On projectively inert subgroups of completely decomposable finite rank groups.pdf Все группы, если специально не оговорено, предполагаются абелевыми. Через E(G) обозначается кольцо эндоморфизмов группы G. Подгруппы H, K группы G называются соизмеримыми (обозначение H ~ K), если обе факторгруппы (K + H)/H и (K + H)/K конечны. Соизмеримость является отношением эквивалентности. Если ф е E(G), то подгруппа H < G называется ф-инертной, если H соизмерима с H + фН. Если H ф-инертна для всякого ф е E(G), то H называется вполне инертной. Подгруппу Н < G, п-инертную для всякой проекции п группы G, назовем проективно инертной. Проективно инертные подгруппы образуют более широкий класс групп, чем вполне инертные подгруппы. Так, в неразложимой группе всякая ее подгруппа проективно инвариантна. Вполне инертные подгруппы абелевых групп изучались в [1-5]. Подгруппа, соизмеримая с некоторой вполне инертной подгруппой (в частности, с вполне инвариантной подгруппой), сама является вполне инертной [1, следствие 2.10]. В [2], соответственно и в [3], показано, что всякая вполне инертная подгруппа свободной группы и р-группы, разложимой в прямую сумму циклических групп, соизмерима с некоторой вполне инвариантной подгруппой; делимые группы таким свойством в общем случае не обладают [1]. Различным вопросам инертности в теории групп посвящена статья [6]. Лемма 1. Для подгруппы Н группы G следующие условия эквивалентны: 1) Н проективно инертна; 2) Н ~ пН + (1 - п)Н для всякой проекции п группы G; 3) Н ~ (A П Н) Ѳ (B П Н) для всякого прямого разложения G = A Ѳ B группы G. Доказательство. Эквивалентность 1) » 2) справедлива ввиду равенства пН + (1 - п)Н = Н + пН. 1) ^ 3) Поскольку (пН + Н)/Н = пН/(пН П Н), то пН П Н~ пН, аналогично (1 - п)Н П Н~ (1 - п)Н. Поэтому (пН П Н) + ((1 - п)Н П Н)) ~ пН + (1 - п)Н = = Н + пН ~ Н. Теперь следует учесть, что пН П Н с A П Н и (1 - п)Н П Н с B П Н. 3) ^ 1) Пусть п - проекция и ^G) = A, (1 - ^G = B. По условию Н~ (A П Н) Ѳ (B П Н). Поскольку B П Н с Н, то Н ~ (A П Н) + Н. Осталось заметить, что A П Н имеет конечный индекс в пН. Действительно, условие А.Р. Чехлов, О. В. Иванец 64 H ~ (A П H) Ѳ (B П H) означает, что почти все элементы подгруппы H содержатся в (A П H) Ѳ (B П H), но тогда почти все элементы %H содержатся в A П H. Из доказательства импликации 3) ^ 1) леммы 1 следует, что справедливо Замечание. Если H - проективно инертная подгруппа группы G = A Ѳ B, то A П H ~ пИ, где п - проекция группы G на A. Отметим следующие простые свойства. 1. Подгруппа, соизмеримая с некоторой проективно инертной подгруппой (в частности, с проективно инвариантной подгруппой), сама является проективно инертной. В связи с этим свойством представляет интерес вопрос изучения классов групп, в которых все проективно инертные подгруппы соизмеримы с проективно инвариантными подгруппами. 2. Если H - проективно инертная подгруппа группы G, то для любых проекций пь..., пп группы G подгруппа H + п1 (H) + ■ ■ ■ + nn(H) соизмерима с H. 3. Если H - проективно инертная подгруппа группы без кручения G, то n(H) с H* для всякой проекции п группы G, где H - чистая оболочка подгруппы H в G. В частности, подгруппа H* является проективно инвариантной в G. Это свойство вытекает из того, что подгруппа HJH факторгруппы G/H совпадает с ее периодической частью. 4. Если H - проективно инертная подгруппа группы G = A Ѳ B, то подгруппа A П H проективно инертна в A. Причем если ф е Hom (B.A), а а - проекция группы G, то подгруппа (A П H) + ф^ П H) + na(A П H) соизмерима с A П H, где п -проекция группы G на прямое слагаемое A. Первое утверждение этого свойства следует из того, что если A = U Ѳ V, то H~ (U П H) Ѳ (V П H) Ѳ (B П H), где A П H~ (U П H) Ѳ (VП H) и U П H = U П (A П H), V П H = V П (A П H). Далее, пусть п: G^A и Ѳ: G^B -проекции. Тогда п + пфѲ также является проекцией группы G и (п + пфѲ)((Л П Е)Ѳ(B П H)) = (A П H) + фф П H). Подгруппа (A П H) Ѳ (B П H) ввиду проективной инертности соизмерима с (A П ЩѲ^ П H) + + (п + пфѲ)((Л П H) Ѳ (B П H)), поэтому подгруппа A П H = п(^ П H) Ѳ (B П H)) соизмерима с подгруппой A П H + ф^ П H) = п(^ П H + ф^ П H)) Ѳ (B П H)). Покажем теперь, что A П H~A П H + па(A П H). Действительно, это следует из соотношений A П H~ п(И) з па(Л П H). Итак, A П H~ A П H + ф^ П H) и A П H~ A П H + m(A П H), поэтому A П H ~ A П H + ф^ П H) + па(Л П H). 