Рассматриваются парасасакиевы структуры на пятимерных контактных алгебрах Ли ɠ с ненулевым центром. Такие алгебры Ли являются центральными расширениями четырехмерных паракэлеровых алгебр Ли (ɧ,ω). В работе предложена классификация пятимерных парасасакиевых алгебр Ли с нетривиальным центром, основанная на классификации паракэлеровых структур J на симплектических алгебрах Ли (ɧ,ω).
On parasasakian structures on five-dimensional Lie algebras.pdf 1. Введение Комплексные и контактные многообразия - одни из самых активных областей исследований в дифференциальной геометрии. В последние годы все большее число исследователей привлекают их паракомплексные и параконтактные аналоги [1-4, 14]. Если мы имеем дело с группами Ли, то естественно рассматривать левоинвариантные структуры, которые определяются эндоморфизмами алгебр Ли. Структуры на группах Ли малых размерностей представляют особый интерес ввиду возможностей их классификации. В частности, четырехмерные комплексные алгебры Ли, симплектические и псевдокэлеровы алгебры Ли были классифицированы в работах Овандо [5-7]. Комплексные и паракомплексные структуры на четырехмерных обобщенных симметрических пространствах изучались в [8]. В работе Д. Калварузо [9] приведена классификация паракэлеровых структур на четырехмерных группах Ли. Она основывается на классификации структур произведения на четырехмерных алгебрах Ли [10]. Для каждой заданной структуры произведения J Кальварузо, используя классификацию четырехмерных симплек-тических алгебр Ли, нашел все возможные симплектические структуры ю, согласованные с данной паракомплексной структурой J. В работе [14] рассмотрены па-расасакиевы структуры на пятимерных группах Ли. Для шестимерных и семимерных алгебр Ли пока мало информации о паракомплексных и соответственно о параконтактных алгебрах Ли. В данной работе мы обращаемся к вопросу о классификации пятимерных па-расасакиевых алгебр Ли с нетривиальным центром. Как известно, они являются центральными расширениями g = h xMR симплектических алгебр Ли (h,ro). Также известно [4], что параконтактная метрическая структура (п, 4, Ф, g) на центральном расширении g = h xMR. является парасасакиевой тогда и только тогда, когда симплектическая паракомплексная алгебра Ли (h,ro,J) является паракэлеровой. Поэтому вопрос о классификации пятимерных парасасакиевых алгебр Ли сводится к вопросу нахождения всех паракомплексных структур J на каждой симплек-тической алгебре Ли (h,ro). В разделе 4 данной работы такие структуры J найдены Н.К. Смоленцев, И.Ю. Шагабудинова 38 в явном виде. Они определяют все возможные аффиноры ф парасасакиевых структур (п, 4, ф, g) на центральных расширениях g = h xMR симплектических алгебр Ли (h,ro), что и дает классификацию пятимерных парасасакиевых алгебр Ли с нетривиальным центром. 