Matrix representation of endomorphisms of primary groups of small ranks.pdf Кольца обобщённых, или формальных, матриц берут начало в исследованиях Мориты (см. [1]). За последние десятилетия появилось много работ, посвящённых кольцам обобщённых матриц, а также модулям над ними; в первую очередь выделим монографию Крылова и Туганбаева [2]. Модули над кольцами обобщённых матриц порядка 2 и 3 рассматривались, в частности, в работах [3, 4]. В некоторых кольцах обобщённых матриц удаётся ввести понятие определителя матрицы (подробнее см. [5, 6]). Кольца обобщённых матриц часто возникают при изучении колец эндоморфизмов прямых сумм абелевых групп и модулей. В данной статье представлены исследования колец эндоморфизмов конечных примарных групп ранга 2 и 3 и соответствующих им колец обобщённых матриц. Для таких матриц найдены критерии обратимости и формулы, позволяющие построить обратную матрицу. Представление эндоморфизмов конечных _р-групп ранга 2 Все группы, встречающиеся в статье, являются абелевыми. Через Z обозначается кольцо (и группа) целых чисел; ■ - символ конца доказательства либо его отсутствия. Пусть p - простое число. Известно, что если m > n > 0, то: 1) элементы группы Hom(Z/pmZ, Z/pnZ) находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами группы Z/pnZ (элемент a + pnZ сопоставляется гомоморфизму у е Hom(Z/pmZ, Z/pnZ), такому, что y(z + pmZ) = az + pnZ при всех z е Z); 2) элементы группы Hom(Z/pnZ, Z/pmZ) находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами группы Z/pnZ (элемент b + pnZ сопоставляется гомоморфизму у е Hom(Z/pnZ, Z/pmZ), такому, что y(z + pnZ) = pm-nbz + pmZ при всех z). Заметим, что в каждом из двух случаев указанная биекция представляет собой групповой изоморфизм. Всякая конечная p-группа H ранга 2 может быть отождествлена с подходящей группой вида (Z/pmZ) Ѳ (Z/pnZ), где m > n > 0; её элементы будем записывать как 1 Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (соглашение № 075-02-2021-1392). Матричное представление эндоморфизмов примарных групп малых рангов 31 вектор-столбцы. Из сказанного выше следует, что эндоморфизмы группы H находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами множества R2 Z /pmZ Z /pnZ Z /pnZ Z /pnZ состоящего из обобщённых матриц вида a + pm Z b + pn Z c + pn Z d + pn Z где a, b, c, d e Z. При этом эндоморфизму ф группы H сопоставляется та единственная матрица вида (1), для которой при любых z1, z2 e Z выполнено ф f „ . „m™\\ f . „m-ni . „mrr\\ Zl + p Z azi + p bz2 + p Z V z2 + pn Z) V cz1 + dz2 + pn Z Ясно, что указанное соответствие: - является групповым изоморфизмом; - сопоставляет тождественному эндоморфизму группы H матрицу 1 + pm Z 0 + pn Z E _ V 0 + pn Z 1 + pn Z) Пусть эндоморфизму ф' группы H соответствует матрица A'_ ( a' + pm Z b' + pn Z ^ c ' + pn Z d' + pn Z, Тогда для любых целых чисел z1 и z2 выполнено (2) (3) (фф') ( z1 + pm ZЛ V z2 + pn •Z =ф f f I ~m-ni> . „mrr\\ a zi + p b z2 + p Z V cf zi + d^2 + pn Z ) ' aa 'z1 + pm-nab'z2 + pm-nbc 'z1 + pm-nbd'z2 + pm Z' v ca 'z + pm-ncb’ z2 + dc' z1 + dd 'z2 + pn