5. Если проективно инертная подгруппа H группы G содержит ненулевую делимую подгруппу без кручения, то H содержит делимую часть D = D(G) группы G; а если H содержит подгруппу, изоморфную квазициклической p-группе Ж(рх), то H содержит p-компоненту группы D. Делимая часть D(H) группы H выделяется прямым слагаемым в G, G = D(H) Ѳ K. Имеем D = D(H) Ѳ (D П K). Поэтому если D(H) группа непериодическая, то она содержит прямое слагаемое, изоморфное Q. Всякая делимая группа ранга 1 является гомоморфным образом группы Q. Получаем, что для каждой делимой подгруппы D' ранга 1 группы D П K существует такой гомоморфизм ф е Hom (D(H), D'), что H П фH является подгруппой конечного индекса в D'. Делимые группы не имеют собственных подгрупп конечного индекса, поэтому D £ H. В случае подгруппы Ъ(рт) рассуждения аналогичны. О проективно инертных подгруппах вполне разложимых групп конечного ранга 65 6. Если делимая часть без кручения F группы G имеет бесконечный ранг и проективно инертная подгруппа H группы G является непериодической, то H содержит делимую часть D группы G. Имеем G = F Ѳ K и H~ (F П H) Ѳ (K П H). Поскольку всякая группа без кручения бесконечна, то из свойства 4 следует, что F П H #0 и является существенной подгруппой в F. Ввиду бесконечности ранга группа F П H имеет в качестве гомоморфного образа группу Q. Поэтому, как в свойстве 5, получаем, что D < H. Через Gp обозначим p-компоненту группы G. 7. Если G = D Ѳ R, где D = F Ѳ (Ѳ p Dp) - делимая часть группы G, F - делимая часть без кручения, Ѳр Dp -периодическая часть группы D и H - такая проективно инертная подгруппа группы G, что подгруппа H П R не является периодической, то подгруппа H П F существенна в F, причем D £ H, если ранг без кручения подгруппы H П R бесконечен. Если же подгруппа H П Rp не является ограниченной, то Dp £ H. Если подгруппа H П R не является периодической, то она содержит бесконечную циклическую подгруппу. Поскольку делимые группы инъективны, то отсюда следует, что H П D' Ф 0 для всякой делимой подгруппы без кручения D' ранга 1, в частности H П F существенна в F. Если же ранг без кручения подгруппы H П R бесконечен, то она содержит свободную группу K бесконечного ранга, всякая счетная группа является гомоморфным образом группы K; откуда следует, что H содержит каждую подгруппу ранга 1 группы D, значит, D £ H. Если группа H П Rp неограниченная, то существует эпиморфизм H П Rp^E(pm), откуда следует, что Dp £ H. Очевидно, что если A - вполне инвариантное прямое слагаемое группы G, то всякая проективно инертная подгруппа группы A будет проективно инертной подгруппой группы G. Справедливость следующего свойства также очевидна. 8. 1) Пусть G = A Ѳ B. проективно инертная подгруппа H группы A является проективно инертной подгруппой группы G тогда и только тогда, когда fH - конечная группа для каждого f е Hom (A, B). В частности, если A - проективно инертное прямое слагаемое в G, то Hom (A, B)A - периодическая подгруппа в B. 2) Если B - группа без кручения, а H - существенная проективно инертная подгруппа группы A, то H будет проективно инертной подгруппой группы G = A Ѳ B тогда и только тогда, когда A - вполне инвариантное прямое слагаемое в G. Из примера 4.7 статьи [1] следует справедливость следующего интересного факта. Пример 1. Если G - группа без кручения, конечного ранга n и H < G - ее вполне разложимая однородная подгруппа ранга п, то Hявляется вполне инертной в G. Пример 2. Если G - группа без кручения, ранг аддитивной группы кольца E(G) > 1 и все ненулевые эндоморфизмы группы G суть мономорфизмы, то всякая циклическая подгруппа X группы G (будучи проективно инвариантной) не является вполне инертной. Действительно, в этом случае найдется f е E(G), такой, что nf # m-1G, где 1G -тождественный эндоморфизм группы G. Поскольку все ненулевые эндоморфизмы группы G есть мономорфизмы, то отсюда следует, что фактор-группа (X + f(X)) / X будет бесконечной. А.