Associated left-invariant contact metric structures on the 7- dimensional Heisenberg group H⁷.pdf 1. Предварительные сведения Напомним основные понятия из теории контактных многообразий. Определение 1 ([1]). Дифференцируемое (2n+1)-мерное многообразие M2n+l класса С называется контактным многообразием, если на нём задана дифференциальная 1-форма п, удовлетворяющая условию nA(dn)n ^ 0 всюду на М2и+1. Форма п называется контактной формой. Контактная форма определяет на многообразии M2n+l 2n-мерное распределение Е2n = {X e TM2n+1: n(X) = 0}, которое называется контактным распределением. Кроме того, контактное многообразие M2n+1 имеет всюду ненулевое векторное поле, обозначаемое 4, которое определяется свойствами: n(I) = 1 и dn(I,X) = 0, для всех векторных полей X на многообразии M2n+1. Векторное поле 4 определяет одномерное распределение, дополнительное к распределению Е2п, и называется полем Риба или характеристическим векторным полем контактной структуры. Определение 2 ([1]). Если M2n+1 - контактное многообразие с контактной формой п, то контактной метрической структурой называется четвёрка (п, 4, Ф, g), где 4 - характеристическое векторное поле, ф - аффинор на M2n+1, g - риманова метрика, для которой имеют место следующие свойства: 1. ф2 = -I + n ® I, где I - тождественный оператор на M2n+l . 2. dn(X,Y) = g(X,ф7). 3. g(qX,ф7) = g(X,Y)-n(X)n(Y) . Риманова метрика g контактной метрической структуры называется ассоциированной. Пусть M2n+1 - контактное многообразие с контактной метрической структурой (п, 4, Ф, g). Рассмотрим многообразие M2"+1xR. Векторное поле на M2"+1xR задаётся парой ^X, f dj , где X - векторное поле, касательное к M2n+l, t - координата из R и f- функция класса С на M2n+1xR. Определим почти комплексную структуру J на M2n+lxR с помощью оператора J, действующего по формуле d j ( d 4 dt' v dt y J(X) = ф(X), если X e E2n . Если почти комплексная структура J интегрируемая, то контактная метрическая структура (п, 4, Ф, g) называется структурой Саса-ки [1]. Пусть M2n+1 - контактное метрическое многообразие, такое, что п - контактная форма и (п, 4, Ф, g) -ассоциированная контактная метрическая структура для контактной структуры п. Если характеристическое векторное поле 4 порождает группу изометрий метрики g, то есть 4 - векторное поле Киллинга относительно g, то такую контактную метрическую структуру называют ^-контактной структурой [1]. J (X, fi- fw d)■ Очевидно, что J2 = -I, J (§) = = 4 Определение 3 ([1]). Контактная метрическая структура (п, 4, Ф, g) называется п-эйнштейновой структурой, если существуют гладкие функции a и b на многообразии M2n+1 , такие, что (1.1) Ric (X,Y) = ag(X,Y) + bn(X)n(Y), X,Y e TM2 2. Контактная структура на группе Гейзенберга И1 Известно [2], что на любой трёхмерной неабелевой группе Ли, за исключением RxId R2, можно задать левоинвариантную контактную структуру. Среди пяти R мерных разрешимых алгебр Ли контактными являются 24 алгебры Ли. В размерности > 7 существует бесконечное семейство неизоморфных контактных алгебр Ли [2]. На любой группе Гейзенберга H2n+1 можно задать левоинвариантную контактную структуру. Рассмотрим семимерную группу Гейзенберга И1. Её алгебра Ли L(H1) образована следующими матрицами: Л