Z , (aa' + pm nbc')z1 + pm n (ab' + bd')z2 + pmZ' = v (ca’ + dc')z1 + (pm-ncb' + dd')z2 + pnZ , . Введём на R2 операцию умножения, считая, что для матриц (1) и (3) выполнено , _(aa’ + pm-nbc' + pmZ ab’ + bd' + pnZ Л (4) V ca ' + dc ' + pn Z pm-ncb' + dd’ + pn Z) Из наших рассуждений следует, что эта операция задана корректно и что верна Теорема 1. Множество обобщённых матриц R2 с поэлементным сложением и операцией умножения, задаваемой равенством (4), образует кольцо, изоморфное кольцу эндоморфизмов End H группы H. Единичным элементом кольца R2 служит матрица (2). ■ Кольцо R2 для случая m > n рассматривалось также в [2, 5, 6]. Определителем матрицы A e R2 вида (1) назовём элемент |A| _ ad-pm-nbc + pnZ кольца ZJpnZ. А.Ю. Степанова, Е.А. Тимошенко 32 Если для матриц (1) и (3) выполнено A = A', то в силу неравенства m > n будут справедливы следующие сравнения по модулю pn: a = a’, b = b’, c = c’, d = d’, ad - pm-nbc = a’d’ - pm-nb’c’. Значит, понятие определителя введено корректно. Ясно также, что \\Е\\ = 1 + рпЪ. Предложение 2. Для любых A, A' е R2 выполнено \\AA' \\ = \\A\\ ■ \\A' \\. Доказательство. Действительно, для матрицы (4) имеем \\AA’ \\ = (aa’ + pm-nbc’)(pm-ncb’+dd’) -pm-n(ab’ + bd’ )(ca’+dc’) + pnZ = = aa’dd’ + pm-naa’cb’ + pm-nbc’dd’ + p2(m-n)bc’cb’ -- pm-nab’ca’ - pm-nab’dc’ - pm-nbd’ca’ - pm-nbd’dc’ + pnZ = = aa’dd’ -pm-n(ab’dc’+bd’ca’) + p2(m-n)bc’cb’ + pnZ = = (ad-pm-nbc)(a’d’-pm-nb’c’) + pnZ = \\A\\ ■ \\A’\\, что и требовалось. ■ Если m = n, то R2 - это кольцо матриц, элементы которых принадлежат одному и тому же кольцу вычетов ZlpnZ. В этом случае операция умножения и определитель в кольце R2 совпадают с обычными; поэтому вопрос об обратимости матриц решается стандартным образом в соответствии со следующей теоремой (через Kl в ней обозначено кольцо (l х /)-матриц над коммутативным кольцом K, содержащим единицу): Теорема 3 [7]. Матрица A = (aj) е K обратима в Kl тогда и только тогда, когда её определитель det A обратим в кольце K. Если это условие выполнено, то обратная к A матрица имеет вид A- = (det A)- ■ A , где f Au A2\\ . .. An j A* = A12 A22 . .. Al 2 V A A2l . .. All j (через Ajj обозначено алгебраическое дополнение элемента aу матрицы A). ■ Таким образом, нам остаётся рассмотреть случай m > n. Теорема 4. Пусть m > n > 0. Для матрицы A е R2 вида (1) равносильны следующие условия: 1) Числа a и d не делятся на p. 2) Элемент \\A\\ обратим в кольце ZJpnZ. 3) Матрица A обратима слева в кольце R2. 4) Матрица A обратима справа в кольце R2. 5) Матрица A обратима в кольце R2. Если эти условия выполнены, то матрица A- находится по формуле f W (1 + pm-nbcF) + pm Z -bF + pn Z j ( V -cF + pnZ aF + pnZ J , где F + pnZ = \\A\\~1 е ZlpnZ и W + pmZ = {a + pmZ)-1 е ZlpmZ. Доказательство. Импликация 5) ^ 3) очевидна. Поскольку m > n, мы можем записать следующие эквивалентности: \\A \\ - обратимый элемент в ZJpnZ » НОД(ad -pm-nbc, p) = 1 » » НОД^, p) = 1 » НОД^, p) = НОДЙ p) = 1. Таким образом, условия 1) и 2) равносильны. Матричное представление эндоморфизмов примарных групп малых рангов 33 3) ^ 2) и 4) ^ 2). Если B е R2 - левая обратная или правая обратная матрица для A, то по предложению 2 имеем \\Л\\ ■ |B| = |E| = 1 + pnZ. Таким образом, смежный класс |B| е Z/pnZ является обратным элементом для смежного класса |Л|. 