Design of multi-wall composite shells.pdf Вопросам оптимального проектирования тонкостенных конструкций из традиционных и композитных материалов посвящена обширная литература. Методы расчета и проектирования подкрепленных пластин и оболочек из традиционных материалов достаточно подробно представлены, например, в работах [1-5]. Композитные материалы и конструкции из них, включая ребристые и сетчатые тонкостенные конструкции, исследовались в работах [6-13], трехслойные конструкции - в работах [14-16]. Многостеночные композитные конструкции - это сравнительно новый вид несущих конструкций ракетно-космической техники [17-19], которые могут быть использованы вместо ребристых и трехслойных конструкций. Известные к настоящему времени алгоритмы проектирования подкрепленных конструкций основаны, как правило, на предположении, что решение задачи существует и единственно. В подавляющем большинстве исследований решение задачи оптимального проектирования подкрепленных конструкций осуществляется методами нелинейного математического программирования. Таким образом, исследование проблемы существования и единственности решений, а также построение инженерных алгоритмов, не требующих применения методов нелинейного математического программирования, представляют собой одну из наиболее актуальных проблем оптимального проектирования композитных конструкций. Цель работы - построение алгоритма оптимального проектирования многосте-ночной композитной оболочки, позволяющего оценить эффективность использования подкрепляющих элементов с учетом условий существования и единственности решения задачи. Постановка задачи Многостеночная цилиндрическая оболочка радиусом R и длиной L находится под действием осевых сжимающих нагрузок, равномерно распределенных по торцам оболочки (рис. 1). Требуется при заданных габаритных размерах и величине А.Ш. Кусяков 104 сжимающей нагрузки оценить эффективность использования подкрепляющих элементов в конструкции оболочки. q Рис. 1. Осевое сжатие цилиндрической оболочки Fig. 1. Axial compression of a cylindrical shell q Многостеночная цилиндрическая оболочка состоит из двух несущих слоев, соединенных набором стенок из композитного материала (рис. 2). Рис. 2. Сечение многостеночной оболочки Fig. 2. Cross-section of a multi-walled shell Основным структурным элементом несущего слоя является монослой, состоящий из параллельно уложенных волокон, связанных между собой полимерным связующим - матрицей (рис. 3). Стенка представляет собой однонаправленный композит, изготовленный из того же материала, что и несущие слои. Рис. 3. Монослой Fig. 3. Monolayer Проектирование многостеночных композитных оболочек 105 Критические нагрузки Введем обозначения: • h0 - толщина одного несущего слоя; • ts - расстояние между центрами тяжести стенок; • Hs, Bs - соответственно высота и толщина стенки; • Hsm - максимально допустимая по условиям технологии высота стенки; E\\, Е2 - модули Юнга вдоль и поперек волокон материала несущих слоев соответственно; • vJ2, ѵ2і - коэффициенты Пуассона материла несущих слоев; • GJ2 - модуль сдвига материала несущих слоев; • Ьц, b22, b12, b33 - компоненты матрицы жесткости монослоя; • Dxx, Dyy, Dxy, Dg - изгибные жесткости несущего слоя; • Cxx, Cyy, Cxy, CG - мембранные жесткости несущего слоя; • Es - модуль Юнга материала стенок вдоль волокон. Критическую нагрузку, соответствующую общей форме потери устойчивости, будем определять по классической формуле для ортотропной оболочки с «приведенными» жесткостями [20] где D(xp) = 8 D„ Чог 1 + 3 2 Hs D(p) xx g(p): yy + 3- Hs ЕАЩ 12 (1) (2) (3) hs = BH , h = 2ho s s(p) =■ 2Cxx + Esh, -. (4) " 2Cyy (2C« +Eshs )-4C2 С точностью до эффектов Пуассона влиянием стенок на податливость конструкции в окружном направлении можно пренебречь, то есть 1 (5) xx s s S(p} = yy 2C, уу Если несущие слои и стенки многостеночной оболочки состоят только из продольных монослоев, «приведенная» изгибная жесткость может быть представлена в виде Здесь sf bnh3 ’2 + 2rH Y + Гн) . (6) h Hs (7) Y = T ’ Гн = hf V. Податливость конструкции в окружном направлении запишем следующим образом: (8) S(p} =-1-. ^ b22 hf Y А.