L( И 7) = (0 х2 Х4 Х6 х7 0 0 0 0 Х1 0 0 0 0 x3 0 0 0 0 x5 V 0 0 0 0 0 Выберем в алгебре Ли группы Гейзенберга L(H) базис (е1,е2,е3,е4,е5,е6,e7), состоящий из матриц из нулей с единицами только на местах, соответствующих координатным осям (х,, х2, х3, x4, x5, x, (0 0 0 0 ): x4> л5 > (0 0 ' 2 0) 1 0 0 0 0 ) 0 0 0 0 ( 0 0 0 0 0 1) 0 0 0 0 е = e7 = e2 = Тогда скобки Ли в базисе (е^ е2, е3, е4, е5, е6, е7) будут иметь вид [е2, е1 ] = е7, [е4,e3 ] = e7, [e6,e5 ] = e7 . Следовательно, ненулевые структурные константы сле дующие: с/2 = -с21 =-1, С7 =-С7 --1 34 43 С7 =-С7 =-1 56 65 Поскольку построение контактной структуры проводится не просто на многообразии, а на группе Ли, то данная структура является левоинвариантной, и контактная форма n вместе с характеристическим векторным полем 4 задаются своими значениями в единице группы Ли, то есть n = n(e), 4 = 4(e), e e И7 . Алгебра Ли группы Гейзенберга L(B') является контактной алгеброй Ли с контактной формой n = e7* = е7. Легко видеть, что дифференциал dq формы n имеет вид: d n = ej* л e2* + e3* л e4* + e5* л e6*. Таким образом, вектор e7 является характеристическим векторным полем 4 данной контактной структуры, I = е7, так как он удовлетворяет свойствам n(I) = 1 и dn(I,X) = 0 для всех векторных полейXв L(R'). Контактное распределение, ядро 1-формы n, является левоинвариантным распределением, заданным подпространством E6 в алгебре Ли группы Гейзенберга, E6 = R{e1, e2, e3, e4, e5, e6}. Алгебра Ли группы Гейзенберга L(B7) имеет нетривиальный центр Z (L(И7)) = e7 и является разрешимой. Данная контактная алгебра Ли (Ь(И7),n) получена центральным расширением E6 xdn R симплектической коммутативной алгебры Ли (E6, d n) с помощью невырожденного 2-коцикла dn. 3. Ассоциированные контактные метрические структуры на (И1, п) Построим на контактной группе Ли (И7, п) ассоциированные левоинвариант-ные контактные метрические структуры (п, 4, Ф, g) для контактной структуры п. Для этого на основе свойств: ф2 6 = -I, ф(|) = 0, ф2 =-1 + n ® I, определим на IЕ контактной алгебре Ли (L(E'), п) аффинор ф. Такой аффинор ф может быть задан неоднозначно. Из свойства 3 определения 2 следует, что ассоциированную метрику g можно задавать с помощью аффинора ф на основе формулы: g(X,Y) = dn^X,Y) + n(X)n(Y). Также нетрудно заметить, что действие аффинора ф совпадает с действием почти комплексной структуры J на векторах контактного распределении Е2и. Рассмотрим более общую (псевдо)риманову метрику вида gx (X, Y) = dn^X, Y) + Xn(X)n(Y). (3.1) Параметр X обеспечивает деформацию ассоциированной метрики gx вдоль поля Риба 4. В случае отрицательного значения данного параметра, имеем дело с псевдоримановой метрикой. Зафиксируем аффинор ф0, действие которого на базисных векторах (е1, е2, е3, е4, е5, e6, e7) определяется следующим образом: ф0 (e1 ) = e2 , ф0 (e2 ) = -eJ, ф0 (e3 ) = e4 , ф0 (e4 ) = -e3 , ф0 (e5 ) = e6, ф0 (e6 ) = -e5 , ф0 (e7 ) = 0. Определим также метрику выражением *2 *2 *2 *2 *2 *2 *2 g0 = e1 + e2 + e3 + e4 + e5 + e6 + Xe7 . По заданной ассоциированной метрике g0 , соответствующей аффинору ф0 , можно определить новый аффинор ф, который задаётся оператором P по формуле ф = ф0 (I + P)(I - P) [3]. Оператор P действует на алгебре Ли L(^) и имеет следующие свойства: 1. Pф0 = -ф0P, P антикоммутирует с аффинором ф0; P(I) = 0. 