2. Паракомплексные структуры Пусть J - поле эндоморфизмов касательного расслоения TM многообразия M размерности 2n, такое, что J2 = Id. В этом случае J имеет действительные собственные числа ±1 и соответствующие собственные распределения XM и XM. Если ранги собственных распределений XM равны, то J называется почти паракомплексной структурой на многообразии M. Почти паракомплексная структура J называется интегрируемой, если распределения XM инволютивны. В этом случае J называется паракомплексной структурой. Почти паракомплексная структура J интегрируема тогда и только тогда, когда кручение Нейенхейса Nj(X,Y) = [X,Y ] + [JX, JY ] - J[JX,Y ] - J[X, JY ] обращается в нуль для всех векторных полей X, Y на М. Паракэлерово многообразие можно определить как псевдориманово многообразие (M,g) с кососимметрической паракомплексной структурой J, для которого фундаментальная форма ю(Х,У) = g(XJY) замкнута. Свойство кососимметричности J обычно записывают в виде g(JX,JY) = -g(X,Y). Метрика g является псевдоримановой сигнатуры (n,n). Метрика g определяется через ю и J: g(X,Y) = a(X,JY). Поэтому паракэлеровову структуру на М часто задают парой (ю, J), где ю - симплектическая форма, а J -паракомплексная структура, согласованная с ю, т.е. такая, что ю(JX,JY) = -a(X,Y). В работе [1] представлен обзор теории паракомплексных структур и рассмотрены инвариантные паракомплексные и паракэлеровы структуры на однородных многообразиях. Обзор теории паракомплексных структур представлен в работе [3]. Левоинвариантная паракэлерова структура на группе Ли G - это тройка (g, ю, J), состоящая из левоинвариантной псевдоримановой метрики g, левоинвариантной симплектической формы ю и кососимметричной левоинвариантной паракомплексной структуры J, причем g(X,Y) = ю(X,JY) для любых левоинвариантных векторных полей X и Y на G. Из левоинвариантности рассматриваемых объектов следует, что паракэлерова структура (g, ю, J) может быть задана значениями ю, J и g на алгебре Ли g группы Ли G. Тогда (g, ю, J, g) называется паракэлеровой алгеброй Ли. Отметим, что из разложения TM = XM © ХМ и свойства инволютивности собственных распределений T+M и XM следует, что любая паракомплексная структура J на алгебре Ли g приводит к разложению g в прямую сумму подалгебр g = g+© g-, где J|g+ = Id, J|g- = -Id. Как уже упоминалось, структуры на группах Ли малых размерностей представляют особый интерес ввиду возможностей их классификации. В работе [6] найдены все четырехмерные симплектические группы Ли. Паракомплексные структуры на четырехмерных разрешимых алгебрах Ли получены в работе [10]. В работе [9] найдены все возможные симплектические структуры, согласованные с паракомплексной структурой. Учитывая все эти результаты, получается следующий список четырехмерных симплектических алгебр Ли, допускающих пара-кэлерову структуру (таблица). В этой таблице представлены ненулевые скобки Ли алгебр в базисе e1, e2, e3, e4 и симплектическая структура в дуальном базисе e1, e2, e3, e4. О парасасакиевых структурах на пятимерных алгебрах Ли Четырехмерные симплектические алгебры Ли, допускающие паракэлерову структуру No Скобки Ли Симплектическая структура 1 Г2Г2 [61,62] = e2, [e3,e4] = e4 ю = e1Ae2 + Xe1Ae3 + e3Ae4 , Х>0 2 rh3 [e1,e2] = e3 14 2 3 ю = e Ae + e Ae 3 ГГ3.0 [e1,e2] = e2, [e^] = 0 12 34 ю = e Ae + e Ae 4 **3.-1 [e1,e2] = e2, [e1,e3] = -e3 14 2 3 ю = e Ae + e Ae 5 r'2 [e1,e3] = e3, [e1,e4] = e4, ^3] = e4, [e2,e4] = -e3 14 2 3 ю = e Ae + e Ae 6 *4,0 [e4,e1] = e1, [e4,e2] = 0, ^3] = e2 1 4 2 3 1 4 2 3 ю+ = e Ae + e Ae , ю- = e Ae - e Ae 7 *4,-1 [e4,e1] = e1, [e4,e2] = - e2, [e4,e3] = e2 - e3 13 2 4 ю = e Ae + e Ae 8 *4-1,B [e4,e1] = e1, ^2] = - e2, [e4,e3] = Pe3 ю = e1Ae2 + e3Ae4 , -1< в 1 Ненулевые скобки Ли [ebe2] = e3, [e4,e3] = e3, [e4,ej] = ej. Две симплектические структуры ю1 = e:Ae2 - e3Ae4 , ю2 = eVe2 - e3Ae4 + e2Ae4. 