?^N-Einstein almost contact metric manifolds.pdf 1. Введение Систематическое изложение теории многообразий Эйнштейна с кососимметричным кручением приводится в работе [1]. Интерес к таким многообразиям определяется применением связностей с кручением в модифицированной теории относительности Эйнштейна - Картана (см., также, [2]). Многообразие Сасаки является одним из примеров многообразий Эйнштейна с кососимметричным кручением [1]. В работе [3] доказывается, что на многообразии Сасаки существует единственная связность с кососимметрическим кручением, совместимая со структурой Сасаки. Эта связность получила название характеристической связности. Ранее автором настоящей статьи было показано, что на многообразии с почти контактной метрической структурой существует, и при этом единственная, N-связность VN с кососимметрическим кручением [4]. В настоящей работе такая связность получила название канонической связности. Доказывается, что в случае многообразия Сасаки характеристическая связность совпадает с канонической связностью. В настоящей работе рассматриваются почти контактные метрические многообразия, оснащенные N-связностью VN. Нас будет интересовать следующий во- С. В. Галаев 6 прос: «Какие почти контактные метрические многообразия являются ѴЖ-Эйн-штейновыми многообразиями с кососимметрическим кручением?». Не всякая связность с кососимметричным кручением является Ж-связностью. В то же время под определение Ж-связности попадают часто используемые в геометрии почти контактных метрических многообразий связности с кручением. Ж-связность ѴЖ определяется на почти контактном метрическом многообразии, наделенном внутренней связностью Ѵ и эндоморфизмом Ж: ТМ^ТМ касательного расслоения многообразия M, таким, что Ж| = 0, Ж (D )с D, как единственная связность на многообразии M, удовлетворяющая следующим условиям [5]: 1) VNXY £ r(D); 2) ѴЖ I = 0; 3) ѴЖ¥ = [|, Y ] + ЖУ; 4) ѴЖі =ѴТІ, X £Г(ТМ), Y, Z £Г( D). Если Ѵ - метрическая связность, то связность ѴЖ характеризуется следующими условиями [5]: 1) S(X, Y) = 2ю(X, Y)| + п(Х)ЖY -r\\(Y)ЖХ, X, Y, Z £Г(ТМ); 2) VNXg(Y,Z) = 0, X,Y,Z £Г(D); 3) VXІ = 0, X £Г(ТМ); 4) VXП = 0, X £Г(ТМ). Задавая соответствующим способом эндоморфизм N, можно получить известные ранее классы Ж-связностей. Ниже приводятся далеко не все примеры Ж-связностей, естественным образом возникающих на многообразиях с почти контактной метрической структурой (или, более обще, на субримановых многообразиях контактного типа). Примеры Ж - связностей 1. Связность Бежанку Ѵв с нулевым эндоморфизмом Ж = 0. Связность Бежан-ку Ѵв связана со связностью Леви-Чивита Ѵ8 помощью формулы [6] ѴXy = ѴxY-n(X)Ѵ8| + (ffl+ c)(X,Y)|. 2. Связность Танака - Вебстера Ѵш определяется как единственная связность, удовлетворяющая следующим условиям [6]: 1) ѴТШ п = 0; 2) ѴТШ| = 0; 3) Ѵш g = 0; 4) S(X,Y) = 2ю(X,Y)|, X,Y £Г(D); 5) S(|,фХ) = -q>S(|,X), X £Г(ТМ). Связность Ѵш совпадает с Ж-связностью в случае, когда Ж = C. 3. Связность Схоутена - ван Кампена Ѵж определяется равенством ѴSkY = (Ѵ8^к )h + (ѴgXYv )v и является Ж-связностью для случая, когда Ж = C - ф [7]. V^-Эйнштейновы почти контактные метрические многообразия 7 4. В работе [8] доказывается существование и единственность связности V, удовлетворяющей условиям: 1) Vz :r(D)^r(D); 2) V| = 0; 3) Vn = 0; 4) S (X, Y ) = ro(X, Y )|; 5) S (|, X ) = NX, где N - симметрический оператор, X,Y еГ(D), Z еГ(ТМ). 5. Полученный В.