On the embedding of two-dimetric phenomenologically symmetric geometries.pdf Г.Г. Михайличенко в 80-х годах прошлого века было дано определение дву-метрической феноменологически симметричной геометрии двух множеств (ДФС ГДМ) ранга (n+1, 2). Им же была построена полная классификация таких геометрий и доказано, что они локально изотопны некоторым транзитивным группам Ли преобразований двумерного многообразия [1]. Исследования ДФС ГДМ ранга (n+1, 2), с групповой точки зрения проводились автором данной статьи [2] и Симоновым А. А. [3]. В работах [4-6] исследовался геометрический смысл некоторых ДФС ГДМ ранга (n+1, 2). Эти исследования в данной статье продолжаются. Основные понятия и постановка задачи ДФС ГДМ ранга (n+1, 2), где n е N, задается на двумерном и 2n-мерном дифференцируемых многообразиях M и N дифференцируемой функцией f: M х N ^ R2 с открытой и плотной областью определения в M х N, сопоставляющей паре точек два действительных числа [1]. Если x,y и n1,...,,П - локальные координаты в многообразиях M и N, то для двухкомпонентной функции f = (fl, f2) можно записать ее координатное представление f = f (x, y, S1, n1,..., r, nn). (1) Предполагается выполнение следующих естественных аксиом: Аксиома 1. Координатное представление (1) функции f невырождено относительно двух координат x иy и относительно 2n координатn1,...,,П . Невырожденность функции f в ее координатном представлении (1) выражается необращением в нуль якобианов: 5(f \i,a), f 2(i,а))/5(х,-,y) * 0 и 5(f1(ii,a), f 2(ii,a),..., f \in,a), f 2(in,a))/5(^,^, 4 двухкомпонентная невырожденная функция f = (f1, f2) не существует. Формулы (3), (5) и (9) можно записать компактно, используя комплексные, дуальные и двойные числа: f = z + 1; (3') f = 4+Д; (5') f=^, (9') z + р где f = f1 + if2, z = х + iy , 1 = 1 + ir\ , Д = 12 + ir\2, p = 13 + in3, i - мнимая комплексная, дуальная или двойная единица, то есть i2 = -1,0,1. Умножение опредеw wz* * ляется покомпонентно, а деление определяется так: - = -- , где z = х - iy - соz |z| пряженное число; |z|2 = zz* = х2 - i2y2- квадрат модуля числа [7]. Множества комплексных, дуальных и двойных чисел обозначаются C, Du и D соответственно и называются еще комплексными, даульными и двойными прямыми. Комплексные, дуальные и двойные проективные прямые будем обозначать: PC, PDu и PD. Последние проективные прямые определяются как и комплексная проективная прямая. В монографии [1] доказывается, что функция (1) ДФС ГДМ ранга (n+1, 2) локально изотопна действию X некоторой группы Ли G2n в M, т. е. существуют три локальных диффеоморфизма ю: R2 ^R2, v:M ^ M, w : N ^ G n, что f (X,S) = ro(X(v(X),w(S))), причем X = (х,y), S = (l\n\..., Г,П). Группа преобразований обозначается G2n (M). Тогда будем иметь: функция (3) локально изотопна группе сдвигов в C, Du или D: z' = z + A, A = aj + ia2; (13) функция (4) локально изотопна группе преобразований арифметической