Spherical flow of an ideal fluid in a spatially nonuniform field of force.pdf Уравнения стационарного сферического течения идеальной несжимаемой жидкости являются важным элементом теории гидродинамических явлений в атмосфере, океане и технических сооружениях. Запишем эти уравнения в следующем виде: (1) (2) (3) dvφ Vθ dvφ vφ 1 vφv^ 1 ∂p (4) v^!- + -ї--vφV^ ctgθ =---- + Fφ . r∂rr∂θ rsin θ ∂φ rφrr ρrsin θ ∂φ φ Здесь r, θ, φ - сферические координаты; v(vr, vθ, vφ) - вектор скорости жидкости; p - давление; ρ - плотность; F(Fr, Fθ, Fφ) - вектор ускорения под воздействием массовой силы (далее для краткости применяем термин «массовая сила»). Сформулируем основные предпосылки данной работы. 1. Точные решения уравнений (1) - (4) представляют не только самостоятельный интерес, но и служат средством тестирования вычислительных программ при моделировании гидродинамических процессов в сферических слоях. Отдельные классы решений, а также библиография проблемы точного аналитического описания невязких и вязких сферических и осесимметричных течений несжимаемой жидкости имеется в работах [1-5]. Отметим, что известные точные решения системы уравнений (1) - (4) получены, в основном, при отсутствии массовых сил. 2. Заслуживает внимания вопрос о сферических течениях жидкости в силовых полях, физическая природа которых обусловлена гравитационными, электриче- Сферическое течение идеальной жидкости в пространственно-неоднородном силовом поле 147 скими и другими явлениями. Речь идет о массовой силе, векторное поле которой является потенциальным, соленоидальным либо лапласовым. В качестве примера назовем публикацию [6], в которой изложены свойства двухмерного вязкого течения при наличии соленоидальной массовой силы. 3. Задача протекания для уравнений Эйлера [7, 8] и Навье - Стокса [9] относится к актуальным проблемам математической гидродинамики. Современное состояние методов вычислительного моделирования двухмерного невязкого течения сквозь замкнутую область представлено в [10]. В теоретическом отношении важное значение имеет задача протекания в трехмерной области типа сферического слоя [11]. Цель работы: получить точные частные решения системы уравнений (1) - (4) и указать примеры протекания жидкости через границы сферического слоя; рассмотреть воздействие потенциального, соленоидального и лапласова силовых полей на скорость и давление жидкости. Протекание жидкости сквозь ядро сферического слоя Непосредственно подстановкой можно проверить, что системе (1) - (4) удовлетворяет частное решение, полученное из эвристических соображений: vr = A1 (1 - 2R) cos θ , vθ = 2A1R sin θ, v^ ≡ 0 ; (5) (6) = 3A1 (R∣r) cos2θ, Fθ = -3A12 (Rr )sin2θ, F,^ ≡ 0 ; R = ln (^r0), 0 < r0 0 обеспечивается подходящим выбором константы p0. Течение происходит в сферическом слое конечной толщины: r ∈ [r0, rw ], rw = r0 exp (1∣2). Внешняя граница слоя непротекаемая: r = rw, R = 1/2, vr(R = 1/2) = 0. Жидкость протекает через внутреннюю границу слоя (r = r0, R = 0): vθ(R = 0) = 0, vr(R = 0) = /I .cosθ. Возьмем для определенности ^1>0. Тогда в северной (0 ≤ θ ≤ π/-) части слоя жидкость вытекает из ядра: R = 0, vr > 0. На экваторе (θ = п/2) протекания нет: vr = 0. В южной (п/2 < θ ≤ π) части слоя жидкость течет внутрь ядра: R = 0, vr

Скачать электронную версию публикации