В. Вагнером тензор кривизны неголономного многообразия коразмерности 1 совпадает с тензором кривизны N-связности с эндоморфизмом N: ТМ^ТМ специального строения [9, 10]. Из приведенных выше примеров видно, что класс N-связностей, используемых в геометрии почти контактных метрических многообразий, достаточно широк. Представление о связностях с кручением, не принадлежащих классу N-связностей, можно получить, например, ознакомившись с работой [2]. Об использовании N-связностей для построения продолженных структур можно узнать из работ [5, 11-14]. Известно, что почти контактное метрическое многообразие является многообразием Эйнштейна относительно связности с кручением только в том случае, когда эта связность риччи-плоская [1]. Для случая N-связности указанный результат в настоящей работе уточняется. А именно, приводятся необходимые ограничения на второй структурный эндоморфизм такой связности. Во втором разделе мы сообщаем основные свойства N-связности с кососимметрическим кручением. Частично результаты этого раздела отражены в работе [4]. В третьем разделе приводятся примеры VN-Эйнштейновых почти контактных метрических многообразий с кососимметрическим кручением. 2. Определение и основные свойства ^-связности с кососимметрическим кручением Рассмотрим почти контактное метрическое многообразие М нечетной размерности n = 2m + 1. Пусть (М, |, n, Ф, g, D) - заданная на многообразии М почти контактная метрическая структура, где ф - тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, | и n - вектор и ковектор, называемые соответственно структурным вектором и контактной формой, g - (псевдо) риманова метрика. При этом выполняются следующие условия: 1) ф2 =-i + n® I; 2) n(I ) = 1; 3) g (фТ, фY ) = g (X, Y )-n( X )n(Y); 4) d n(|, X ) = 0, где X, Y еГ(ТМ). Здесь Г(ТМ) - модуль гладких векторных полей на М. С. В. Галаев 8 Гладкое распределение D = ker п называется распределением почти контактной структуры. В качестве следствия условий 1) - 4) получаем 5) ф| = 0; 6) п ° ф = 0; 7) п(Х ) = g (X, |), X еГ(ТМ). Кососимметрический тензор Q( X, Y) = g (X, ф7) называется фундаментальной формой структуры. Почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой, если выполняется равенство Q = d п. Гладкое распределение D1 = span(I), ортогональное распределению D, называется оснащением распределения D. Имеет место разложение ТМ = D Ѳ D1. Многообразие Сасаки - контактное метрическое пространство, удовлетворяющее дополнительному условию Хф + 2dп ® | = 0, где Хф (X, Y ) = [^X, фY] + + ф2 [X,Y]^[X,Y]^[X,фY] - тензор Нейенхейса эндоморфизма ф. Выполнение условия Хф + 2d п®| = 0 означает, что пространство Сасаки является нормальным пространством. Более подробно подход автора к исследованию почти контактных метрических многообразий изложен в работе [5]. В основе этого подхода лежит активное использование внутренней, или, в другой терминологии, трансверсальной геометрии изучаемых пространств. Идея использования внутренней геометрии и внутренних инвариантов восходит к исследованиям Вагнера [9, 10]. Наряду с инвариантным методом в работе используется метод координат. А именно, карту K(xa) (а, в, у = 1,..., n; a, b, c = 1,..., n-1) многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если дn =| [7]. Пусть P: ТМ^-D - проектор, определяемый разложением ТМ = D Ѳ D1, и K (xa) адаптированная карта. Векторные поля Р(дa) = ea =дa -ГП дn линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: D1 = span(ea). Неголономному полю базисов (ea) = (ea, дn) соответствует поле кобазисов (dxa,п = Ѳп =dxn +rnadxa). Имеет место равенство [ea,eb] = = 2rnbaдn. Условие dп(|,X) = 0 влечет справедливость равенства дnrn = 0. Для адаптированных карт K(xa) и K'(xa ) выполняются следующие формулы преобразования координат: xa = xa (xa ), xn = xn + xn (xa ). Тензорное поле /-типа (p,q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), или трансверсальным, если t обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются | или п. Координатное представление допустимого тензорного поля в адаптированной карте имеет вид t = t^'^e^ ®...