2. P симметричен относительно метрики g0, Pg0 - симметричная матрица. 3. I - P2- невырожденная матрица, det(I - P2) Ф 0, где I - тождественный оператор на L^7). С учётом вышеуказанных свойств, следует, что матрица оператора P имеет блочный вид (A B D Л C F F N P lE« = (3.2) где блоки A, B, C, D, F, N - симметричные матрицы вида A=(u ), B=(s ч с=rJ У - x F = N = x v y - x J ^ r -q J ^ z -w параметры u, v, s, t, k, I, x, y, q, r, w, z - действительные числа. Заметим, что матрица (3.2) оператора P содержит 12 параметров. Изучим сначала некоторые частные классы ассоциированных метрик, соответствующих аффинорам ф, которые задаются операторами P четырёх типов (0 B 0 Л ( 0 0 D Л (0 0 0 Л (A 0 0 Л w D = P ь = P ь = P ь = P ь = C 0 B 0 0 0 0 0 D0 0 F F0 0 N В этом случае могут быть найдены выражения ассоциированных метрик и контактных метрических структур в явном виде, что позволит провести дальнейшие исследования. (0 b 0л содержит два параметра s и t. Тогда двухпараметрическое семейство B = t -s аффиноров ф определяется матрицей ф = E 0 где компоненты ненулевого блока ф , вычисленные на основе формулы ф 6 = фJ 6 (I + P)(I - P) 1, имеют IE I E I E ^ ' ^ ' вид 0Л 0 ф3 -2s -2t ф1 ф2 0 ф2 = ф2 ф1 0 2t -2s 1 ф| E6 = ! - s2 - t2 1 + s2 +12 0 -1 ф = -(1 + s2 +12) ф3 = На параметры s и t накладывается ограничение s +1 Ф1, вытекающее из условия невырожденности матрицы I - P2, det (l - P2 ) = ( - s2 -12) Ф 0. Для определенности примем, что параметры s и t принимают достаточно малые значения и s2 +12 < 1. Соответствующее двухпараметрическое семейство ассоциированных метрик определяется из формулы (3.1). Выпишем выражение (3.1) на векторах базиса{е,}: gj = dп1кфк} j. В результате проведенных вычислений в системе Maple ассоциированные мет рики определяются матрицей gx -следующий вид: ' E 0 где компоненты блока g | 6 имеют (g1 g2 0 ) g 2 g1 0 0 0 g3 1 - s2 -12 1 + s 2 +12 0 2s 2t 2t -2s 1 0 0 1 g 2 = g3 = 1 + s2 +12 Варьируя значения параметров s и t, получаем различные вариации ассоциированных контактных метрических структур. Секционные кривизны K{, j в направлении двумерных координатных площадок базисных векторов {е,} имеют следующие выражения: k - K - 3Х(1 -b)2 K{1,2} = K{3,4} = 4 (1 + b )2 K = 3^ K{5,6} = 4" K{1,3} = K{1,4} = K{1,5} = K{1,6} = 0 , K{2,3} = K{2,4} = K{2,5} = K{2,6} = 0 , K{3,4} = K{3,5} = K{3,6} = 0 , K{4,5} = K{4,6} = 0 , K{1,7} = K{2,7} = K{3,7} = K{4,7} = K{5,7} = K{6,7} = T , где b - s2 +12. D -1 Х y I. Тогда двухпараметрические семейства аффиноров ф и ассоциированных метрик g\ задаются матрицами 1 ф E6 - , 2 2 1 - х - y Ф1 0 Ф2 0 ф3 0 ф2 0 ф1 2y -2х -2х -2y , 2 2 1 - х - y g1 0 g 2 ) 0 g3 0 g 2 0 g1) 1 + х2 + y2 0 1 -1 0 ф1 V-(1 + х2 + y2) ф2 ф3 - 1 + x3 + У2 0 j =( 2 x 2 y = 0 1 + x2 + y2 J , g2 Ч2У -2xJ , g3 =10 1 где x2 + y2 < 1, x,y e R . Получены выражения секционной кривизны K{ ^ в направлении двумерных координатных площадок базисных векторов {e,}: 1 0 3X(1 - d )2 4 (1 + d )2 3X 4 K{1,2} = K{5,6} K{3,4} = K{1,3} = K{1,4} = K{1,5} = K'1 6} = 0 {1,6} K{2,3} = K{2,4} = K{2,5} = K{2,6} = 0 , K{3,4} = K{3,5} = K{3,6} = 0 ; K{4,5} = K{4,6} = 0 , K{1,7} = K{2,7} = K{3,7} = K{4,7} = K{5,7} = K{6,7} = "7 , где d = x2 + y2. 