On optimality of singular controls in an optimal control problem.pdf Исследуется ряд задач оптимального управления [1, 2], занимающих промежуточное место между задачами оптимального управления системами с сосредоточенными и с распределенными параметрами. Как отмечано в [1], эти задачи тесно связаны с задачами оптимального управления с сосреточечными параметрами, но вместе с тем могут быть интерпретированы так же, как задачи оптимального управления для уравнений в частных производных, с управлением на границе (граничная задача оптимального управления для одной системы с распределенными параметрами). В [1, 2] для подобных задач получены необходимые условия оптимальности типа принципа максимума Л.С. Понтрягина и достаточные условия оптимальности типа В.Ф. Кротова. В предлагаемой работе исследуется задача оптимального управления типа [1, 2] с несколько иным критерием качества. При помощи метода приращений сначала установлены необходимые условия оптимальности первого порядка в форме принципа максимума Понтрягина (см., напр., [3, 4]). Заметим, что принцип максимума Понтрягина, являясь необходимым условием оптимальности первого порядка, нередко вырождается, становясь неэффеек-тивным. Такие случаи называют особыми а соответствующие управления - особыми управлениями. Для исследования на оптимальность особых управлений надо иметь новые необходимые условия оптимальности. В работе, применяя методику, предложенную и развитую авторами [5-11] и др., исследуются также особые случаи. Суть применяемой схемы заключается в построении новых формул приращения второго порядка критерия качества, позволяющие получить необходимые условия оптимальности первого и второго порядков с единых позиций. Для задачи, рассматриваемой в статье, особые управления исследуются впервые. Заметим,что особые управления возникают во многих прикладных задачах оптимального управления (см., напр., [12-14]). 2. Постановка задачи Допустим, что управляемый процесс в области D = T х X (T = [t0, t, ], X = [x0, x, ]) описывается системой дифференциальных уравнений zt (t,x) = f (t,x,z(t,x),u(t,x)), (t,x)e D , (1) с начальным условием z (t0, x ) = y (x), x e X. (2) Здесь f (t, x, z, u) - заданная n-мерная вектор-функция непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по z до второго порядка включительно, t0, t,, x0, x, - заданы, u (t, x) - r-мерная кусочно-непрерывная по t (с конечным числом точек разрыва первого рода) при всех x e X и непрерывная по x при всех t e T управляющая вектор-функция со значениями из заданного непустого и ограниченного множества U с Rr, т.