®ea ®dxb ®...®dxq. V^-Эйнштейновы почти контактные метрические многообразия 9 Преобразование компонент допустимого тензорного поля в адаптированных координатах подчиняется следующему закону: fa _ ла лЬ'.а' 1Ъ ~ Аа АЪ 1Ъ' ■ дха дха где Аа _ Из формул преобразования компонент допустимого тензорного поля следует, что производные д^ являются компонентами допустимого тензорного поля того же типа. Заметим, что обращение в нуль производных дt не зависит от выбора адаптированных координат. Внутренней линейной связностью V [5] на многообразии с почти контактной метрической структурой называется отображение V:Г(D)хГ(D) ^ Г(D), удовлетворяющее следующим условиям: 1) V^2y _fiVх + hVy; 2) Vх fy _(Xf) y + f Vгy; 3) VX (y + г)_Vxy + VXX где Г(D) - модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D. Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения V2 еЪ _Га,Ъеа. Из равенства еа _ А еа'у где К _ дха дха обычным образом следу ет формула преобразования для коэффициентов внутренней связности: Гс _ Аа АЪ' АСГс', , + Ас,р Ac' Г аЪ Аа АЪ Ас Г а Ъ + Ас еаАЪ ' Отсюда, в частности, следует, что производные дnГ^с являются компонентами допустимого тензорного поля. Известно [5], что на многообразии M существует единственная внутренняя связность V с нулевым кручением, такая, что VXg (Y, Z)_ 0, X, Y, Z er(D). Кручение внутренней линейной связности S по определению полагается равным S(X,Y) _ VXY-VYX-P[X,Y], где P: TM ^ D - проектор, определяемый разложением TM _ D Ѳ D1. Пусть Vg - связность Леви-Чивита и Г^ - ее коэффициенты. В результате непосредственных вычислений убеждаемся в справедливости следующего предложения. Предложение 1 [5]. Коэффициенты связности Леви-Чивита почти контактного метрического многообразия в адаптированных координатах имеют вид ГЪ _ ГЪ _ сЪ + ч>Ъ L ап L па ^ а ~ т а > Гс _ Гс 1 аЪ 1 аЪ’ ГаЪ _ ®Ъа СаЪ , 1 Г” _ Г1 _ 0, где ГЪс 2g (Ъgcd + ecgЪd edgЪa ^ ^а g ®а СаЪ _ 2 дngA , са _ g^. С. В. Галаев 10 Предложение 2 [5]. Пусть N: ТМ ^ ТМ - эндоморфизм касательного расслоения почти контактного метрического многообразия М, такой, что N£, = 0, N (D )с D. Тогда на многообразии M существует единственная линейная связность VN с кручением S(X,Y), однозначно определяемая следующими условиями: 1) S(X,Y) = 2ю(X,Y) + n(X)NY-n(Y)NX, X,Y еГ(ТМ); 2) VXY = VXY, X,Y еГ(D); 3) VNX% = 0, X e Г (TM). Определим в адаптированных координатах отличные от нуля коэффициенты связности VX, положив ^ = 2gad (ebgcd + ecgbd - edgbc), Gbna = Nba. Неп°средственно проверяется, что определяемая тем самым связность удовлетворяет условиям предложения 2. Из предложения 2 следует, что VXg(Y,Z) = 0, X,Y,Z eT(D). Последнее замечание подтверждает целесообразность назвать связность VN полуметрической. Положим S(X,Y,Z) = g(S(X,Y),Z), X,Y,Z еГ(ТМ). В адаптированных координатах возможно ненулевые компоненты тензора S (X, Y, Z) будут иметь следующий вид: S (a , eb , дn ) = 2®ab ; S (a , дп , eb ) = - g (Nea , eb ); S (n ,

Скачать электронную версию публикации