плоскости R2: y х' = ajX + a2, y' = -; (14) a1 функция (5) локально изотопна группе аффинных преобразований в C, Du и D: z' = Aj z + A2, Aj = aj + ia2, A2 = a3 + ia4; (15) функции (6) и (7) локально изотопны группам преобразований в R2: х' = aj х + a3, y' = a2 х + cj y + a4; (16) х' = aj х + a3, y' = a2 х + aj2 y + х2 a^ ln aj + a4; (17) функция (8) локально изотопна центрально-аффинной группе преобразований в R2: х' = aj х + a2 y, y' = a3 х + a4y; (18) функция (9) локально изотопна группе проективных преобразований проективных прямых PC, PDu и PD: Az + A2 z' = ---,A1 = a1 + ia2,A2 = a3 + ia4,A3 = a5 + ia6,A4 = a7 + ia8, (19) A3 z + A4 причем в однородных координатах pz1' = A1 z1 + A2z2,pz2' = A3z1 + A4z2; (19) функция (10) локально изотопна группе центрально-проективных преобразований действительной проективной плоскости PR2: x, = a1x + a3 y ' = a4X + a5 y + a6 (20) a7 x + a9 a7 x + a9 в однородных координатах px' = a1 x + a3 w, py' = a4 x + a5 y + a6 w, pw' = a7 x + a9 w; (20') функция (11) локально изотопна аффинной группе в R2: x' = a1 x + a2 y + a5, y' = a3 x + a4 y + a6; (21) функция (12) локально изотопна группе проективных преобразований в PR2: a, x + a2 y + a3 , a4 x + a5 y + a6 x. = ^-^-L, y. = _4-^-1, (22) a7 x + a8 y + a9 a7 x + a8 y + a9 в однородных координатах px' = a1 x + a2y + a3w, py' = a4x + a5y + a6w, pw' = a7x + a8y + a9w. (22') Пусть функция g = (g1,g2) = g(x,y;12n) задает ДФС ГДМ ранга (n+1, 2), а функция f = (/,f2) = f(x',y';n1,...,n2n,n2n+\n2n+2) задает ДФС ГДМ ранга (n+2, 2), где n = 1, 2, 3. Определение. Будем говорить, что ДФС ГДМ ранга (n+1, 2) вложена в ДФС ГДМ ранга (n+2, 2), если имеет быть место функциональное соотношение f (x', y -; n1,..., n2n, n2n+1, n2n+2 ) = x( g (x, y; I1,..., 12n), 12n+\ 12n+2), где X, x' = X1 (x,y),y' = X2 (x,y), ^ = т1 |2n n+1 12 n+ 2 ) n\n = тП (1 12n |2n+1 ^2n+ 2 ) ^n+1 = т2п+1 ^2n ^2n+1 ^2n+ 2 ) ^n+2 = Т2П+ 2 (^ ^2n ^2n+1 ^2n+2 ) - дифференцируемые функции, причем выполняются неравенства * 0, d(n1,.,,n2"+2) * 0. (23) д( x, y) 12n+2) Основная задача данной работы - доказательство следующей теоремы. Теорема. В каждую ДФС ГДМ ранга (n+2, 2) вложена по крайней мере одна из ДФС ГДМ ранга (n+1, 2), где n = 1, 2, 3. Доказательство теоремы. Эта теорема доказывается групповым методом. Рассмотрим произвольную точку u е M. Множество всех преобразований из группы Ли преобразований G2n (M), оставляющих неподвижными точку u, обозначается Gu. Это подмножество является стационарной подгруппой в G2n (M) [8]. Найдем все стационарные подгруппы вышевыписанных групп преобразований. Рассмотрим сначала группу проективных преобразований действительной проективной плоскости PR2, в однородных координатах задаваемую уравнениями (22'). Найдем её стационарную подгруппу G(0y0) с неподвижной точкой (0,y,0). Используем условие неподвижности точки: 0 = a2y, py = a5y,0 = a8y, поэтому a2 = 0,a8 = 0. Найденное