Ш. Кусяков 106 где Подставив выражения (6) и (8) в формулу (1), получим Чег = Ч/ЛІРШ , Ч/ = 4 J5~, P(Y) = Y3 + 3гн Y2 + 2г,| Y + гН. RV 5 (9) (10) f Здесь 5/ - податливость гладкой оболочки толщиной h/ в окружном направлении. Критическую нагрузку, соответствующую местной форме потери устойчивости, вычисляем по известной формуле для гладкой ортотропной пластинки [18]: 2^2 qerm = (DxxDyy + Dxy + 2DG ) . ts Здесь ks - редукционный коэффициент, вычисляемый по формуле Eh. (11) k, = 21 1 + Exh (12) где Ex - модуль Юнга несущих слоев по направлению действия нагрузки. Если несущие слои оболочки состоят только из продольных монослоев, изгиб-ные жесткости и коэффициент редукции можно соответственно представить следующим образом: yy 1 V12 V 21 II о -t Dy II if dg = ^ [ '1T. k, 2 12 2 xy 12 v2j G 12 1 v 2J s Y 1 II E2 , b12 = V 12 E2 b = G12 . 1 -V12V21 , , b33 1 V12 V 21 (14) Dxx =bnhf ( -Y 12 12 Здесь E b11 = Алгоритм проектирования Алгоритм проектирования многостеночной конструкции состоит из следующих шагов: 1. Полагаем, что несущие слои и стенки оболочки состоят только из продольных монослоев. Данная схема укладки является, очевидно, наилучшей по условиям прочности. 2. Вычисляем полную условную толщину h/ многостеночной оболочки из условия прочности: h/ =-^. (15) CT-1b Здесь ст.1Ь - предел прочности монослоя при сжатии в направлении волокон, q0 - заданная сжимающая нагрузка. 3. Полагая h = h/, находим критическую нагрузку для гладкой оболочки q/, а затем проверяем выполнение условия устойчивости: Ч/ > Чо . Если это условие соблюдается, то процесс проектирования завершается. Введение подкрепляющих элементов в этом случае не позволяет снизить массу конструкции. Проектирование многостеночных композитных оболочек 107 Если условие устойчивости не выполняется, вычисляем максимально возможную по условиям устойчивости толщину гладкой оболочки h = "max qo rB \\ Vbnb22 «2 Вычисляем теоретический коэффициент снижения массы hf (16) ktlm hm (17) 4. Полагая Hs = Hsm, решаем относительно у уравнение общей устойчивости (18) q/Vp(Y)Y = qo. 5. По найденным значениям у и h/ вычисляем толщины несущих слоев и условную «толщину» стенок. 6. Расстояние между стенками находим из условия сохранения местной устойчивости ts = (Dyy + Dxy + 2Dg ) . (19) Изгибные жесткости и коэффициент редукции, входящие в правую часть последнего выражения, вычисляются по формулам (13). 7. По известной полной условной «толщине» многостеночной оболочки вычисляем массу конструкции Gf = 2nRLp0hf . (20) Здесь р0 - плотность материала конструкции. Существование и единственность решения В приведенном выше алгоритме определяющим является уравнение (17), обеспечивающее выполнение условия общей формы потери устойчивости. Искомой величиной в этом уравнении является относительная толщина несущих слоев у. Покажем, что уравнение (17) может иметь только один положительный корень на промежутке [0; 1], то есть задача проектирования имеет единственное решение. Уравнение общей устойчивости (17) запишем в виде f (Y) = 0, (21) где f (Y) = Y4 + 3гн Y3 + 2rH Y2 + rH Y 2 q0 (22) Таким образом, уравнение (21) представляет собой алгебраическое уравнение четвертой степени относительно у. По теореме Декарта количество положительных корней многочлена с вещественными коэффициентами равно количеству перемен знаков в ряду его коэффициентов или на четное число меньше этого количества. В многочлене (22) имеет место только одна перемена знака, следовательно, уравнение может иметь только один положительный корень. Корень общего уравнения устойчивости должен принадлежать промежутку [0;1]. Исследуем знаки многочлена (21) на границах данного промежутка. 