2) ^ 4). Пусть Л| - обратимый элемент в Z/pnZ. Так как справедлива импликация 2) ^ 1), то число a не делится на p и, следовательно, элемент a + pmZ обратим в кольце Z/pmZ, т.е. существует элемент W+pmZ = (a + pmZ)-1. Поскольку m > п, то aW + pnZ = 1 + pnZ. Убедимся, что матрица B, задаваемая формулой (5), является правой обратной для матрицы A. Для элементов Xj матрицы X=AB имеем х11 = aW(1 + pm-nbcF ) - pm-nbcF+pmZ = aW+pmZ = 1 + pmZ; x12 = -abF + abF+pnZ = 0 + pnZ; x22 = -pm-nbcF + adF+pnZ = (F+pnZ)(ad - pm-nbc + pnZ) = 1 + pnZ; x21 = cW(1 + pm-nbcF ) - cdF+pnZ = cW(1 + pm-nbcF ) - cWadF+pnZ = = cW(1 + pm-nbcF - adF ) + pnZ = cW [(1 + pnZ) - x22] = 0 + pnZ. Таким образом, AB = E, что и требовалось. 4) ^ 5). Пусть B е R2 и AB = E. Так как справедлива импликация 3) ^ 2), то смежный класс |B| является обратимым элементом кольца Z/pnZ. Пользуясь справедливостью импликации 2) ^ 4), мы можем найти матрицу B' е R2, такую, что BB' = E. Тогда A = AE = A(BBr) = (AB)B' = EB' = B'. Таким образом, BA = E, т.е. B -матрица, обратная к A. ■ В частности, мы получили, что обратимость матрицы A е R2 эквивалентна обратимости элемента |A| е Z/pnZ как в случае m = n, так и в случае m > n (что согласуется с результатами из [6]). Замечание. Обратная матрица определена однозначно (если она существует). Отсюда, в частности, сразу следует, что задаваемая формулой (5) матрица не зависит от выбора конкретных чисел a, b, c, d е Z, удовлетворяющих равенству (1). Представление эндоморфизмов конечных _р-групп ранга 3 Перейдём к рассмотрению конечных p-групп ранга 3. Каждую такую группу H можно отождествить с группой вида (Z/pmZ) Ѳ (Z/pnZ) Ѳ (Z/pkZ), где m > n > к > 0. Эндоморфизмы группы H находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами множества ' Z /pm Z Z /pn Z Z /pk Z R3 Z / pn Z Z /pn Z Z /pk Z , ч Z /pk Z Z /pk Z Z /pk Z J состоящего из обобщённых матриц вида ax + pm Z a2 + pn Z a3 + pki A = b1 + pn Z b2 + pn Z b3 + pkr1 Z , c1 + pk Z c2 + pk Z c3 + pki Z J где aj, bj, cj е Z. Эндоморфизму ф группы H сопоставляется та единственная матрица вида (6), для которой при любых zb z2, z3 е Z выполнено ' Zj + pm Z ' a1 z1 + pm-na2 z2 + pm-ka3 z3 + pm Z ф z2 + pn Z = b1z1 + b2 z2 + pn-kb3 z3 + pn Z z3 + pk Z К 3 y J К c1z1 + c2 z2 + c3 z3 + pk Z , А.Ю. Степанова, Е.А. Тимошенко 34 Указанное соответствие является групповым изоморфизмом; ясно также, что оно сопоставляет тождественному эндоморфизму группы H матрицу () E = f 1+pmz о+pnz о+pkZ 0 + pn Z 1 c pn Z 0 + pk Z 0 + pk Z 0 + pk Z 1 c pk Z Пусть в дополнение к ф имеется эндоморфизм ф' е End H, которому соответствует матрица A’ = 'a[+ pm Z a2,+ pn Z a3+ pk Z b[+ pnZ b’2+ pnZ b'c pkZ . (8) v cl + pk Z c’2 c pk Z c’3 c pk Z Непосредственные вычисления выражения ' z1 c pm Z 'a1 z1 c pm-na'2z2 c pm-ka'3z3 c pm Z (фф') z2 c pnZ =ф bz1 cb2z2 c pn-kb3z3 