4.11.1. Симплектическая структура ю1 = eVe2 - e3Ae4. Пять паракэлеровых структур. 1. Паракэлерова эйнштейнова структура 1 a 2 a a(c +1) b b 0 -1 0 0 , RIC 1 = --Id4 2 4 0 a(c +1) c c2 -1 b b 0 a b -c Н.К. Смоленцев, И.Ю. Шагабудинова 48 2. Паракэлерова структура с эрмитовым тензором Риччи a 0 0 a2 -1 J1,2 _ d -b a2 -1 0 b -a - 0 b d 2abd + c(a2 -1) RIC1 2 = 2be1 ® e - 2be4 ® e2 . 3. Паракэлерова структура с нулевым тензором Риччи J1,3 _ 1 0 0 2a b b -1 0 a a - 2a -b 1 c 0 0 0 1 4. Две паракэлеровы структуры нулевой кривизны -1 a 0 0 " -1 0 0 -a 0 1 0 0 , J1,5 _ 0 1 0 0 0 0 1 b 0 a -1 b _ 0 0 0 -1_ _ 0 0 0 1 _ 4.11.2. Симплектическая структура ю2 = eVe2 - е3ле4 + е2ле4. Одна паракэле-рова структура нулевой кривизны J1,4 = J 2 _ 1 a 0 -1 -1 b 0 1 4.12. Алгебра Ли Ь4,2 Ненулевые скобки Ли: [ebe2] = e3, [e4,e3] = e3, [e4,ej] = 2ej, [e4,e2] = -e2. Три симплектические структуры raj = eVe2 - е3ле4 , ю2 = eVe4 + е2ле3 , 14 2 3 ®з = e лe - e лe . 1. Симплектическая структура = e1лe2 - e^e4. Три паракэлеровы структуры. Эйнштейнова структура a b -1 0 a2 -1 ---a 0 1 X L b \\ = Ъ(а-1) id u 2b 4 Две Риччи-плоские структуры J1,2 _ -1 a X "1 b' J = "1 0 " X "1 b ' _0 1 _ _0 -1_ ’ ^ 1,3 a -1_ 0 -1 О парасасакиевых структурах на пятимерных алгебрах Ли 49 2. Симплектическая структура ю2 = eVe4 + e2Ae3. Существуют две паракэлеро-вы структуры с паракомплексными подпространствами R{ebe4} и R{e2,e3} J 2,1 _ J2,2 _ a 0 0 0 0 2 a -b -a b 0 a2 -1 a 0 b 0 0 -a -a 0 0 -b(a +1) 0 10 0 0 b -1 0 a -1 0 0 a L b R1C12 = 3be1 ® e - 3be4 ® e4 R1C1 2 = 4-(e ® e1 -e4 ® e4). , b 3. Симплектическая структура ю3 = eVe4 - e2Ae3. Девять паракэлеровых структур ненулевой кривизны J3,8 _ a-1 a2 2b a 2 a2 . 2b a+1 2 b(a + 4) 2a a 2 J3,6 _ -1 0 0 0 " -1 0 0 0 a 1 a 0 II 4° a 1 -a 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 a 0 a 1 _ L-a 0 a 1 a 2b (a - 2)1 -a -1 b a 2b - a-1 2 a! 2b 1 - a 2b 2 2b a b(a -4) a-1 2 2a 2 2 2 a a a 2b 2 2b 2b (a + 2) a -a b a +1 a 0 0 -b(a +1) 0 -1 0 0 J3,1 _ J2,1 , J3,2 _ 0 b 1 0 a -1 0 0 -a Lb J3,3 _ 1 a 0 a ■ 1 a 0 -a "0 a 1 b ' 0 1 0 0 ii i-r 0 1 0 0 и 0 0 0 -1 2 b -1 a -2 b -1 a 1 b 0 a 0 -2 0 -1_ L0 2 0 -1_ L0 -1 0 0 _ Н.К. Смоленцев, И.Ю. Шагабудинова 50 4.13. Алгебра Ли d4,X Ненулевые скобки Ли: [e1,e2] = e3, [e4,e3] = e3, [e4,e1] = Xe1, [e4,e2] = (1-X)e2, X>1/2, 1,2. Симплектическая структура ю = eVe2 - е3ле4 . Три паракэлеровы структуры ненулевой кривизны. Две Риччи-плоские метрики "1 a 0 0" "1 0 0 0 " 0 -1 0 0 , J2 = a -1 0 0 0 0 -1 b 2 0 0 1 b 0 0 0 1_ 0 0 0 -1_ Эйнштейнова метрика J3 = 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 a 1 - a2 , RIC3 b 0 0 b -a 4 14 Алгебра Ли 3b Td ■ Id 4 4 Ненулевые скобки Ли: [ebe2] = e3, [e4,e3] = e3, [e4,ei] = Uei, [e4,e2] = ei+ ^e2. Симплектическая структура ю = ±(eVe2 - e^e4). Одна паракэлерова структура с нулевым тензором Риччи J= -1 a X "1 b " 0 1 0 -1 4.15. Алгебра Ли R4 Симплектическая структура ю = e1лe2 + eXe4 на R4. Любая паракомплексная структура J на R4, согласованная с ю, определяет паракэлерову структуру нулевой кривизны.