подставляя в (22'), получаем (20'), то есть группа преобразований (20) является стационарной подгруппой проективной группы (24). Далее рассмотрим аффинную группу (21). Найдем ее стационарную подгруппу G(0 0). Тогда 0 = a5,0 = a6, следовательно, получаем центрально-аффинную группу (18). Запишем стационарную подгруппу G(x00) центрально-проективной группы (20'), для которой a4 = 0, a7 = 0. Переходя к неоднородным координатам, получаем группу преобразований x' = a1 x + a3, y' = a6 y + a7, локально изоморфную группе преобразований (15) при i2 = 1. Далее рассмотрим группу (19'). Ее стационарная подгруппа с неподвижной точкой (z1,0) в неоднородных координатах совпадает с аффинной группой (15). Рассмотрим теперь группы преобразований (15), (16) и (17). Их стационарные подгруппы G(00) следующие: z' = A1z; (15') x' = a1 x, y' = a2 x + a^ y, уф 1; (16') x' = a1 x,y' = a2x + a2y + x2aj2 lna1. (17') Стационарная подгруппа G^ 0) группы преобразований (18) следующая: x' = x + a2 y, y' = a4y. (18') Отметим, что группа преобразований (15') локально изоморфна группе (13), а группы (16'), (17') и (18') локально изоморфны группе (14). Локальный изоморфизм групп Ли преобразований означает совпадение структурных констант, которые в перечисленных выше группах Ли преобразований легко вычисляются, что продемонстрируем на примере (18'). Сначала вычисляем базисные операторы: dy г х = 'dx' da2 г = : dx' da4 d„+| n v da2 a2 =a4 =0 2 d i dy' d x +' „ v da4 a2 = a4 =0 4 ^ d y = у9 x a2=a4 =0 d y = yd y a2 = a4 = 0 следовательно, их коммутатор [X, Y] = -X. Аналогично вычисляем базисные операторы группы преобразований (14): X = xdx - ydy, Y = dx, следовательно [ X, Y ] = -X. Видно, что для этих групп преобразований структурные константы совпадают, поэтому они локально изоморфны. Подобным образом проверяется локальный изоморфизм для остальных групп Ли преобразований. Приступим теперь к построению вложений. Сначала рассмотрим группу преобразований (15). Очевидно, любое преобразование из этой группы является композицией преобразований подгрупп (15') и (13): z'' = A z'+ A2 = C (z + B), одна из которых стационарная. Тогда A1 = C, A2 = CB. Переходя к явным записям, имеем: a = c1, a2 = c2, a3 = c1b1 + ec2b2, a4 = c1b2 + c2b1. Теперь рассмотрим группу преобразований (16). Любое преобразование из этой группы является композицией преобразований подгрупп (16') и (13): x" = a1x'+ a3 = bj (x + c1),y" = a2x'+ a[y'+ a4 = b2 (x + c1) + bj (y + c2). Тогда a1 = b1, a2 = b2, a3 = b1c1, a4 = b/ c2 + b2c2. Рассмотрим группу преобразований (17). Очевидно, любое преобразование из этой группы является композицией преобразований подгрупп (17') и (13): x" = a1 x'+ a3 = b1 (x + c1), y" = a2 x'+ aj2 y'+ x '2 a12 ln a1 + a4 = = b2 (x + c) + b/ (y + c2) + (x + c )2 b12 lnb1. Тогда a1 = b1, a2 = b2, a3 = b1c1 + 2qb2 lnb1, a4 = b1yc2 + b2c1 + c12b12 lnb1. Преобразование из группы (18) является