c pnZ z3 c pk Z V 3 У J 4 c1 z1 c c2 z2 c c3 z3 c pk Z J где zb z2, z3 е Z, показывают, что эндоморфизму фф' соответствует матрица a1a'3 c a2b’3 c a3c'3 a1a[ + sa2b[ + sta3c[ ala'2 c a2b’2 c ta3c’2 (9) bla[ c b2b + tb3c[ sbla'2 c b2b'2 c tb3c'2 sbla'3 c b2b'3 c b3c'3 cj a[ + c2 b + c3 c[ scla'2 + c2b'2 + c3c'2 stcx a'3 + tc2 b'3 + c3 c'3 Здесь смежные классы z cpmZ, z cpnZ и z cpkZ обозначены через z , z и z соответственно, а через s и t для краткости обозначены множители pm-n и pn~k. Введём на R3 операцию умножения, считая, что произведение AA’ матриц, заданных равенствами (6) и (8), равно матрице (9). Наши рассуждения показывают, что эта операция задана корректно и что имеет место Теорема 5. Множество обобщённых матриц R3 с поэлементным сложением и указанной выше операцией умножения представляет собой кольцо, изоморфное кольцу End H. Единичным элементом кольца R3 служит матрица (7). ■ Пусть матрица A е R3 имеет вид (6). Элемент a\\b2c3 -pn-kajb3c2 -pm-na2bjc3 cp”mk(a3bjc2 ca2b3c\\ - a3b2cj) cpkZ кольца Z/pkZ будем называть определителем матрицы A и обозначать через |A|. Как и в случае кольца R2, из условия m > n > k нетрудно вывести, что понятие определителя введено корректно. Заметим также, что |E| = 1 c pkZ. Предложение 6. Для любых A, A' е R3 выполнено \\AA' | = ^| • A' |. Доказательство. Пусть матрицы A и A' заданы равенствами (6) и (8). Легко видеть, что для целочисленных матриц ' a1 sa2 sta3 ' a[ sa’2 sta’3 N J = b1 b2 tb3 , J ' = b1 b2 tb3 V c1 c2 c3 J V c1 c2 c3 у справедливы равенства \\A| = det JcpkZ и A'| = det J'cpkZ, где через det обозначен обычный определитель. Далее, сравнивая матрицу Матричное представление эндоморфизмов примарных групп малых рангов 35 С alal' + sa2b[ + sta3c[ s(a1d2 + a2b'2 + ta3c'2) st (a1d3 + a2b'3 + a3c'3) ^ bxa[+ b2b[ + tb3c[ sb-la'2+ b2b'2+ tb3c'2 t(sb1a'3 + b2b3 + b3c'3) ч cxa[ + c2b{ + c3c[ scla'2 + c2b'2 + c3c'2 stcla3 + tc2b'3 + c3c'3 (которая, как нетрудно проверить, совпадает с обычным произведением JJ’ матриц Jи J') с матрицей (9), видим, что \\ЛЛ'| = det(JJ' ) + pkZ. Для завершения доказательства остаётся заметить, что det(JJ’ ) = det J ■ det J’. ■ Следующий результат доказывается точно так же, как и справедливость импликаций 3) ^ 2) и 4) ^ 2) в теореме 4: Лемма 7. Если матрица Л обратима слева или справа в кольце R3, то смежный класс Л| является обратимым элементом кольца Z/pkZ. ■ Критерии обратимости и формулы для обратных матриц в R3 будем выводить поэтапно. Лемма 8. Если определитель матрицы Л е R3 вида (6) обратим в кольце Z/pkZ и матрица B е R3 имеет вид (10) F(a2b3 - a3b2) + pkZ F(pm-na3b1 -alb3) + pkZ F(alb2 - pm-na2bl) + pkZ где F + pkZ = \\A\\ 1 е Z/pkZ, то третьи столбцы матрицЛВ и E совпадают. Доказательство. Для элементов xi3 третьего столбца матрицы X = ЛВ имеем x13 = a1F(a2b3 - a3b2) + a2F( pm-na3b1 - a1b3) + + a3F(a1b2 - pm-na2b1) + pkZ = F(a1a2b3 - a1b2a3 + +pm-nb 1 a2a3 - a1 a2b3 + a1b2a3 - pm-nb 1 a2a3) + pkZ = 0 + pkZ; x23 = pm nb1F(a2b3 - a3b2) + b2F(pm na3b1 - a1b3) + + b3F(a1b2 - pm-na2b1) + pkZ = F( pm-nb1a2b3 - pm-nb1b2a3 + +pm"nb1b2a3 - a1b2b3 + a1b2b3 - pm-nb1a2b3) + pkZ = 0 + pkZ; X33 = pm kciF(a2b3 - a3b2) + pn kc2F(pm na3bi - aib3) + + c3F(a1b2 - pm^na2b 1) + pkZ = F [a1b2c3 - pn-a1b3c2 - pm~na2b 1 c3 + +pm^k(a2b3c1 -a3b2c1 + a3b1c2)] + pkZ = (F+pkZ) ■ Л\\ = 1 + pkZ, что и требовалось. ■ Лемма 9. Если определитель матрицы Л е R3 вида (6) обратим в кольце Z/pkZ, разность a1b2 -pm~na2b1 не делится на p и матрица В е R3 имеет вид С * * -a2Q + pn ka3c2F + pnZ F(a2b3 -a3b2) + pkZ 2U3 m-n „ a1Q- pm ka3c1F + pnZ F(pm-na3b - a1b3) + pkZ * F(pm-na2c1 - a1c2 ) + pkZ F(a1b2 - pm-na2b1) + pkZ (11) где целые числа F и Q задаются условиями F + pkZ = ИГ1 е Z/p% G + pnZ = (a1b2-pm-na2b1 + pnZf е Z/pnZ, M = a1b3c2 + pm~n(a3b2c1 - a3b1c2 - a2b3c1), Q = G(1 + pnkFM), то у матриц AB и E совпадают второй и третий столбцы. Доказательство. Заметим, что \\Л\\ = a1b2c3-pm^na2bic3-pnkM+pkZ. Поскольку n > k, то справедливо равенство G(axb2-pm"na2b{) + pkZ = 1 + pkZ. Для элементов xi2 второго столбца матрицы X=AB имеем А.Ю. Степанова, Е.А. Тимошенко 36 x12 = aI(-a2Q + pn ka3c2F) + a2(aQ-pm ka3cIF) + +pn-ka3F( pm +pn-kF( pm na2c\\ -a\\c2) + pnZ = pn ka1c2a3F-pm kc1a2a3F+ ncx a2a3 - a\\c2a3) + pnZ = 0 + pnZ; x22 = p n-k, nbi(-a2Q + pn a3c2F) + ^(aQ - pm a3c\\F) + +pn bF(pm-na2c1 -ac) + pnZ = -pm-na2blG(1 + pn-kFM) + +pm-ka3bIc2F + axb2G(1 + pn-kFM) - pm-ka3b2cIF+ +pn-kF( pm na2b3cx -axb3c2) + pnZ = G(axb2-pm-na2b1)(\\ + pn-kFM) + +pn-kF(pm-na3b1c2-pm-na3b2c1 + pm-na2b3cl -alb3c2) + pnZ = = 1 + pn-kFM - pn-kFM+pnZ = 1 + pnZ; •-k„ x32 = pm nc1(-a2Q + pn ka3c2F ) + c2(a1Q -pm ka3c1F ) + + c3F( pm-na2c1 - a1c2) + pkZ = - pm na2c1 G(1 + pn-kFM) + pm-kc1c2a3F+ + a1c2G(1 + pn-kFM) - pm-kc1 c2aF+cF( pm = (a1c2 - pm-na2c1)G(1 + pn-kFM) + c3F( pm-na2c1 - a1c2) + pkZ = na2c1 - a1c2) + pkZ = a2cl)[G(1 + pn-kFM) - c3F ] + pkZ = = (ac - p = (ax c2 - pm-na2c1)G[1 + pn~kFM - (a1b2 - p‘ na2bl)c3F \\ + pkZ = na2b\\c3)\\ + pkZ = = (a1c2 -pm-na2c1)G[1 + F( pn-kM- a1b2c3 + pm = (ac - p"' Ввиду леммы 8 отсюда следует требуемое утверждение. ■ Следствие 10. Пусть m = n > k > 0. Если определитель матрицы A е R3 вида (6) обратим в ZlpkZ, разность a\\b2-a2b\\ не делится наp и матрица B е R3 имеет вид na2c1)G[(1 + pkZ) - (F+pkZ) ■ AW = 0 + pkZ. k (12) -a2Q + pn a3c2F + pnZ F(a2b3 -a3b2) + pkZ aQ-pn-ka3clF + pnZ F(a3bl -axb3) + pkZ F(a2cl -axc2) + pkZ F(alb2 -a2bl) + pkZ где целые числа F и Q задаются условиями F + pkZ = A\\- е Zlp% G + pnZ = (alb2-a2bx + pnZ)-1 е ZlpnZ, M = a\\b3c2 + a3b2c\\ -a3b\\c2-a2b3c\\, Q = G(1 + pnkFM), то у матриц AB и E совпадают второй и третий столбцы. Доказательство. Требуемое утверждение следует из леммы 9 ввиду того факта, что при m = n второй и третий столбцы матрицы (12) совпадают со вторым и третьим столбцами матрицы (11). ■ Теорема 11. Пусть m = n > k > 0. Для матрицы A е R3 вида (6) равносильны следующие условия: 1) Числа a\\b2-a2b\\ и c3 не делятся наp. 2) Элемент \\A\\ обратим в кольце ZlpkZ. 3) Матрица A обратима слева в кольце R3. 4) Матрица A обратима справа в кольце R3. 