Алексеевский Д.В.,Медори К., Томассини А. Однородные пара-кэлеровы многообразия Эйнштейна // Успехи математических наук. 2009. Т. 64. Вып. 1(385). C. 3-50. URL: https://doi.org/10.4213/rm9262.
Calvaruso G. and Fino A. Complex and paracomplex structures on homogeneous pseudo-Riemannian four-manifolds // Int. J. Math. 2013. V. 24. 1250130. 28 p. URL: https://doi.org/ 10.1142/S0129167X12501303.
Cruceanu V., Fortuny P. and Gadea P.M. A survey on paracomplex geometry // Rocky Mount. J. Math. 1996. V. 26. P. 83-115.
Смоленцев Н.К. Левоинвариантные пара-сасакиевы структуры на группах Ли // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2019. № 62. С. 27-37. DOI: 10.17223/19988621/62/3.
Ovando G. Invariant complex structures on solvable real Lie groups // Manuscripta Math. 2000. V. 103. P. 19-30. URL: https://doi.org/10.1007/s002290070026.
Ovando G. Four-dimensional symplectic Lie algebras // Beitrage Algebra Geom. V. 47. 2006. No. 2. P. 419-434. URL: https://arxiv.org/abs/math/0407501.
Ovando G. Invariant pseudo-Kahler metrics in dimension four // J. Lie Theory. 2006. V. 16. P. 371-391.
Calvaruso G. Symplectic, complex and Kahler structures on four-dimensional generalized symmetric spaces // Diff. Geom. Appl. 2011. V. 29. P. 758-769. URL: https://doi.org/ 10.1016/j.difgeo.2011.08.004.
Calvaruso G. A complete classification of four-dimensional para-Kahler Lie algebras // Complex Manifolds. 2015. V. 2. Iss. 1. P. 733-748. DOI: 10.1515/coma-2015-0001.
Andrada A., Barberis M.L., Dotti I.G., Ovando G. Product structures on four-dimensional solvable Lie algebras // Homology, Homotopy and Applications. 2005. No. 7. P. 9-37. DOI: 10.4310/HHA.2005.v7.n1.a2.
Kobayashi S. and Nomizu K. Foundations of Differential Geometry. Vol. 1 and 2. New York; London: Interscience Publ., 1963.
Blair D.E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry. Lecture Notes in Mathematics. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1976. ISBN 978-3-540-38154-9.
Diatta A. Left invariant contact structures on Lie groups // Diff. Geom. and its Appl. 2008. V. 26. Iss. 5. P. 544-552 (arXiv: math. DG/0403555 v2 24 Sep 2004). URL: https://doi.org/ 10.1016/j.difgeo.2008.04.001
Calvaruso G., Perrone A. Five-dimensional paracontact Lie algebras // Diff. Geom. and Appl. 2016. V. 45. P. 115-129. URL: https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2016.01.001.
Вы можете добавить статью