Goluzin's Variational Formula for Lцwner'sMappings of a Circle .pdf В классе S голоморфных однолистных в круге E = [zeC :|z| (t, z) dt - e'q (t, z) Jqt (t) dt+ o(X), (7)где o(X) - величина более высокого порядка малости, чем X, равномерно относительно z внутри E.Перейдём в (7) к пределу при t - да. Получим в пределе следующую вариационную формулу в классе S':f * (z) = f (z) + X+ o (X).(8)f'(z) j>(t,z)dt -f (z) jq (t)dt_0 0Она может быть использована для получения различных вариационных формул за счёт выбора функций q2(t), q1(t). Мы придём к вариационной формуле Го-лузина, полагаяk=1(Ц-?к)1 nq2 = - Zк=1Ak Qk ^ + Ak Q2Ц-?кгде A..^ A„ - постоянные, Qk = zk gZ^^k , ?k = S (z> zk), zk) и z«попарно различные точки единичного круга. С учетом указанного выбора q1(t), q2(t) имеемP(t, z) = £ (A*Xk + AkYk),k=1(9)гдеXk = 4 QkYk = 4 ЯkПредставим эти функции в виде, удобном для интегрирования.Легко проверить, что для любых u, u^-v, u2 + v2 Ф 0, справедливо равенство \i + H \iu (\i + H \i + v ^ u + v ЦЦ-u (ц-v)2 (ц-v)2 ll^-u ц-vJ u-v (ц-v)2и что если u = _(т, z) - решение уравнения Лёвнера с управляющей функцией ц(х), то v = 1 q (т, z) - решение этого же уравнения.Если u, v - различные решения уравнения Лёвнера, то du + v 2wv f ц + u ц + улиdx u-v (u-v)2 ц-v2\i,v = v d (v'z Л_ v'z d ( v (ц-v)2 vz dxl v ) vdx^v'Поэтомуц-u (^-v)2 d x u - v u - v v' d xl v ^ d x u - v u - vvd xl v' Применим эти формулы для преобразования Xk. Имеемd_q + qk + q + qk d_Гg^Y 1_ d_qk + g + 1_qk + qq'z d_fj_ dTg-gk g-gk gZt dTUk J 2 dxgk -g 2 gk -g g dTlgz1g Q2 d g + g, + i g + g, Q2 d f g "l + i g + g, g d /n2\2gz d Tg-gk 2 g-gk d 4gz J 2 g-gk gz d T '2 d4gz g-gt 1(10)Проводя аналогичные вычисления для Yk, имеемd g + gi , g + g* , gi d1 d g^1 +g , 1 gkl +ggZ d ( gdTg-g^ g-g*1 g;\ dt1_d_2d tgk ) 2 dV -g 2 g,1 -g g dTUz 1Л(g n2 g + gk lz ' Яk ^g-gk )q = 2Re X Ak Яk=1Преобразуем qi к виду, удобному для интегрирования:2Hgk = 2Re~Sr л zkgzk .Sl^jL{gzk = -2Re У Ak 2 .(ц-gk )2 k=i gl gZk dTlgk(11)= -Re J Ak f- (Qk2 ) = -± f f (Qk2)-± f f (Яk2). k=i d Tk=i 2 d T k=i 2 d xV ;lim Qk- lim ■^ gkПереходим к записи значений интегралов в (8). Отметим, чтоt->0Zk ^ = H (zk), lim Qk = 1, lim 4 = ^, lim4 = z.(12)g + gk f (z ) + f (Zk )lim' g-gk f (z)" f (zk) ' -*°1.Согласно (8) - (12), имеем^ Ak 2f * (z) = f (z) + X{f (z) J(Я2 (zk)-1) + f (z)£(Я2 (zk)-1f'(z)Z Akk=1f'(z )ic Akk=1f (z) „2 f (z) + f (Zk ) z + :L f'(z) Hf (z) - f (zk ) z - zk J2 f '(z) Ук' 2 z-z-то естьf 2 ( z )f ( z ) - f (zk )f'(z) z + Zk + f (z)2 z - Zk 2+ o(X).Вывод вариационной формулы Голузина для f е S' окончен. Так как S' плотен в S в смысле равномерной сходимости последовательностей внутри круга E, то формула распространяется на весь класс S.

Скачать электронную версию публикации