3. Пусть матрица оператора P имеет вид P l6 = (0 0 0 Л 0 0 F \0 F 0У где блок F = \q r j. Тогда двухпараметрическое семейство аффиноров ф, ассоцииро- ^r -qJ ванная метрика gx задаются матрицами 1 (Ф 0 0 Л 0 ф2 ф3 0 ф3 ф2 ф E6 = 1 2 2 IE 1 -q -r = 1 + q2 + r2 Л =( 2r -2q ф2 =^-(1 + q2 + r2) 0 j , ф3 =l-2q -2r 0 1 -1 0 0 ф1 = где q2 + r2 < 1, q, r e R. Получены выражения секционной кривизны K{, ^ в направлении двумерных координатных площадок базисных векторов {e,}: K{2,3} = K{2,4} = K{2,5} = K{2,6} = 0 , K{3,4} = K{3,5} = K{3,6} = 0 , K{4,5} = K{4,6} = 0 , K{1,7} = K{2,7} = K{3,7} = K{4,7} = K{5,7} = K{6,7} = "T , где f = q2 + r 2. 4. Пусть матрица оператора P имеет диагональный вид P | 6 = (A 0 0 А 0 C 0 0 0 N где блоки A = ^U v j , С = ^к ^ j, N = ^W Z j содержат по два параметра. Тогда шестипараметрическое семейство аффиноров ф, соответствующая ассоциированная метрика gx задаются матрицами 2v 1 - и 2 - v2 -((1 + и )2 + v 2) , 2 2 V 1 - и - v ( (1 - и)2 + v2 Л , 2 2 1 - и - v -2v , 2 2 1 - и - v ( 0 0 А Ф1 0 ф2 0 0 0 ф3 Ф E = Ф = 21 Ф2 = g 2 = 1 - к2 -12 ((1 + к )2 +12) 1 к2 --2l 1 - к2 -1 2 1 к2 - ( g1 0 0 А g|£6 = 0 g 2 0 V 0 0 g3 J ((1 + к )2 +12 2l 1 - к2 -21 -l2 1 - (1 к2 -к )2 v 1 - к2 -l2 (1 - w)2 + z2 ^ , 2 2 1 - w - z -2 z 1 2 2 1 - w - z 2v , 2 2 1 - и - v (1 - и)2 + v2 (1 - к)2 +l2 А 2 z 1 - w2 - z2 -((1 + w)2 + z2) . 1 -w2 -z2 Фз = ((1 + и )2 + v 2 , 2 2 1 - и - v 2v V 1 - и 2 - v2 ((1 + w)2 + z 2 , 2 2 1 - w - z 2 z , 2 2 1 - w - z g3 = 1 - к2 -l2 j где и2 + v2 < 1, к2 +12 < 1, w2 + z2 < 1, иу,к,l,w,z e R . Секционные кривизны K^ ^ в направлении двумерных координатных площадок базисных векторов {е,} имеют следующие выражения: 3Х((1 + w)2 + z2)((1 - w)2 + z2) 4 (1 - w2 - z2 )2 зх K{1,2} = K{3,4} K {5,6} K{1,3} = K{1,4} = K{1,5} = K{1,6} = 0 , K{2,3} = K{2,4} = K{2,5} = K{2,6} = 0 , х 4 K{3,4} = K{3,5} = K{3,6} = 0 , K{4,5} = K{4,6} = 0 , K{1,7} = K{2,7} = K{3,7} = K{4,7} = K{5,7} = K{6,7} Рассмотрению также подлежал оператор P общего вида (3.2), для которого были найдены явные аналитические выражения двенадцатипараметрического семейства аффиноров ф и ассоциированных метрик gx. Для полученных выражений был проведен многопараметрический анализ и вычислены основные геометрические характеристики с использованием системы компьютерной математики Maple. В общем случае, для любой ассоциированной (псевдо)римановой метрики вида gX (X ,Y) = d n^X ,Y) + Xn(X )n(Y) имеет место Теорема 1. Любая левоинвариантная контактная метрическая структура (п, 4, ф, gX) на группе Гейзенберга И1 является п-эйнштейновой K-контактной структурой Сасаки. Квадраты норм тензора Римана и тензора Риччи ассоциированной левоинвари- 15X2 69X2 антной метрики gx имеют следующие выражения: ||R|| = --, ||Ric|| = ^ Для любой левоинвариантной контактной метрической структуры (п, 4, ф, gx) на группе Гейзенберга И1 оператор тензора Риччи, Ric(X, Y) = gX (ARicX ,Y), имеет следующую диагональную матрицу: Л 0 0 0 0 0 0 3X 2 j 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 _X 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 2 0 0 0 0 0 0 ARic = Скалярная кривизна ассоциированной левоинвариантной метрики gX знакопе- 