Р. Чехлов, О. В. Иванец 66 Пример 3. Если A - неразложимая группа и X < A, то для всякой группы B со свойством Hom (B, A) = 0 подгруппа H = X Ѳ B является проективно инвариантной в G = A Ѳ B. Действительно, если G = UѲ V, то B = (U П B) Ѳ (V П B) ввиду вполне инвариантности подгруппы B, где U П B = U или V П B = V в силу неразложимости группы A. Поэтому, если, к примеру, U П B = U, то H = U Ѳ (V П H). Лемма 3. Пусть G = Gj Ѳ.. .Ѳ Gn, %{. G^Gi - соответствующие проекции и Ht - проективно инертные подгруппы групп Gj i = j,...,n. Подгруппа H = Hj Ѳ...Ѳ Hn является проективно инертной тогда и только тогда, когда для каждого i = 1,...,n подгруппа Hi соизмерима с Hi + ni0(Hi) + ф(ѲjФ i Hj) при каждой проекции Ѳ группы G и каждом ф е Hom (ѲjФ i Gj, G). Доказательство. Необходимость. Следует из свойства 4. Достаточность. Пусть Ѳ - проекция группы G. Имеем Ѳ = +...+ ппѲ. Достаточно показать, что H ~ H + n,0(H) для каждого i = J,...,n. Данная соизмеримость является следствием соизмеримости Ht с Ht + n,0(H). Поскольку n,0(H) = nfi(H) + п,0(ѲjФ j H}), где п,0 действует на ѲjФ ,■ Hj как гомоморфизм из Hom (ѲjФ i Gj, Gi), то соизмеримость Hi с Hi + n,0(H) выполняется по условию. Следствие 4. Пусть G = Gj Ѳ...Ѳ Gn, а H- такая проективно инертная подгруппа группы G, что все подгруппы H П Gi являются вполне инертными в G. Тогда подгруппа Hявляется вполне инертной в G. Пример 4. Пусть X - свободная группа конечного ранга, Y - периодическая группа. Тогда X является вполне инертной, не проективно инвариантной подгруппой в группе X Ѳ Y. Поскольку Hom (X, Y) Ф 0, то подгруппа X не проективно инвариантна в X Ѳ Y, а поскольку образ f(X) конечен для всякого f е Hom (X, Y), то X является вполне инертной подгруппой. Пример 5. Пусть A - неразложимая редуцированная группа без кручения и X-ее свободная подгруппа конечного ранга. Тогда если B - делимая группа без кручения конечного ранга, а Y - ее существенная свободная подгруппа, то X Ѳ Y является проективно инертной, но не проективно инвариантной подгруппой группы G = A Ѳ B. Доказательство. Подгруппа X является проективно инвариантной в A, а Y вполне инертной в B. Для всякого ф е Hom (A, B) фактор-группа (X + ф(У)) /X конечна как конечно порожденная периодическая группа. Поэтому по свойству 4 подгруппа XѲ Y является проективно инертной в G. Пусть f: A^B - такой гомоморфизм, что f(x) 2, Gi = Gj при ij = 1,...,n, то всякая проективно инертная подгруппа H группы G является вполне инертной. Доказательство. Пусть f е E(G), ni: G^Gi- проекции. Тогда f = nf +...+ nf Далее, если Ht = H П Gi, то достаточно показать соизмеримость Ht с Hi + nfH) + лД©jФ i Hj). Соизмеримость Ht с Ht + nf©jФ i Hj) есть следствие леммы 3, а соизмеримость Hi с Ht + %fHt) следует из изоморфизма прямых слагаемых G. Образ Kjf(Hi) соизмерим с образом подгруппы Hj (j Ф i) при некотором гомоморфизме Gj^Gj. Отметим, что в [5] изучались вполне инертные подгруппы вполне разложимых групп бесконечного ранга; в частности, там получен следующий результат. Пример 6. Пусть A - однородная вполне разложимая группа без кручения конечного ранга и pA Ф A для всякого простого числа p, B - однородная вполне разложимая идемпотентного типа группа без кручения бесконечного ранга и t(B) > t(A). Тогда в G = A © B всякая вполне инертная подгруппа H j 0 соизмерима с некоторой вполне инвариантной подгруппой.

Скачать электронную версию публикации