композицией преобразований подгруппы (18') x" = x'+ c1 y',y" = c2y' и ей локально изоморфной группы x' = b1 x, y' = y + b2 x, поэтому x" = b1x + c1(y + b2 x), y" = c2(y + b2 x). Тогда a1 = b1 + c1b2, a2 = c1, a3 = c2b2, a4 = c1. Далее, любое преобразование из группы (19) является композицией преобраz зований подгруппы (15) z" = B1 z'+ B2 и следующей: z' =-. Тогда C1z + C2 R z 1 + B2, C2 z + C2 поэтому A1 = B1 + B2C1, A2 = B2C2 , A3 = C1, A4 = C2 . Теперь возьмем группу преобразований (20). Преобразование из этой группы является композицией преобразований подгрупп x" = b1x'+ b2, y" = b3y'+ b4 и 4 c x c2y x =-1-, y = ---, одна из которых стационарная: c3 x + c4 c3 x + c x" = b1 qx + b2, y" = b3 c2y + b4 тогда - I bС3 , ^3 - С4, $4 - ^4С3, - ^3^2, 0^6 - b4С4, ^7 - С3, 0^9 - С4. Еще рассмотрим группу преобразований (21). Произвольное преобразование из этой группы является композицией преобразований подгрупп x - b1x'+ b2у', у" - b3 х '+ b4y' и x ' - x + c1, у' - у + c2, одна из которых стационарная. Тогда х" - b^ x + С1) + b2(y + c2), у" - b3( x + С1) + b4(y + c2), поэтому a1 - b1, a2 - b2, a4 - b3, a5 - b4, a3 - b1c1 + b2c2, a6 - c1b3 + c2b4. Наконец, рассмотрим группу преобразований (22). Всякое преобразование из этой группы является композицией преобразований подгрупп ,, b,x + b2 b3 х'+ Ь4у '+ b5 X - -1-'--, у - --2-- и X - c1 X + c2у, у - у. Явный вид композиции b6 X + b7 b6 х '+ b7 X,, - b1(c1 х + c2 у) + b2 у „ - b3(c1 х + c2 у) + bA у + b5 b6 (c1 X + c2 у) + b/ b6 (c1 X + c2 у) + b7 ' поэтому a1 - b1c1, a2 - b1c2, a3 - b2, a7 - b6c1, a8 - b6c2, a9 - b7, a4 - b3c1, a5 - b3c2 + b4, a6 - b5. Для всех вышеполученных результатов выполняется неравенство (23). Теорема доказана полностью. ■ Из доказательства теоремы вытекает. Следствие. Всякое преобразование группы преобразований G2n (M), задающее ДФС ГДМ ранга (n+2, 2), является композицией преобразования стационарной подгруппы Gu, задающей ДФС ГДМ ранга (n+1, 2), и некоторого преобразования подгруппы G1. Следует отметить, что представленные при доказательстве теоремы вложения не являются единственными. Так, в работе [9] приводятся аддитивные и мультипликативные вложения ДФС ГДМ ранга (2, 2) в ДФС ГДМ ранга (3, 2), многие из которых негрупповые: Аддитивные вложения ДФС ГДМ ранга (2, 2) в ДФС ГДМ ранга (3, 2): для ДФС ГДМ (5): Xf + еуп + j - X1 (х + f,у + П,j,v),Щ + K+v - X2 (х + f,у + n,j, v), х - х, у - у, f - j, n -V, j - f j + env, v - fv + n j, X1 -(х + 1)ц + е(у + n)v X2 -(X + £^ + (у + n)j для ДФС ГДМ (6): Xf + j -X1 (х + f, у + П, j, v), Щ + f%c +v-X2 (х + f, у + n, j, v), X - x, у - у, f - j, n - v, j - fj, v - fv +njc, X1 -(х+f) j, X2 -(х+f)v+(+n) jc; для ДФС ГДМ (7): + V = X (x + Х,у + -,Ц,v),x- + уХ1 + x2X2 ln? + V = x2 (x + 1,у + -,Ц,v), x = x,у = у, Х = Ц,- = 2Х^ЯЦ, Ц = ХЦ, v = Xv +-Ц2 +Х2Ц21пц, х1 =(x+Х)ц, х2 = (x+Х)2 ^w+(x+X)v+(+-)ц2; для ДФС ГДМ (8): xX + уц = х1 (x + Х,у + -,Ц, v),x- + xv = х2 (x + Х,у + -,Ц,v), x = exp x, у = exp у, X = Ц exp X, - = Ц2 exp X, Ц = v exp -, v = v2 exp -, X1 =цexp(x + X) + vexp^ + n), X2 = ^exp (x + X) + v2exp(у + n). Мультипликативные вложения ДФС ГДМ ранга (2, 2) в ДФС ГДМ ранга (3, 2): для ДФС ГДМ (5): xX + еуП + Ц = Х1 ((x + Х)у,( x + Х)П, Ц, v), x- + уХ + v = X2((x+ х)у,( x + )n, Ц, v), x = x, у = 1/у, X = n, - = ПЦ, Ц = Xn, v = ХПЦ +v, X1 =(x+X)n+-, X2 =(x+Х)пц+-+v; у у для ДФС ГДМ (6): ^Х + Ц = х1 ((x + X)у,(x + X)n,Ц,v),X-+ уХc +v = х2 ((x + X)у,(x + X)n,Ц,v), при c Ф 0: x = x, у = 1/ус, X = -, - = -Ц, Ц = X-, v = Х-Ц +v, х1 =(x+X)n, X2 =(x+Х)-ц+(-) +v; при c = 0: x = x, у = - ln у, X = -, - = -Ц, Ц = Xn, v = Х-Ц + ln П + v, X1 =(x + X)n, X2 =(x + Х) - Ц + 1п n-ln у + v; для ДФС ГДМ (7): xX + ^ = X1 ((x + X).V,(x + X)n,Ц,v), x-+уХ2 + x2 X2ln X+v = x2 ((x+Х)у, (x+X)n, Ц, v), - ^ x ln у X - X 2 - x = ^ у =---X=n,- = X- , Ц = Ц, v = v у у у X1 =-, X2 =(x + X)n- + f-l (ln n-ln у) + v; у у (у) для ДФС ГДМ (8): х\ + уЦ = X1 ((x + Х)у,(x + X)n,Ц,v), x- + Yv = y2 ((x + X)у,(x + X)n,Ц,v), x = y, y = xy, + ц = - + ^ц, H = v, v = ц, П X=(x( 0: a - У' - yj a - yi - y2 - yi x «1 - 2 j , «з _ У\ 2 1 i, xj Xj xxj xxj - y2 y2 - x2 x2 "2 - 2 - 1 2 - 1 xj xj xj a4 - y2 - a2xj + a12x2 + (xj )2 aj lna1. Далее рассматриваем группу аффинных преобразований (21). Здесь n = 3, поэтому берем две совокупности по три точки: yj - a1xj + a2 x2 + a5, y2 - a3 xj + a4 x2 + a6, yj - a1 xj2 + a2 xj + a5, yj - a3 xj + a4 xj + a6, 3 _ 3 3 3_3 3 yj - a1 xxj 1 a2 I a5, У2 - a3 xj I a4 x*2 I a6. Полученная система однозначно разрешима относительно параметров a^...,a6, если невырождена матрица коэффициентов. И, наконец, рассматриваем группу проективных преобразований (22). Здесь n = 4, поэтому берем две совокупности по четыре точки и для них записываем равенства по системе (22), записанные в неоднородных параметрах: у1 - У12 - у3 - У14 - Очевидно, полученная система однозначно разрешима относительно параметров b1,...,b8, если совокупности точек берутся из открытого и плотного подмножества точек Q(M) в M4. ■ Заключение В данной статье установлены связи ДФС ГДМ разного ранга, то есть доказано, что ДФС ГДМ меньшего ранга вложены в ДФС ГДМ большего ранга. Здесь эта задача решена групповым методом, но можно ее решить и не прибегая к понятию группы преобразований. Так, в работе [9] ставится задача о вложении для ДФС ГДМ в общем виде как решение особых функциональных уравнений, правда, там они не решаются, а приводятся некоторые результаты. ■ aj - (xj + xj) aj ln a1, b1 x1 + b2 x2 + b3 , у2 b4 x1 + b5 x2 + b6 b7 xj + x2 + b8 b7 xj + x2 + b8 b1 xj + b2 xj + b3 , у2 b4 xj2 + b5 xj + b6 b7 xj + xj + b8 b7 xj2 + x22 + b8 b1 xj3 + b2 x3 + b3 , у3 b4 xj3 + b5 x23 + b6 b7 x3 + x23 + b8 b7 xj3 + x23 + b8 b1 xj4 + b2 x4 + b3 -, у4 b4 xj4 + b5 x4 + b6 b7 xj4 + x2" + b8 b7 xj4 + x4 + b8

Скачать электронную версию публикации