е. u(t,x)eU сRr, (t,x)e D . (3) а y (x) - управляемая начальная вектор-функция, определяемая из уравнения y = g ( x, y, v), x e X , (4) с начальным условием y (x0 ) = y0 , (5) где g (x, y, v) - заданная n-мерная вектор-функция непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по y до второго порядка включительно, y0 - заданный постоянный вектор, v (x) - q-мерный кусочно-непрерывный (с конечным числом точек разрыва первого рода) вектор управляющих воздействий со значениями из заданного непустого и ограниченного множества V с Rq ,т.е. v(x)e V с Rq, x e X . (6) Пару (u (t, x), v (x)) с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением. Под решением задачи (1), (2), (4), (5), соответствующем допустимому управлению (u (t, x), v (x)), понимается пара (z (t, x), v (x)) функций z (t, x), y (x), непрерывных по совокупности переменных, при этом z (t, x) и y (x) - кусочно гладкие по t и x (с конечным числом точек разрыва первого рода) соответственно и удовлетворяющие соотношениям (1), (2), (4), (5). На решениях задачи (1), (2), (4), (5), порожденных всевозможными допустимыми управлениями, определим функционал x1 S(u,v) = ф(у (x,))+ | G (x, z (t,, x))dx . (7) x0 Здесь ф( y), G (x, z) - заданные скалярные функции непрерывные по совокупности переменных вместе с частными производными по y, z соответственно до второго порядка включительно. Допустимое управление (u0(t, x), v0(x)), доставляющее минимум функционалу (7) при ограничениях (1) - (6), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс (u0 (t, x), v0 (x), z° (t,x), у0 (x)) - оптимальным процессом. Нашей целью является вывод необходимых условий оптимальности. 3. Формула для приращения второго порядка критерия качества Пусть (u (t,x),v(x)) - фиксированное, а (u (t, x) = u (t, x) + Дu (t, x), v (x) = v (x) + Дv (x)) - произвольные допустимые управления. Через (z (t, x), у (t)), (z (t, x) = z (t, x) + ^ (t, x), у (t) = у (t) + Ду (t)) обозначим соответствующие им решения задач (1), (2), (4), (5) и запишем приращение функционала (7), соответствующее этим допустимым управлениям Д^ (u 0, v°) = S (u, v)-S (u 0, v°) = x1 = [Ф(у (x,)) - Ф(у0 (x, ))] + J [G (x, z (t,, x)) - G (x, z0 (t,, x))] dx . (8) x0 Далее, ясно, что приращение (Az(t,x),Ду(x)) состояния (z°(t,x),у0^)) является решением системы дифференциальных уравнений Д2{ (t,x) = f (t,x,z (t,x),u (t,x))-f (t,x,z0(t,x),u0(t,x)) ; (9) Az(t0,x) = Ду(x), xeX ; (10) Ду(x) = g(x,у (x),v (x))-g(x,у0 (x),v0 (x)) ; (11) Ду (x0 ) = 0. (12) Предположим, что y0(t, x) (p°(x)) - пока неизвестная n -мерная векторфункция, удовлетворяющая тем условиям гладкости, которые нужны для корректности дальнейших рассуждений. Умножая обе части соотношения (9) ((11)) слева скалярно на y0(t, x) (p° (x)), а затем интегрируя обе части полученного соотношения по области D (по t от t0 -го до t1 ) и введя обозначения H(t,x,z,u,у0) = у0 f (t,x,z,u), M(x,у,v,p0) = p° g(x,у,v), получим h xi ' JJ У0 (t, x) Azt (t, x) dx dt = г0 x0 h xi = JJ I!H(t,x,z(t,x),u (t,x),у0 (t,x))-H(t,x,z0 (t,x),u° (t,x),у0 (t,x))]dxdt; (13) г0 x0 x1 x1 J p°' ^)Ду (x)dx = J[m (x, у (x), v (x), p0(x))-M (x, у0^), v° (x), p0(x)) dx .