5) Матрица A обратима в кольце R3. Если эти условия выполнены, то матрица A- имеет вид (13) ' b2Q - pn-kb3c2 F + pn Z * *'' -bQ + pn-kb3c F + pn Z * * v F(b1c2 -b2c\\) + pkZ * *y Матричное представление эндоморфизмов примарных групп малых рангов 37 где второй и третий столбцы берутся из матрицы (12), а целые числа F и Q задаются условиями F + pkZ = ИГ1 е Z/pkZ, G + pnZ = (a1b2-a2b1 + pnZ)-1 e Z/pnZ, M = a1b3c2 + a3b2c1 -a3b1c2- a2b3c1, Q = G(1 + pnkFM). Доказательство. Импликация 5) ^ 3) очевидна; импликация 3) ^ 2) верна в силу леммы 7. Далее, так как m = n, то справедливо равенство \\А\\ = a1b2c3 - a2b1c3 + pn-k(a3b1c2 + a2b3c1 -a3b2c1 -a1b3c2) + pkZ. Поскольку n > k, мы можем записать следующие эквивалентности: А\\ - обратимый элемент в Z/pkZ » НОД^^^ - a2b1c3, p) = 1 » НОД^Ь - a2bi, p) = НОДЬ, p) = 1. Таким образом, условия 1) и 2) равносильны. 2) ^ 4). Пусть А\\ - обратимый элемент в Z/pkZ. Так как справедлива импликация 2) ^ 1), то смежный класс axb2- a2bx + pnZ обратим в Z/pnZ, т.е. существует элемент G + pnZ = (axb2-a2bx + pnZ)-1. Покажем, что матрица B, задаваемая формулами (13) и (12), является правой обратной для матрицы А. Ввиду следствия 10 последние два столбца матрицы АВ будут такими же, как и у матрицы E. Кроме того, из следствия 10 вытекает, что второй столбец матрицы -b1Q + pn-kb3c1F + pn Z * b2Q - pn-kb3c2F + pnZ * F(b1c2 - b2 c1) + pk Z *y 'b2 + pnz b + pnz b3 + pkzY* a2 + pn Z ax + pn Z a3 + pk Z * v c2 + pk Z c1 + pk Z c3 + pk Z* совпадает со вторым столбцом матрицы E. Так как при m = n множитель 5 в формуле (9) равен 1, отсюда можно сделать вывод, что первый столбец матрицы АВ совпадает с первым столбцом матрицы E. Таким образом, АВ = E. Наконец, импликация 4) ^ 5) устанавливается так же, как в теореме 4. ■ Теорема 12. Пусть m > n > k > 0. Для матрицы А е R3 вида (6) равносильны следующие условия: 1) Числа ab b2 и c3 не делятся на p. 2) Элемент \\А\\ обратим в кольце Z/pkZ. 3) Матрица А обратима слева в кольце R3. 4) Матрица А обратима справа в кольце R3. 5) Матрица А обратима в кольце R3. Если эти условия выполнены, то матрица А_1 имеет вид (14) ' W (1 + pm-na2b1G) + pm-kFGU + pm Z * * ^ -bQ + pnkb3clF + pn Z * * , F(b1c2 - b2c1 ) + pk Z * *, где второй и третий столбцы берутся из матрицы (11), а целые числа F, G, Q, W, U задаются условиями F + pkZ = А\\-1 е Z/pkZ, G + pnZ = (ab - pm-na2bj + pnZ)-1 e Z/pnZ, M = a\\b3c2 + pm-n(a3b2ci - a3b\\c2- a2b3cj), Q = G(1 + pn-kFM), W + pmZ = a + pmZ)-1 e Z/pmZ, U = (a2b3 - a3b2)(blc2 - b2cl). А.Ю. Степанова, Е.А. Тимошенко 38 Доказательство. Импликации 5) ^ 3) ^ 2) верны по тем же причинам, что и в теореме 11. Так как m > п > к, мы можем записать следующие эквивалентности: \\Л\\ - обратимый элемент в Z/pkZ » НОД(а1й2с3,р) = 1 » » НОД(аі, р) = НОД(Й2, р) = НОД(сз, р) = 1. Таким образом, условия 1) и 2) равносильны. 2) ^ 4). Пусть \\A\\ - обратимый элемент в Z/pkZ. Так как справедлива импликация 2) ^ 1), то числа a1 и b2 не делятся на р, т.