Pseudo-minimal surfaces of revolution.pdf Вступительные замечания Отражающая поверхность орбитального рефлектора - трикотажное полотно из вольфрамовых либо молибденовых нитей, которому с помощью поддерживающих конструкций придают форму, по возможности близкую к вырезке из параболоида вращения. Описание реальной поверхности сетеполотна предполагает наличие модели поверхности тонкого упругого материала внутри некоторого ограничивающего контура. В случае изотропного материала подходящей моделью является минимальная поверхность (сумма главных кривизн равна нулю). Сетеполотно, однако, ортотропно (коэффициенты растяжения в двух ортогональных направлениях постоянны и неодинаковы). Для моделирования в случае орто-тропности М.С. Бухтяком предложен класс поверхностей с постоянным отношением главных кривизн (они названы псевдоминимальными). Ототропность сетеполотна как существенное его качество указано еще в 2011 г. А.П. Жуковым [1], хотя для зонтичного рефлектора он счел возможным ортотроп-ностью пренебречь. Класс поверхностей с постоянным отношением главных кривизн отмечен С.Г. Гаспаряном [2] (со ссылкой на Пауля Штекера) как подкласс 6 Бухтяк М.С., Есипов Д.Е. Псевдоминимальные поверхности вращения изотермических поверхностей. Поверхность с постоянным отношением главных кривизн упомянута в монографии [3, с. 143] при описании формы деформированной пластины из (в основном) механических соображений. Следует отметить, что главные кривизны, входящие в классическое уравнение теплопроводности Лапласа (в трактовке А.И. Русанова [4]) подразумевают анизотропию поверхности по кривизне, и ее следует дополнить анизотропией по поверхностному натяжению. Моделирование формы сетеполотна должно учитывать подверженность его так называемому «матрасному эффекту», который сопровождает раскрытие зонтика: прогиб ткани внутрь купола. Решение этой задачи для изотропного сетеполотна, прикрепленного к соседним ребрам осесимметричного рефлектора, предложено в [5]. В основу положены уравнения равновесия тонкой упругой оболочки. Работы М.С. Бухтяка 2016-2017 гг. призваны распространить моделирование на орто-тропные материалы, а также на области, границы которых могут быть заранее не указаны. Это привело к понятию «псевдоминимальная поверхность» - попросту поверхность с постоянным отношением главных кривизн. Такое отношение выражается через экстремальные значения коэффициентов растяжения упругого материала в двух ортогональных направлениях (для ортотропного материала). Первое применение указанной конструкции (в ограниченном смысле) - в работе [6], где, по примеру [5], давалась оценка формы сетеполотна лепестка осесимметричного рефлектора, но для ортотропного материала и путем построения поверхности, для которой условие псевдоминимальности выполнено вдоль линии симметрии (осевой линии) точно, а на лепестке в целом - приближенно. Отметим, что алгоритм конечно-элементного моделирования псевдоминимальной поверхности разработан в [7]. Наконец, в [8] исследован вопрос о постоянстве отношения главных кривизн вдоль семейства линий линейчатой поверхности. Пусть сетеполотно ортотропно, и коэффициент его растяжения в радиальном направлении равен коэффрад, а вдоль окружностей, ортогональных радиусам, -коэффокр. В статье [9] введен коэффициент ортотропности сетеполотна у коэффр: a - У коэфф0кр J Таким образом, этот коэффициент вводился как существенно положительный. В работе [10] определена псевдоминимальная поверхность веса a как гладкая поверхность, главные кривизны которой k и к2 связаны (в случае упорядоченности) соотношением k + ak2 - 0 при a - const . Если отвлечься от первоначального смысла коэффициента a, то нет оснований связывать его условием положительности, приводящим к поверхности неположительной гауссовой кривизны. В данной работе мы считаем его произвольным вещественным числом. Интерес к поверхностям вращения обусловлен (кроме прочего) тем вниманием, которое уделяется им в строительстве и архитектуре. Вполне адекватное суждение по этому вопросу можно получить благодаря монографии трех авторитетных специалистов [11]. Стоит отметить, что детальное описание частных классов поверхностей сопровождается основательными ссылками на источники сведений о применениях в строительстве и механике. В диссертации З.