An approximate analytical solution to the forward inhomogeneous EIT problem on the 2D disk with allowance for the electr.pdf Электроимпедансная томография (ЭИТ) - методика, позволяющая реконструировать внутреннее строение объектов живой природы, основываясь на измерении напряжения (потенциала) электрического тока, проходящего через прикрепленные к поверхности объектов электроды [1]. Зная значения электрического потенциала и на поверхности объекта и приняв эти значения за граничные условия, определяют пространственное распределение электрического сопротивления (импеданса). Такой подход называется обратной задачей ЭИТ. Он позволяет реконструировать внутреннюю структуру объекта по распределению электрической проводимости с [2]. Наряду с обратной задачей ЭИТ часто рассматривается прямая задача электроимпедансной томографии, которая может быть использована при решении обратной. В этом случае задано распределение электрической проводимости внутри биологического объекта с, значения электрического потенциала или плотности электрического тока на границе и требуется найти распределение электрического потенциала внутри рассматриваемого объекта. При определенных допущениях процесс распространения тока в объектах живой природы может описываться уравнением эллиптического типа вида div(a • grad(u)) = 0 . (1) На границе контакта области с воздушной средой используются условия изоляции (отсутствия тока через эту часть границы), которые математически представляют- 1 Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (соглашение № 075-02-2021-1392). А.В. Старченко, М.А. Седнев, С.В. Панько 20 ся с помощью простых условий Неймана (j = -ст grad(u) - плотность электрического тока, n - внешняя нормаль): (2) ди 0 Jn =-стд = °-дп В процессе получения аналитических и приближенных аналитических решений задача (1), (2) либо дополнялась граничными условиями на электродах, либо на всей границе области задавались граничные условия первого или второго рода [3]. В работе [4] приведена классификация таких «электродных» моделей, в зависимости от выбора которых (и модели на контактах электрода с поверхностью объекта) граничные условия формулировались тем или иным образом. CM GM SEM CEM Рис. 1. Модели контактов электродов: CM - электрод занимает всю границу, GM - электроды конечных размеров с зазором, SEM - модель электрода с шунтом, CEM - полная электродная модель. Рисунок взят из [4] Fig. 1. Models of electrode contacts: CM, the electrode occupies the whole boundary; GM, finite dimension electrodes with a gap; SEM, the shunt electrode model; and CEM, the complete electrode model. The figure is taken from [4] Выделялись следующие модели: Continuous Model, когда на всей границе известно гладкое распределение плотности электрического тока j; Point Electrode Model, когда электроды имеют точечный размер, на электродах задается плотность электрического тока, а в промежутках между ними исследуемое тело контактирует с воздухом; Gap Model - характеризуется известными условиями Неймана на электродах конечных размеров; Shunt Electrode Model - корректно моделирует геометрию электродов, но пренебрегает учетом сопротивления тонкого контактного слоя между объектом и электродом; Complete Electrode Model - добавляет учет контактного сопротивление z, для каждого электрода [4]: ди и + zr ст = U, l = 1,..., NE, (3) дп где NE - количество электродов. Ul - напряжение на электроде. Если напряжение Ul неизвестно, а известна сила подаваемого на электрод тока Il, то добавляют следующее условие на электроде с поверхностью El: [ст-dl = I, . (4) E дп 1 В настоящее время при решении прямых и обратных задач ЭИТ чаще всего используют численные методы [5, 6]. Для доказательства достоверности и настройки параметров таких численных методов часто привлекаются аналитические Приближенное аналитическое решение прямой задачи электроимпедансной томографии 21 или приближенные аналитические решения, полученные для двумерных канонических областей (прямоугольник, круг) [3, 7, 8]. В статье [7] для неоднородного диска с концентрической круглой вставкой с отличной проводимостью и известным распределением плотности электрического тока на границе диска получено за счет разделения переменных в полярных координатах аналитическое решение в виде рядов тригонометрических функций с коэффициентами, зависящими от радиальной координаты. В работе [3] представлен целый ряд аналитических и полуаналитических решений разнообразных двумерных постановок прямых задач ЭИТ в прямоугольнике, круге, эллипсе. Рассматривались разные модели электродов (несколько точечных электродов, несколько электродов конечной ширины, на которых ставились граничные условия Дирихле, Неймана или Робина) и распределения проводимости внутри области (постоянная проводимость всей области, послойно постоянная проводимость, радиально симметрическое распределение проводимости, некоторые частные случаи двумерной зависимости проводимости, анизотропная электрическая проводимость, вложенные круговые аномалии и т.д.). В работе [8] предложен приближенный аналитический метод решения прямой задачи ЭИТ в однородном круге с произвольным расположением неперекрывающих друг друга электродов, в случае когда на электродах известно контактное сопротивление zi и напряжение электрического тока U, т.е. используется граничное условие (3). Решение задачи ищется в полярных координатах разделением переменных в виде тригонометрических рядов Фурье [3]. Неизвестные коэффициенты Фурье в аналитическом решении получаются из решения системы линейных уравнений бесконечного размера [8]. Целью данной работы является применение методики [8] для получения приближенного аналитического решения для неоднородного круга с концентрической вставкой для полной электродной модели (3) - (4), когда на электродах учитывается контактное сопротивление и известна сила подаваемого тока. Постановка задачи Математическая постановка прямой задачи ЭИТ может быть получена из стационарных уравнений Максвелла, закона Ома для проводников и необходимых для получения однозначного решения граничных условий [9]. Прямая задача электроимпедансной томографии в двумерном случае (нахождение электрического потенциала u(x,y) по известному распределению электропроводности с(х,у) > 0 внутри области Q и силы электрического тока на электродах формулируется следующим образом: д_ дх ст( х у) -дх дх ст( х у) -дУ ду 0, (х, у) e Q . (5) На границе, контактирующей с воздухом, задается производная, равная нулю ди ст- = 0, (х, у) г Г ; Г - i-й электрод, l = 1,... ,NE. (6) дп На электродах (l = 1,.,NE - количество электродов) задаются граничные условия полной электродной модели CEM: (7.1) и+ziCTir=Ui, (ху)еГі; дп А.В. Старченко, М.А. Седнев, С.В. Панько 22 (7.2) Здесь zl - контактное сопротивление электрода; U / - напряжение на электроде; I / -сила тока на электроде. В [10] доказано, что для того, чтобы постановка задачи (5) - (7) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы сумма токов NE NE и сумма напряжений равнялись нулю: ^ Il = 0 , ^ Ul = 0 . /=1 /=1 І2, Z2 Рис. 2. Область исследования с указанием положения размещения электродов и изменения электрической проводимости о Fig. 2. Region under study with the shown position of electrode arrangement and changes in electric conductivity о Предположим, что область исследования ^ - круг радиуса R (рис. 2). На границе круга r = R размещены NE электродов полуширины w, координаты центров которых Ѳ/ - известны. Также известно распределение электрической проводимости: а( х, у) = a(r, Ѳ) = а1, 0 < r < р, 0 < Ѳ < 2п, а2, р < r < R, 0 < Ѳ < 2п. Здесь о1, о2 - положительные постоянные. На границе резкого изменения значений проводимости (г = р) используются граничные условия четвертого рода: непрерывность изменения решения (электрического потенциала) и плотности электрического тока. На внешней границе области 2 известны значения контактного сопротивления zi и силы тока Іі на электродах. Приближенное аналитическое решение прямой задачи электроимпедансной томографии 23 С учетом этих условий окончательная математическая постановка задачи примет вид д ( ди Л д2 и r-I r- 1+--- = 0, 0 < r < р, 0

Скачать электронную версию публикации