е. существуют смежные классы G + р^ = (a1b2 - рт-па2Ьі + рпТ)х и W+^Z = (аі + ртТ)~1. Покажем, что матрица B, задаваемая формулами (14) и (11), является правой обратной для матрицы A. Заметим, что справедливы равенства рт~пи = рт-п(а2Ь1Ь3с2 - a2b2b3c1 - a3b1b2c2 + a3b2b2c1) = = b2(a1b3c2 + рт ”a3b2c1 -рт ”a3b1c2 -рт "a2b3c1) + +pm-na2b1b3c2 - a1b2b3c2 = b2M- b3c2(a1b2 -pm-na2b1), а значит, ртки = рп-Ь2М -pn-kb3c2(a1b2-pm-na2b1). Далее, так как т > п > к, то G(a1b2 - pm-na2b1) + pkZ = 1 + pkZ, a1 W + р^ = 1 + pkZ, pm-kG(a1 b2 -pm-na2b1) + jTZ = рт-к + ртЪ, a1W+fTZ = 1 + рТЪ. В силу леммы 9 нам будет достаточно убедиться, что элементы хл первого столбца матрицы X = AB совпадают с соответствующими элементами матрицы E. Напомним, что |A\\ = a1b2c3 - pm-na2b1c3 - рп-кМ+ркЪ. Имеем х„ = a1[W(1 + pm-na2b1G) + рт-^П ] + pm-na2(-b1Q + pn-kb3c1F ) + +р^^ф^- b2c1) + рmZ = 1 + pm-naф1G + a1FG ■ рт-ки--р^ф^ф + рп-^М + pmka2b3c1F + pm-kF(a3b1c2 - a3b2c1) + рmZ = = 1 - pm-naф1G ■ рп-^М + a1FG[ рп-ісЬ2М-pn-kb3c2(a1b2 - р”-^^)] + +рт-F(a2b3c1 + a3b1c2 - a3b2c1) + pmZ = = 1 -р^ф^М+р'^ф^М - pn-ka1b3c2FG(a1b2 - р^Фф^ + +pm-kG(a1b2 -pm-naф1)F(aф3c1 + a3b1c2 - a3b2c1) + pmZ = = 1 + рп-^Мфф2-Pm-na2b1) - pn-ka1b3c2FG(a1b2 - pm-na2b1) + +pn-kFG(a1b2 - pm-na2b1)( pm-na2b3c1 + pm-na3b1c2 - р^Фф^^ + ^Z = = 1 + pn-kFG(aф2 -pm-na2b1)(M- a1b3c2) + +pn-kFG(a1b2 -pm-na2b1)(a1b3c2 - М) + р^ = 1 + р^; х21 = b1[W(1 + pm-na2b1G) + ртк FGU ] + b2(-b1Q + р^ф^ ) + +р^ЬФ'Ф^ - b2c1) + рnZ = b1W(1 + pm-na2b1 G) + b1FG ■ рт-к U -- b1b2G(1 + pn-kFM) + рп-кb2b3c1F+pn-kF(b1b3c2 - b2b3c1) + рnZ = = b1W [G(a1b2 - р^Фф^ + pm-na2b1 G] + + b1FG[ рп-кb2M-рп-кb3c2(a1b2 - р”-^)] - b1b2G - рп-кb1b2FGM+ +pn-kb1b3c2F + рnZ = b1W ■ a1b2G - b1b2G + рп-кb1b2FGM -- рп-Ь 1b3c2FG(a1 b2 - р^Ффг) - р'^ЬФ^М+р'^ЬФ^+рnZ = = b1b2G - b1b2G - рп-кb1b3c2F + рп-кb1b3c2F + pnZ = 0 + р^; Матричное представление эндоморфизмов примарных групп малых рангов 39 хзі = c1[W(1 + pm-na2blG) + pm-kFGU ] + c2(-b1Q + pn-kb3c1F ) + + c3F(b1c2 - b2c1) + pkZ = c1W(1 + pm-na2b1G) + c1FG ■ pm-kU -- b1c2G(1 + pnkFM) + pnkb3c1c2F + c3F(b1c2 - b2c1) + pkZ = = c1W [G(a1b2 - pm-na2b1) + pm-na2b1G] + + c1FG[pn-kb2M-pnkb3c2(a1b2 -pm-na2b1)] - b1c2G -pn-kb1c2FGM+ +pn^kb3c1c2F+c3F(b1c2 - b2c1) + pkZ = c1W ■ a1b2G + pn^kb2c1FGM -- pn-kb3c1 c2FG(a1b2 - pm-na2b1) - b1c2G - pn-kb1c2FGM+ +pn^kb3c1c2F + c3FG(a1b2 - pm-na2b1)(b1c2 - b2c1) + pkZ = = b2c1G + pnkFGM(b2c1 - b1c2) -pn-kb3c1c2F - b1c2G + +pn^kb3c1c2F - FG(a1b2c3 - pm-na2b1c3)(b2c1 - b1c2) + pkZ = = (b2c1 - b1c2)G[1 + pn~kFM- F(a1b2c3 - pm~na2b1c3)] + pkZ = = (b2c1 - b1c2)G[1 - F(a1b2c3 - pm~na2b1c3 - pnkM)] + pkZ = = (b2c1 -b1c2)G[(1 + pkZ)- (F+pkZ) ■ \\A\\] = 0 + pkZ. Таким образом, AB = E. Импликация 4) ^ 5) устанавливается так же, как в теореме 4. ■ Если m = n = k, то вопрос об обратимости матриц в R3 решается в соответствии с теоремой 3. Таким образом, остаётся рассмотреть случай m > n = k. Теорема 13. Пусть m > n = k > 0. Для матрицы A е R3 вида (6) равносильны следующие условия: 1) Числа a1 и b2c3 - b3c2 не делятся на p. 2) Элемент \\A\\ обратим в кольце ZJpkZ. 3) Матрица A обратима слева в кольце R3. 4) Матрица A обратима справа в кольце R3. 