Testing of defining relations of nonlinear theory of elasticity in an axial strain of a hollow cylinder.pdf Развитие нелинейной теории упругости является одним из актуальных направлений механики сплошных сред, что подтверждается широким распространением подобных материалов и наличием новых публикаций по данной тематике [1-4]. Одной из ключевых проблем нелинейной теории упругости является формулировка связей между напряжениями и деформациями [5, 6]. Адекватность представления материала определяющим соотношением можно оценить, рассматривая различные нагружения нелинейно-упругих материалов. В данной работе в рамках такой оценки рассмотрено осесимметричное нагружение, представляющее равновесный процесс осевого сдвига полого цилиндра. Выбор данной схемы обусловлен широким распространением подобных деталей, что находит отражение в ряде работ по нелинейной теории упругости [7-10]. Рассмотрим отличия данного процесса от исследований, проводимых в отношении похожих видов нагружений. Так, в работах Э.Э. Лавендела [11], В.И. Бидерма-на [12] рассматривается задача кругового сдвига (приложен момент M к внешней обойме) для несжимаемого материала. Л.И. Лурье [13] также рассматривал круговой сдвиг, но в рамках модели сжимаемого материала. В статье Beaty [14] рассматривается круговой сдвиг сжимаемого материала: на кинематические характеристики процесса накладываются ограничения, упрощающие выкладки, в результате использования которых изменение объема в процессе деформирования не происходит. Вследствие этого авторы устанавливают, каким дополнительным условиям должны удовлетворять определяющие соотношения для того, чтобы их можно было применить к фактически несжимаемым материалам. Таким образом, в данной статье рассматривается другой вид осесимметричного нагружения цилиндра, изначально на кинематику не накладывается дополнительных ограничений. Результаты решения задачи об осевом сдвиге полого цилиндра могут быть использованы для апробации определяющего соотношения. В работе представлены 1 Работа выполнена при частичной поддержке гранта Президента Российской Федерации (проект МД-1803.2019.1) и РФФИ (проект № 18-31-20053). Апробация определяющих соотношений нелинейной теории упругости 103 результаты моделирования для классических соотношений, к которым можно отнести связи между деформациями и напряжениями Гузя [15], Мурнагана [12] и т. п. Также моделирование осуществлено для определяющих соотношений, построенных в рамках подхода, представленного в работах Л. А. Толоконникова [16], А.А. Маркина [17], А.В. Муравлева [18], позволяющего контролируемо учитывать различные механические эффекты и удовлетворить частному постулату изотропии Ильюшина. 1. Расчетная схема и кинематические соотношения Внутренняя и внешняя поверхности цилиндра скреплены с жесткими обоймой и валом соответственно. Вал закреплён неподвижно. К обойме приложен сила в направлении оси симметрии цилиндра Oz. Внутренний радиус цилиндра обозначим R2 , внешний - R1. Задачу об исследовании напряжённо-деформированного состояния полого цилиндра при осевом сдвиге естественно решать в цилиндрической системе координат. Пусть (x1,x2,x3)=(R,θ,zo)- цилиндрические координаты материальной точки цилиндра в начальном состоянии, (r, φ, z) - цилиндрические координаты этой же точки в деформированном состоянии (ось Oz совпадает с осью симметрии цилиндра). В рамках данной модели связь между указанными координатами будет выглядеть следующим образом: r = r (R); φ = θ; z = Zr (R) + Zo . (1) Из представлений (1) следует форма записи радиус-вектора положения точки в деформированном состоянии x : x=reR +zez . R zo ∂ x Запишем выражения векторов материального базиса 5i =----: ∂xi 1 rRzo 2 θ 3 zo Из последних формул можно найти базис 3i, взаимный по отношению к материальному: 51 = eL, 52 = eθ, 53 = ^z - zR- Br . zo (2) zo R r r r Приведём диадное представление аффинора деформации: zozo

Скачать электронную версию публикации