(14) Далее, с учетом (10) и (12) имеем t1 x1 ' J J y0 (t, x) Azt (t, x) dx dt = t0 x0 x1 t1 x1 = J [y° (t1,x)aAz(t1,x)-y° (t0,x)Ay(x)dx^ J y0 (t,x)dxdt; (15) x0 t0 x0 x1 x1 Jp°'(x)Ay(x)dx = p°'(x1 )Ay(x1)-Jp°'(x)Ay(x)dx . (16) x0 x0 С учетом тождеств (13) - (16) формула приращения (8) записывается в виде x1 AS(u° ,v°) = [ф(У (xj)) -ф(у°(xj ))]+ J [G (x, z (t1, x)) - G(x, z° (1, x))] dx + x0 x1 ' x1 ' + Jy° (t1,x)Az(t1,x)dx- J y° (t0,x)Ay(x)dx- . x0 x0 t1 x1 x1 -J J У ° ' (t, x )Az (t, x) dx dt + p°'(x1 )Ay (x1)-J p °'(x )Ay (x )dx - (17) t0 x0 x0 t1 x1 -JJ[ H (t, x, z (t, x), u (t, x), y° (t, x)) - H (t, x, z ° (t, x), u° (t, x), y° (t, x)) dx dt t0 x0 x1 - J [m (x, y (x), v (x), p° (x))-M (x, y° (x), v° (x), p° (x))dx. x0 Для простоты изложений в дальнейшем будут использованы следующего типа обозначения: Aй(tx)H (t, x) = H (t, x, z° (t, x), u (t, x), y° (t, x))- H (t, x, z° (t, x), u° (t, x), y° (t, x)), Av(x)M(x) = M(x,y°(x),v (x),p°(x))-M(x,y°(x),v°(x),p°(x)) , fz (t, x) = fz (t, x, z°(t, x), u°(t, x)), gy (x) = gy (x,У°(x),v°(x)) . По предположению f (t, x, z, u), g (x, y, v), ф( y) и G (x, z) достаточно гладкие функции. Поэтому используя формулу Тейлора из (17), получим x1 AS(u°, v° ) = фy (y° (x1)) Ay (x)+ J G\ (x, z° (t1, x)) Az (t1, x) dx + x0 x1 x1 + Jy° (t1,x)Az(t1,x)dx + p° (x1 )Ay(x1)-J Jy° (t,x)Az(t,x)dxdtx0 t0 x0 x1 x1 x1 -J p° (x )Ay (x)dx - J J Au(t x )H (t, x )dxdt - J J H'z (t, x )Az (t, x )dxdt x0 t0 x0 t0 x0 tj xi 1 tj xi -J J Д^(t xH (t, x)Az (t, x) dxdt--JJAz ' (t, x)Hzz (t, x)Az (t, x) dxdt t0 x0 t0 x0 x1 x1 x1 - J Дv(x)M (x)dx - J му (x)Ду (x) dx - J Дv{x)M'y (x) Ду (x) dx -x0 x0 x0 1 x1 1 -- J Ду ' (x)Муу (x)Ду (x) dx + 2 Ду ' (x, )фуу (у0 (x, )) Ду (x,) + x0 1 x1 0 +- J Az' (t,, x) Gzz (x, z0 (t,, x)) Az (t,, x) dx + n, (Au, Дv), (18) x0 где по определению n (Au, Дv) остаток формулы приращения определяемая формулой xi xi П, (Au, Av) = 0, (Ду (x, )2 ) + J 0- (||Az (t,, x)Ц2 ) dx - J 03 (Ду (x)||2 ) dx x0 x0 tj x1 1 tj x1 -JJ04 (|| Az(t,x)Ц2)dxdt - JJAz'(t,x)Aux)Hzz (t,x)Az(t,x)dxdtt0 x0 t0 x0 1 x1 - - J Ду' (x)AV(x)Муу (x)Ду (x)dx, (19) x0 а величины 0г- (•), i = 1,4, определяются из разложений ф(у (x,))-ф(у 0(x, )) = ф у (у 0(x, ))Ду (x,)+2 Ду' (x, )ф уу (у 0(x, ))Ду (x, ) + 0, (||Ду (x,)2 ), G(x,z (tj,x)) -G(x,z0 (tj,x)) = G'z (x,z0 (t,,x)) Az(t,,x) + 1 xi +- J Az'(t1,x)Gzz (x,z0 (tj,x)) Az(tj,x)dx + 02 (Az(t,,x)2), 2 ■ x0 M (x, у (x),v (x), p0 (x))-M (x, у0 (x),v (x), p° (x))=M'y (x, у0 (x),v (x), p0 (x))Дy(x) + +-Ду '(x)My, (x, у 0(x),v (x), p0(x))Дy (x) + 03 ((у (x) 2 ), H(t,x,z (t,x),u (t,x),у0 (t,x))-H(t,x,z0(t,x),u (t,x),у0 (t,x)) = = Hz (t, x, z0 (t, x), u (t, x), у0 (t, x)) Az (t, x) + + 