108 А.Ш. Кусяков Если у = 0, тогда f (0) = - ( Y2 %_ qf < 0. Если у = 1, тогда f (1) = 1 + 3 rH + 3 rH - 2 qo v qf j Уравнение (20) имеет корень на промежутке [0;1], если выполняется условие f (1) > 0. Таким образом, получаем квадратное неравенство относительно rH 3rH + 3rH +1 - rf > 0, где rf = > 1. f qf Решив неравенство, получим условие существования решения общего уравнения устойчивости на промежутке [0;1]: rH > rlH , (23) где rlH V3 (} -')-3 6 (24) Если условие (23) нарушается, необходима корректировка коэффициента снижения массы в сторону его увеличения. В этом случае на промежутке [ktlm; 1] определяем наименьшее возможное значение коэффициента снижения массы, при котором уравнение имеет решение. Для нахождения данного значения можно воспользоваться любой известной процедурой одномерного анализа, например методом дихотомии. Пример оценки эффективности подкрепляющих элементов В качестве примера рассмотрим многостеночную цилиндрическую оболочку радиусом R = 0.5 м и длиной L = 0.5 м, находящуюся под действием сжимающей нагрузки q0 = 5-106 Н/м. Физические характеристики материала монослоев (углепластик КМУ-4Л): ст-и = 0.7 ГПа, E = 140 ГПа; E2 = 7 ГПа; vJ2 = 0.24; Gi2 = 2.25 ГПа; p0 =1450 кг/м3. Оценим эффективность введения в конструкции оболочки подкрепляющих элементов, если максимальная высота стенки равна Hsm = 0.015 м. В результате расчетов были получены следующие значения полной условной толщины и теоретического коэффициента снижения массы соответственно hf = 0.007 м и ktlm = 0.6. Таким образом, теоретически, введение подкрепляющих элементов позволяет снизить массу конструкции на 40%. Величины rH и rlH, входящие в условие существования решения, соответственно равны rH = 2.1 и riH = 1.04. Проектирование многостеночных композитных оболочек 109 Таким образом, Гн > Гін, то есть решение задачи существует и единственно. Подставив найденные значения величин ktlm и hf в уравнение общей устойчивости (21), получим Y4 + 6.3у3 + 8.82у2 + 4.41у -7.33 = 0. Это уравнение имеет единственный положительный корень у = 0.6. Полученный результат означает, что масса подкрепляющих элементов должна составлять 40% от общей массы оптимальной многостеночной конструкции. По найденным значениям величин hf и у определяем суммарную толщину несущих слоев, условную толщину стенок, расстояние между центрами тяжести стенок и массу конструкции соответственно: h = 0.0043 м;^ = 0.0029 м;4 = 0.029 м;Ѳ = 16.3 кг. Заключение Существование и единственность решения - это одна из наименее изученных проблем в задачах проектирования подкрепленных композитных конструкций. Изложенный выше подход позволил решить данную проблему применительно к задачам проектирования многостеночных композитных оболочек, подверженных действию сжимающих нагрузок. В основу предлагаемого подхода положена идея сведения уравнения устойчивости к алгебраическому уравнению четвертой степени, что позволило обосновать единственность и сформулировать условия существования решения задачи. Результаты численного анализа показали, что введение в конструкцию оболочки подкрепляющих элементов позволяет существенно снизить массу конструкции. Приведенные в работе результаты исследований могут найти применение в задачах расчета и оптимального проектирования композитных конструкций, используемых в ракетно-космической отрасли.

Скачать электронную версию публикации