доказательство. Пусть множество U открыто в X. Тогда подпространство U - бэровское (см. [7]). Пусть функция g e B1(X) и f = g |U . Очевидно, что f e B1 (U). Пусть последовательность непрерывных функций {fn jneN на множестве U поточечно сходится к функции f . Следовательно, для любой точки x eU последовательность {fn (x)}= является фундаментальной в Ж.. Зафиксируем 8 > 0. Тогда U = U Fp , где Fp = Q {x e X;| fn (x) - fm (x)| < 3j. Заметим, peN n,m> p что Fp n U - замкнуто в U и U = U (Fp n U). Поскольку подпространство U peN бэровское, то найдется номер p0 e N, такой, что intU (Fp n U) ф 0 . Тогда множество V = intU (F^ n U) открыто в U , следовательно, открыто в X и V с Fp n U . Это означает, что для любых n, m > p0 и точки x e V верно нера- 8 венство \fn (x)- fm (x)< 3. Переходя к пределу при m ^ ад получаем, что \fn (x) - f (x) < 3 для любой точки x e V и n > p0. В силу непрерывности функции fp существует окрестность W с V, такая, что для любых y, z e W и n > p0 верно неравенство |fp (y)- f^ (z))

Скачать электронную версию публикации