2 Az' (t, x)Hzz (t, x, z0 (t, x), u (t, x), у0 (t, x)) Az (t, x) + 04 (||Az (t, x)2 ). Здесь и в дальнейшем ||а|| - норма вектора в Rn, а 0i (а2) означает, что 0(а22 ^0 при а^-0. Если предполагать, что (y° (t, x), p° (x)) есть решение задачи y°(t, x) = -Hz (t, x); (20) y°(t1, x ) = -Gx (x, z °(t1, x)); (21) p°(x) = -My (x)-y°'(t0,x); (22) p°(x1 ) = -Фу (y°(x1)), (23) то формула приращения (18) примет вид AS (u°, v°) = - J xJ Au (t,x )H (t, x) dx dt - xJ Av (x )M (x )dx + ?0 x0 x0 1 1 x1 +^ Ay ' (x1 )фyy (y° (x)) Ay (x1) + 2 J Az' (t1, x) Gzz (x, z° (, x)) Az (1, x) dx x0 ^ x1 1 t1 x1 -JJ Au(t x)H'Z (t, x)Az (t, x)dxdt - JJ Az ' (t, x) Hzz (t, x) Az (t, x) dx dt - Ю x0 ■ч 1 -4 -J Av(xM'y (x)Ay(x)dx-^ J Ay '(x)Myy (x)Ay(x)dx + гц (Au,Av). (24) x0 x0 Далее, из (9) - (12) получаем, что (Az (t, x), Ay (x)) является решением линеаризованной задачи Azt (t, x) = fz (t, x)-Au(t, x)f (t, x) + П2 (t, x, Au), (t, x) e D ; (25) Az(t0,x) = Ay(x), xeX ; (26) Ay(x) = gy (x) + Av(x)g (x) + П3 (^ Av); (27) Ay (x0 ) = 0, (28) где по определению П2 (U X Au ) = Au(t, x )fz (t, x )Az (t, x ) + °5 (lAz x )\\) , П1(x, Av) = Av(x)gy(x )Ay(x ) + °6 OIAV(x ^1). Здесь величины °i (•), i = 5,6, находятся из разложений f (t, x, z (t, x), u (t, x)) - f (t, x, z (t, x), u (t, x)) = = f (t, x, z (t, x), u (t, x))Az (t, x) + °5 (||Az (t, x)||), g ( y (x ^ v (x))-g ( ^ y°(x), v (x )) = = gy (x,y° (x),v (x)) Ay (x) + °6 (Ay(x)). Интерпретируя уравнения (25), (27) как линейные дифференциальные уравнения относительно Az (t, x) и Ay (x) соответственно, на основе формулы Коши о представлении решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений (см., напр., [15-17]) получаем, что решения задач (25) - (28) допускают соответственно представления в виде t Az (t, x) = F (t, t0 x)Ay (x) + J F (t,т, x)Au(T x) f (т, x)dт + п4 (t, x, Au); (29) h x Ay(x)= ^(x,s)Av(s)g(s)ds + П5 (x,Av). (30) x0 Здесь, по определению, t П4 (t,x, Au) = JF(t,тx)r|2 (т,x, Au)dт , h x П5 (x, Av) = J Ф^,s)n3 (s, Av)ds . x0 Далее, учитывая (30) в (29), получим x Az (t, x) = J F (t, t0 x) Ф(x, s) Av(s)g (s) ds + x0 t +J F(t, x, т) Au(т x) f (т, x) dт + n6 (t, x, Au, Av), (31) t0 где по определению П6 (t, x, Au, Av) = n4 (t, x, Au) + F (t, t0 x)n5 (x, Av). (32) Используя независимость и произвольность допустимых управлений u (t, x) и v (x), положим Au (t, x) Ф 0 , а Av (x) = 0. Тогда представление (31) примет вид t Az(t,x) = JF(t,т, x)Au( x) f (т, x)dт + п6 (t, x, Au,0), (33) h а из формулы приращения (24) критерия качества (7) будем иметь ^ x1 1 x1 AuS (u° ,v°) = -JJAu(t,x)H (t, x)dxdt +11 JAz '(1, x)Gzz( z(fx, x))Az (t1, x)dx -x0 x0 1 x1 x1 -J J Az'(t,x)Hzz (t,x)Az(t,x)dxdt- J J Au{t x)H'z (t,x)Az(t,x)dxdt + n1 (Au,0). (34) x0 x0 Займемся преобразованием отдельных слагаемых в формуле (34), используя