3X S = _3X 2 , = 2 . Аналогично были исследованы другие семимерные разрешимые контактные алгебры Ли классификационного списка, приведенного в работе [2]. Также для произвольной (2п+1)-мерной группы Гейзенберга И2и+1 с заданной (псевдо)римановой метрикой g0 = e^2 1 « 42 имеет место Vee,. = ,k ки e -j г ,jek , используя шестичленную формулу [4], которая для левоинваременная и равна риантных векторных полей X, Y, Z на группе Ли принимает вид 2g0 (VxY,Z) = g0 ([X,Y],Z) + g0 ([Z,X],Y)-g0 ([Y,Z],X). В базисе {e>} имеем 2g0 (Vei e; , el ) = g0 ([ei, ej ], el ) + g0 {[el, e, ], ej ) - g0 (ei [eI, ej ]) , поэтому rp = 2 (cp + g'pg01kCk] + g0lpg0 с), i, j, p, k, l = 1,-, n. (3.3) Используя формулу (3.3), получаем ГРт,2|| = 2 (СРт,2|Д + g0 Pg02x,kCl,2^g0 P + g0 P g02]l,kCl,2T ) = 0 и Г2Рт-1,2|-1 = 0 , Т М = h-U P - любое. Это следует из того, что С2| Ф 0 при l = 2| -1 и k = 2n +1, Cjk2T Ф 0 при 1 = 2т- 1 и k = 2n + 1, g0ij Ф 0 при i = j . ОчевиДно, Г2Р|,2Х= ^ Г2Рт-1,2|-1 = 0, Г2Р|-1,2т-1 = 0 , Т М = 1,■■■,n, Р - любое. Аналогичными рассуждениями получены ненулевые символы Кристофеля: г 2 n+1 =_^ г 2n+1 = 1 г 2т-1 = г 2т_ = _ ^ 1 2т-1,2т = 2 , 1 2т,2т-1 = 2 , 1 2n+1,2T = 2 , 1 2т,2п+1 = 2 , 2т X 2т X А^ч = 2, ^-и^ = ^ т = 1,-,n . (3.4) Тензор Риччи метрики g0 на алгебре Ли определяется как свёртка тензора кривизны R, R(X,Y)Z =VXVYZ -VYVXZ , по первому и четвёртому индексам: Ric( X, Y) = gjg (R(et, X )Y, e.). Компоненты тензора Риччи на базисных векторах: RiCj = Г;Г'и -rUГ'и -CUГ, . (3.5) Вычислим компоненты тензора Риччи (3.5) на контактном распределе- 1,..., e2n нии E2n = R{e1,..., e2n} : тр • _ yU yl yU yl s~iU yl _ R 2t,2t = 1 2т,2т1 lu - 1 1,2т1 2т,и - Cl,2т1 и,2т = = г2n+1 г2т-1 _ г2n+1 г2т-1 _ c2n+1 г2т-1 + = 1 2т,2т1 2т-1,2п+1 - 1 2т-1,2т1 2T,2n+1 - c2t-1,2t 1 2п+1,2т + + г2т_ г2n+1 _ г2т-1 г2n+1 _ c2т-1 г2n+1 (3 6) +1 2т,2т1 2n+1,2T-1 1 2n+1,2T1 2т,2т_ C2n+1,2T1 2т-1,2т . (3.6) X Подставляя в выражение (3.6) символы Кристофеля (3.4), получим R,c2t2t =--, т = 1,„.,n. тр • _ t-tU yl yU yl s~iU yl _ R 2t,2t-1 = 1 2т,2т_1 Iu - 1 1,2т-1г 2t,u - Cl,2T1 u,2t_ = = ^ (г2т,2т-1Гlu - rl,2T-1r2T,u - Cl,2Tru,2т-1) = 0 , Т = 1, - ,n. (3.7) (u,l) Суммирование в формуле (3.7) идёт по всем наборам (u,l) e {(2т - 1,2n +1), (2т, 2n +1), (2n + 1,2т -1)}. ОпРеДелим RiC2n+1,2n+1 : тр • _ т-тЫ yl уЫ yl yl _ RiC2n+1,2n+1 _ 1 2n+1,2n+11 1ы - 1 l,2n+11 2п+1,ы - Cl,2n+11 ы,2n+1 _ - - г ы г l _ \ 1 / г ы г l \ _ -1 l,2n+1r 2п+1,ы у l,2n+1r 2n+1,u ) , (ы,1 ) где суммирование ведётся по всем наборам (и, l) е {(2т -1,2т), (2т, 2т -1)}. нХ С учётом вьфажений (3.4) получаем Ric2n+1,2n+1 _ у . Окончательно, имеем Ric2т,2т _ -"2 , ^гС2т,2т-1 _ 0, RiC2n+1,2n+1 _ у , Т = ^-n. (3.8) Из выражений (3.8) следует, что Х 2 RiCg0 (X, Y) _ --go(X, Y), X, Y е £2n. Х Пусть в равенстве (1.1) X = 4, Y = 4, a _-у тогда получим х2 RiCgo £) _ -"у + b . Так как £ _ e2n+j, тогда D- / ч Х2 Х2 (n + Х)Х RiCg0 (e2n+1, e2n+1) _-у + b , b _ C2n+1,2n+1 -у _-^-. Таким образом, найдены функции a _ a(e), b _ b(e), e е H7 , удовлетворяющие равенству RiCg (X, Y) _ ag0 (X, Y) + bn(X)n(Y), X, Y е L(H2n+1). Следовательно, структура (n, 4, ф0, g0) - п-эйнштейнова. Теорема доказана.

Скачать электронную версию публикации