5) Матрица A обратима в кольце R3. Если эти условия выполнены, то матрица A_1 имеет вид 'W(1 + pm-nFL) + pmZ F(a3c2 - a2c3) + pkZ *^ (15) F(b3c1 -b1c3) + pkZ F(a1c3 - pm-na3c1) + pkZ * F(b1c2 - b2c1) + pkZ F(pm-na2c1 - a1c2 ) + pkZ *^ где третий столбец берётся из матрицы (10), L = a2b1c3 - a3b1c2 - a2b3c1 + a3b2c1 е Z, F + pkZ = \\A\\-1 е ZJpkZ и W + pmZ = (a1 + pmZ)-1 е ZJpmZ. Доказательство. Импликации 5) ^ 3) ^ 2) справедливы по тем же причинам, что и в теореме 11. Далее, так как n = k, то \\A \\ = 5 + pkZ, где 5 = a1b2c3 - a1b3c2 -pm-n(a2b1c3 - a3b1c2 - a2b3c1 + a3b2c1) = = a1b2c3 - a1b3c2 -pm~nL. Поскольку m > n, мы можем записать следующие эквивалентности: \\A\\- обратимый элемент в ZlpkZ » НОД^^^ - a1b3c2, p) = 1 » НОД^1, p) = НОД(b2Cз - b3c2, p) = 1. Таким образом, условия 1) и 2) равносильны. 2) ^ 4). Пусть \\A\\ - обратимый элемент в ZlpkZ. Так как справедлива импликация 2) ^ 1), то a1 не делится на p, т.е. существует элемент W+pmZ = (a1 + pFZ)-1. Поскольку m > k, то a1W + pkZ = 1 + pkZ. Убедимся, что матрица B, определяемая формулами (15) и (10), является правой обратной для матрицы A. А.Ю. Степанова, Е.А. Тимошенко 40 По лемме 8 третий столбец матрицы AB будет таким же, как и у матрицы E. Кроме того, из леммы 8 вытекает, что третий столбец матрицы F(a3c2 - a2c3) + pkZ ^ F(pm na2cx - axc2) + pkZ F(a1c3 - pm-na3c1) + pkZ f a + pm Z a3 + pk Z a2 + pk ZV C + pk Z c3 + pk Z c2 + pk Z b + pk Z b3 + pk Z b2 + pk Z совпадает с третьим столбцом матрицы E. Так как при n = k множитель t в формуле (9) равен 1, отсюда можно сделать вывод, что второй столбец матрицы AB совпадает со вторым столбцом матрицы E. Остаётся рассмотреть элементы xi1 первого столбца матрицы X = AB: x11 = a1W(1 + pm nFL) + pm na2F(b3c1 - b1c3) + +pm-na3F(b1c2 - b2c1) + pmZ = 1 + pmnFL + +p F(a2b3c1 - a2b1c3 + a3b1c2 - a3b2c-[) + p Z = = 1 + pm-nFL - pm-nFL + pmZ = 1 + pmZ; x21 = b1W(1 + pm nFL) + b2F(b3c1 - b1c3) + b3F(b1c2 - b2c1) + pkZ = = b1 W(1 + pm-nFL) + F(b1b3c2 - b1b2c3) + pkZ = = b1W(1 + F ■ pm-nL) + b1F(b3c2 - b2c3) + pkZ = = b1W[1 + F(a1b2c3 - a1b3c2 - 5)] + b1a1 WF(b3c2 - b2c3) + pkZ = = b1W [1 + F(a1b2c3 - a1b3c2) - F5 + F(a1b3c2 - a1b2c3)] + pkZ = = b1W(1 - F5) + pkZ = b1W(1 - 1) + pkZ = 0 + pkZ; X31 = cW(1 + pm nFL) + c2F(b3c1 - b1c3) + c3F(b1c2 - b20) + pkZ = = c1W(1 + pm-nFL) + F(b3c1 c2 - b2c1 c3) + pkZ = = c1 W(1 + F ■ pm-nL) + c1F(b3c2 - b2c3) + pkZ = = c1W [1 + F(a1b2c3 - a1b3c2 - 5)] + c1a1WF(b3c2 - b2c3) + pkZ = = c1W [1 + F(a1b2c3 - a1b3c2) - F5 + F(a1b3c2 - a1b2c3)] + pkZ = = c1W(1 - F5) + pkZ = c1W(1 - 1) + pkZ = 0 + pkZ Тем самым мы показали, что AB = E. Импликация 4) ^ 5) устанавливается так же, как в теореме 4. ■ В частности, из теорем 11, 12 и 13 вытекает, что обратимость матрицы A е R3 эквивалентна обратимости элемента \\A\\ е Z/pkZ в каждом из возможных случаев. Так как обратная матрица единственна (если она существует), то формулы, найденные для A4 в каждой из этих трёх теорем, будут приводить к одной и той же матрице вне зависимости от выбора конкретных чисел a2, bj, c2 е Z, удовлетворяющих равенству (6).

Скачать электронную версию публикации