представление (33). Имеем x1 J Az'(t1, x)Gzz (x, z° (t1, x))Az (t1, x)dx = x0 x1 t1 t = JJ J Au (т, x )f' (т, x )F' (t1, T, x )Gzz (x, z ° (t1, x )) F (t1, ^ x) Au (s,x)f (s, x ) d т dsdx + + И Au (т, x)f' К x) F' (t1, Т x) Gzz (x, Z0 (t1, x)) Пб (t1, x Дu,0) dT dx + x0 % x1 + J n6 (t2,x, Au,0)GZZ (x,z0 (t,,x)) Az(t,,x)dx, (35) "1 --1 "1 --1 JJAu(t,x)HZ (t, x)Az (t, x)dxdt = JJ "1 JAu(T,x)HZ x)FЫ,x)dT Д u(t ,x)f (t, x)dxdt + "1 '-I hJ J Au (t, x)HZ (t, x)Пб (t, X, Дu,0) dxdt. (36) По аналогии с [5-11] и др. получаем, что "1 'Ч J J Az' (t, x)HZZ (t, x)Az (t, x)dxdt ■■ «i xi f i i0 x0 t- xj t- J JJAu (t, x )f (T, x ) J F' (t, T, x )Hzz (t, x )F (t, s, x )dt U u (|s,x)f (s, x )dxdt + max (t, s) J Л Hzz (t,x)n6 (t,x, Au,0)dxdt + (37) +JJ JF ( T x ) au(t, x)f (T x )dT % x0 V % «i x1 +J J П6 (t, x, Au,0)HZZ (t, x)Az (t, x)dxdt. г0 x0 Положим по определению t1 K(x,т,s)= J F'(t,т,x)HZZ (t,x)F(t,s,x)dtmax (t, s) -F'(t,,т,x)Gzz (x,z0 (tj,x))F(t,,s,x). (38) JA!(I,X)HZ ('■ x)F(TI,xT JJ Au(tx)f (t, x)dsdx + n7 (Au). (39) Теперь, учитывая тождества (35) - (37), в формуле приращения (34) получим h xi AuS(u0,v0) = -J J Au(,x)H (t, x)dxdt - ?0 x0 - г1 г1 x1 - 2 JJJ A x)f' x )K ^ T s ) Au (s, x )f (s, x )d T dsdx + 1 x1 П7 (Au) = n1 (Au)+ - Jn6 ((,x, Au,0)Gzz (x,z° ((,x))Az(t1,x)dx + x0 1 x111 + 2 J J Aй(т,x)f' (T, x) F' , т x) Gzz (x, z° (^ x)) (t1, x, Au ,0) dт dx - Л0 l0 t1 x1 1 -1 '4 1 2 ff JF (t, T, x ^(т, x )f (т, x )d т H zz (t, x )n6 (t, x, Au,0 )dxdt - 111 x1 - JJn6 (t,x, Au,0)Hzz (t,x)Az(t,x)dxdt. U x Если предполагать, что Au (t, x) = 0 , Av (x0, то представление (31) примет вид Az(t,x) = J F(t,t0,x)Ф(x,s)Av(s)g(s)ds + n6 (t,x,0, Av), (40) x0 а из формулы приращения (34) получим Av S (u ° ,v°) = S (u ° ,v)-S (u ° ,v°) = x1 1 = - J Av(x)M (x)dx + 2 Ay' (x1)Фуу (у° (x1)) Ay (x1) + x0 1 x1 1 x1 +- J Az'(t1,x)Gzz (x,z° (t1,x)) Az(t1,x)dx - J Ay'(x)Myy (x)Ay(x)dxx0 x0 x1 111 x1 - J Av(x)My (x)Ay (x) dx - J J Az' (t, x)Hzz (t, x) Az (t, x)dxdt + n1 (0, Av). (41) x0 t0 x0 При помощи представлений (30) доказывается справедливость соотношений Ay'(x1 )ф yy (y°(x1 ))Ay(x1 ) = x1 x1 = J J Av(m)g'ИФ'^,т)фyy ((x1 ))(x^)AvWg(i)dmdl + x0 x0 x1 + J Av(m)g'(m)ф'(x1 ,m)фyy ( (x1 )) (x1 ,Av)dx+n5 (x1 ,Av)фyy (y° (x1 ))Ay(x1), (42) x0 x1 Здесь по определению JAv(xM'y (x)Ay (x)dx = 0 --1 --1 J JAv(m)My (m)ф(x,m)dm --1 Av (x )g (x )dx + Ja v (x)M^y (x)П5 (x Av)dx, (43) J Ду'(x)Myy (x)Ay(x)dx = = JJ A v(m)g' (m)| J Ф ' (x,m)Myy (x^x^dxjA^ g (l)dmdl + x0 x0 Jmax(m,£) J x, f x Л x + J ^(xm^m^(m)dm Myy(x)n5(x,Av)dx + Jn5(x,Av)Myy(x)Ay(x)dx. (44) x0 V x0 / x0 Далее, используя представление (40), получим ■ч -ч J^ ' (t1, x )Gzz (x, z 0 (t1, x))Az (t1, x )dx = J JA-(m)g' (m ) X x0 x0 x0 , J Ф'^,m)F'(t,,t0,x)GZZ (x,z0(tj,x))f(t,,t0,x)Ф(x,I)dx JA-Wg(i)dmdl + ^max (m,^) J xi f