В. Беляевой [12] 7 Математика / Mathematics детально прослеживаются особенности применения поверхностей вращения. О глубине проникновения геометрии поверхностей в архитектуру (хотя и косвенным образом) свидетельствуют [13-15]. Свойства линейчатых поверхностей, делающие эти поверхности привлекательными для строителя, обоснованы, например, в статье [16]. Локальную близость к поверхностям вращения можно обнаружить у поверхностей, рассмотренных в [17-19]. Авторы полагают, что характеризация ортотропных свойств упругого материала может иметь значение для конструкций, использующих поверхности вращения. Все функции, рассматриваемые в данной работе, предполагаются имеющими класс гладкости, достаточный для корректности тех конструкций, где они применены. 1. Меридиан псевдоминимальной поверхности вращения. Аналитические решения Рассмотрим поверхность вращения. Индивидуализация главных кривизн совершается естественным путем: кх - кривизна меридиана, к2 - кривизна (с обратным знаком) параллели. Пусть координатная ось Ox - ось вращения, и уравнения начального меридиана имеют вид: г = 0, y = y(x), y(x) е C2. Тогда ki =dx‘ y (x) ' / , у у 1 + [ dxy (x)) k2 =- -1 y (x 41+fdxy (x) 2 Псевдосредняя кривизна, согласно [9], равна Н (y(x) «) = |^j у (x)l y (x)-a 1 + f ~y (x) (1) Для отыскания псевдоминимальных поверхностей следует решить дифференциальное уравнение Н (y(х), a) = 0 . (2) Исключая очевидно тривиальное решение, полагаем a ф 0 . Уравнение искомого начального меридиана, таким образом, имеет вид: ( / , a d2 U(y(x)a)^| -y(x) I-- 1+(іУ (x>) У ( x ) = 0. (3) Общее решение уравнения (3) определяется неявным образом уравнением x-c2 + y(x)hypergeom^ , ,-/у(х)2‘гс1(-1)Ф^ = (° Ф = -1 с sgn (c1 i) +1 с sgn (y( x)2ai) +1 c sgn (y( x)2 ai) c sgn (Cj/). Ясно, что такое задание бесполезно для инженерных целей. 8 Бухтяк М.С., Есипов Д.Е. Псевдоминимальные поверхности вращения Вернувшись к (3), видим, что при a = 1 (изотропное сетеполотно) линии y = y(x) суть цепные линии (что видно и без (3), поскольку, как отмечено выше, в этом случае имеем минимальную поверхность вращения - катеноид). Тем самым исчерпан вопрос о форме меридиана для изотропного упругого материала. Еще один класс решений мы получим, полагая a = 1. Общее решение дает семейство парабол У(Х) =~ ~-L + Pi X + P2 , P2 * 0 • 4 P2 Очевидная подстановка - = g(y) позволяет свести решение уравнения (3) dx к интегралу dy (4) x (У) = j Имеются два семейства значений параметра a, позволяющих решить уравнение (4) в элементарных функциях. Первое семейство Первое семейство получаем, полагая a = s е Z, s Ф 0 . 2s Замена переменной У = Y (t) = Гt2 + 1 ^ 2a Г t2 1 c1 J 1 сводит задачу к вычислению интеграла Xx (t) = 2c- ss j(t2 +1) dt + c2 . Получаем для различных значений s параметрические задания линий x = Xx (t), У = Ys (t) • В частности, X_з = c3t 3 X-2 =- 3 3 (t2 + i) 4 (t2 + i) c 2t 1 1)2 8 t2 1 * +1 --c13 arctan (t) + c2, Y 3 = ^ 3 ('2 +1) 3c12t 3c12 arctan (t) + c2, Y_2 = c2 2(t2 +1) 2 (t2 +1)2’ 3 ct t2 + 1 t2 +1 X-1 =-C1- c1arctan (t) + c2 . Y-1 = 2Cl . Полагая c1 = 1, c2 = 0, изобразим соответствующие линии (рис. 1). 9 Математика / Mathematics Рис. 1. Линии для значений s, равных -1, -2, -3 (снизу вверх) Fig. 1. Lines for the values of s equal to -1, -2, and -3 (from bottom to top) Аналогично, для положительных значений параметра a t2 +1 X - - + с2, 7! = 4t (t2 + 3) (tJ+1)2 X2 - 2 + c2, 72 2 3cl c1 X 3 - 2t (l5 + 3t4 +1012 ) 5c,3 (t2 +1)' + C2, 73 - 3 При тех же значениях констант c1 - 1, c2 - 0 получаем линии, изображенные на рис. 2. Рис. 2. Линии для значений s , равных 1,2, 3 (сверху вниз) Fig. 2. Lines for the values of s equal to 1, 2, and 3 (from top to bottom) Второе семейство Еще одно счетное семейство получаем при q =-, к €Е 21. 2к + \\ 10 Бухтяк М.С., Есипов Д.Е. Псевдоминимальные поверхности вращения Замена переменной в (4) У = Yk (z) = k н- 1 1 2 позволяет находить, согласно (4), Xk (z) = (2k + 1)J(c - z2 ) dz + c2 . В частности, 5 . 10 3 2 . X -з (z) = -z + -cxz - 5 c z + C2 , X-2 (z) = z3 - 3cjz + c2 , X-1 (z) = - z + X1 (z ) = - T X0 ( z ) = ( f arctan^ 3 z

Скачать электронную версию публикации