x Л' + J J F (ti, ^(x m ) Av(m)g (m )dm Gzz (X, z0(ti, x)) (ti, X,0, Av )dx + x0 V x0 x1 + J n6 (t,, x,0, Av) Gzz (x, z0 (t,, x)) Az (t,, x)dx, (45) x0 Ij x- Ij x- x- JJ Az'(t,x)Hzz (t,x) Az(t,x)dxdt = JJ J дv(m)g'(m) x x0 ^ x0 x0 xj J Ф'(x,m)F'(t,t0,x)HZZ (t,x)F(t,t0,x)Ф(x,I)dxfA^g(£)dmd£ + ^max (m, £) J r Ij x- f x ^ +JJ Jf(t,t0,x)Ф(x,m)Av(m)g(m)dm Hzz (t,x)n6 (t,x,0, Av)dxdt + t0 x0 V x0 / «j xi +JJ n6 (t, x,0, Av )HZZ (t, x) Az (t, x) dx dt. (46) h x0 Полагая J (m, *) = -Ф' (x, m) фyy (у0 (x,)) Ф (x, I) x1 - J Ф'(x,m)F'(t,,t0,x)GZZ (x,z0(ti,x))F(t,,t0,x)Ф(x,L)dx + max (m,£) x1 + J Ф'^,m)Myy (x)Ф(x,£)dx + max (m, £) «i xi +J J Ф'(m)F'(t,t0,x)HZZ (t,x)F(t,t0,x)Ф(x,I)dxdt (47) t0 max(m, I) и учитывая тождества (42) - (46) в (39), получим Av(x)S(u°,v°) = S(u°,v)-S(u°,v°) = -2 J J Av(m)g'(m)J(m,I)Avwg(£)dmd£ + "4 JAv(mM'y (m)Ф(m,x)dm "4 J Av(x)g (x)dx + П8 (Av) (48) где по определению n (Av)=2 n5 (x1, Av)Фyy (y° (x1 ^ ау (x1) - 1 +2 J Av(m)g'(m)ф(x1,m)Фyy (У° (x1 ))П5 (x1,Av)dm - J Av(x)My (x)n5 (x, Av)dx - My (x)n5 (x,Av)dx + +2 J J F((1 ,t0 ,x)«(x,m)Av(m)g(m)dm Gzz ((z° (t1,x)) ((1,x,0,Av)dx + x0 V x0 1 x1 1 *1 x1 +2 J n6 ((,x,0, Av)Gzz (,z° (t1,x))Az(t1,x)dx-2 J J n6 ((,x,0,Av)Hzz (t,x)Az((,x)dxdt- 111 x1 x "2 JJ J F(t1 ,t0 ,x) 0 - некоторые постоянные. Применяя к неравенству (50) аналог леммы Гронуолла - Беллмана из [18] приходим к неравенству x1 ||Ду (x )||< L3 Л|Д^ (s)g (s,y°(s),v°(s))ds, (51) x0 (L4 = const > 0). Учитывая оценку (51) в неравенстве (49), а затем применяя к полученному неравенству леммы Гронуолла - Беллмана, приходим к оценке 1Д(t,x) 0 некоторое постоянное. Оценки (51), (52) в дальнейшем будут использованы при выводе необходимых условий оптимальности. 5. Необходимые условия оптимальности Специальное приращение управляющей функции u0(t, x) определим по формуле ч fu (x), t е[9,6 + 8), x е X, Ди8 (t,x) = [ v ' rL ' ' (53) 8V ' ' [0, t е T\[6,6 + 8), x е X. V 7 Здесь u(x)eU - произвольная непрерывная функция, 6e[t0,tj) - произвольная точка непрерывности управляющей функции u0(t,x) по t, а 8>0 произвольное малое число, такое, что 6 + 8 < t1. Через (Az8(t, x), Ду8(x)) обозначим специальное приращение состояния (z0 (t,x),у0 (x)), соответствующее приращению (53) управления u° (t,x). Ясно, что || Ду8 (x )|| = 0, а ||Дг8 (t, x)||< L6 8, (t, x) е D . (54) Учитывая (53), (54) в (39), получаем разложение x1 Д^yS(u0,v0) = -8 j Д^)H(6,x)dx + 0(8). (55) Теперь специальное приращение управляющей функции v0 (x) определим по формуле д^)-{0, xЖ,), 0 - произвольное достаточно малое число, такое, что | + ц < x,. Через (Az^(t, x), Ay^(x)) обозначим специальное приращение состояния (z0(t,x),у0(x)), отвечающее приращению (56) управляющей функции (u0(t,x),v0(x)) . Из оценок (51), (52) следует, что IK!,x))

Скачать электронную версию публикации