Martingales in hyperfinite universum.pdf При изучении самых разных явлений действительности мы сталкиваемся спроцессами, изучение которых заинтересовало в свое время математиков и приве-ло их к созданию теории случайных процессов. Теория случайных процессовпринадлежит к числу наиболее быстро развивающихся математических дисцип-лин. Несомненно, что это обстоятельство в значительной мере определяется ееглубокими связями с практикой и широкими приложениями. Среди всего много-образия случайных процессов в стохастическом исчислении выделяется важныйкласс процессов, которые называются мартингалами. Теория мартингалов являет-ся одним из основных инструментов в финансовой и актуарной математике.В контексте нестандартного анализа теория вероятностей и случайных процес-сов начала развиваться с появлением конструкции меры Лёба в 1975 г. Сам же не-стандартный анализ возник в 1960 г., когда Абрахам Робинсон, специалист потеории моделей, понял, каким образом методы математической логики позволяютоправдать доказательства и вычисления классиков математического анализа XVIIи XVIII вв., поставив на строгую основу их рассуждения, использующие актуаль-но бесконечно большие и бесконечно малые величины.В 1961 г. появилась статья А. Робинсона Нестандартный анализ в ТрудахНидерландской академии наук. В статье намечены как основные положения не-стандартного анализа, так и некоторые его приложения (например, к аналитиче-ской механике). В течение последующих восьми лет вышли в свет три моногра-фии, излагающие нестандартную теорию: в 1962 г.- книга У. Л. Дж. ЛюксембургаНестандартный анализ. Лекции о Робинсоновой теории бесконечно малых и бес-конечно больших чисел [10], в 1966 г.- книга самого А. Робинсона Нестандарт-ный анализ [7], в 1969 г.- книга М. Маховера и Дж. Хиршфелда Лекции о не-стандартном анализе [11].В настоящее время приложения нестандартного анализа в математике охваты-вают обширную область от топологии до теории дифференциальных уравнений,теории меры и вероятностей. Однако, как говорилось выше, теория меры и теориявероятностей в рамках нестандартного анализа долгое время не давали новых ре-зультатов. Прорыв произошел после выхода в 1975 г. работы Лёба, которая яви-лась ключом к нестандартному подходу в стохастическом анализе [9] .В работе рассматривается нестандартный подход к теории мартингалов. Вводят-ся определения и приводятся некоторые важные результаты с доказательствами.56 Е.А. Пчелинцев1. Неупреждающие гиперконечные процессыПусть (ƒ,A,P) - гиперконечное вероятностное пространство, A - внутренняяалгебра всех внутренних подмножеств множества ƒ. Пусть T = {0 = t0, t1,,tξ = 1}- гиперконечная ось времени, где ti+1-ti ≈ 0, ўЈi = 0,1,,ƒ-1.Определение 1. Гиперконечным случайным процессом называется внутреннееотображениеX:ƒT*R,где T - гиперконечная ось времени, (ƒ,A,P) - некоторое гиперконечное вероятно-стное пространство [1].Дадим понятие неупреждаемости. Для ƒЎфƒ и tЎфT положимƒt = ‹ƒ(s)|s < t›- сужение ƒ на множество [0,t).Определение 2. Гиперконечный процесс X:ƒT*R называется неупреж-дающим, если из равенства ƒt = ƒt следует, что X(ƒ,t) = X(ƒ,t) [1].Введём альтернативное определение неупреждающих процессов: ўЈtЎфT пустьAt - внутренняя алгебра подмножеств множества ƒ, порождённая множествамивида [ƒ]t={ƒЎфƒ| ƒt=ƒt}. Основным свойством At является то, что ўЈtЎфT внут-ренняя алгебра At состоит из всевозможных объединений атомарных множеств,т.е. { | , [ ] , } t iti IA I AA =  = ƒ ƒƒ и при s = ƒ  A , а это и означает по определению изме-римого отображения, что случайная величина X(,t) является At -измеримой ўЈtЎфT.II. Достаточность. По определению случайная величина X(,t) есть At-измеримая ўЈtЎфT, если ўЈaЎф*R { | (,) } [ ]i t ti IX t aƒƒ ƒ > = ƒ  A ўЎ на множестве[ƒ]t X-const, ўЈtЎфT, ўЈƒЎфƒ ўЎ процесс X неупреждающий. Теорема доказана.2. Внутренние мартингалыПусть (ƒ,A,P) - гиперконечное вероятностное пространство, T = {0 = t0, t1,,tξ = 1} - гиперконечная ось времени, X: ƒT*R - гиперконечный случайныйпроцесс.Введем обозначения: ƒX(ƒ,ti) = X(ƒ,ti+1) - X(ƒ,ti) и если s = ti, t = tj, s < t, то1 ( , ) ( , ) ... ( , )ti jr sX r X t X t−=Σ ω = ω + + ω .Мартингалы в гиперконечном универсуме 57Определение 3. Внутренней фильтрацией на ƒ, параметризованной множест-вом T, называется набор (ƒ,{At}tT,P), где {At}tT - возрастающая внутренняя по-следовательность внутренних алгебр в ƒ [1].Поскольку алгебра A состоит из всех внутренних подмножеств множества ƒ,то алгебры At есть подалгебры алгебры A ўЈtЎфT. Пример внутренней фильтрациибыл приведён выше, из него становится ясно, что алгебра At - это вместилищеинформации о стохастической системе к моменту t.Есть и другой путь описания неупреждающих процессов. Для ўЈtЎфT введем от-ношение эквивалентности Ў­t на ƒ:ƒЎ­tƒўўўЈAЎфAt (ƒЎфAўўƒЎфA).Лемма 1. (ƒЎ­tƒ) ўў ([ƒ]t=[ƒ]t) ўў (ƒt = ƒt).Доказательство. По определению (ƒЎ­tƒ) ўў ўЈAЎфAt (ƒЎфAўўƒЎфA) ўў (ƒЎф[ƒ]tўў ƒЎф[ƒ]t) ўў ([ƒ]t=[ƒ]t) ўў (ƒt = ƒt). Лемма доказана.Замечание. Эта лемма говорит об эквивалентности всех определений неупреж-даемости.Из леммы непосредственно следует следующая теорема.Теорема 2. Внутренний процесс X:ƒT*R является неупреждающим ўў изƒЎ­tƒ следует, что X(ƒ,t)=X(ƒ,t).Перейдем к определению мартингалов.Определение 4. Внутренний процесс М:ƒT*R называется мартингаломотносительно фильтрации (ƒ,{At}tT,P), если1) M - неупреждающий;2) ўЈs,tЎфT, s 0 и D{x(t)/En} = nƒ2. С учетом этого имеем, что60 Е.А. Пчелинцев012 2 2 20 1 1( ) { ( )/ } ( )( ) ( ) ( ),! ( 1)! ( 1)!n nnn n nt t tn n nDx t D x t E P Et t tn e e e t tn n nЃ‡=Ѓ‡ Ѓ‡ Ѓ‡ −− ѓЙ − ѓЙ − ѓЙ= = == =λ λ λ= σ = σ = σ λ = σ λ− −ΣΣ Σ Σт.е. Dx(t)=ƒ2tƒ пропорционально времени t. А изменение координаты частицы современем равно σ t λ и пропорционально t .3 . 2 . М а т е м а т и ч е с к а я х а р а к т е р и с т и к аб р о у н о в с к о г о д в и ж е н и яПусть (ƒ,း,P) - вероятностное пространство со считающей мерой Р, т.е.ўЈAЎшƒ положим P(A) = |A|/|ƒ|.å 6.Броуновское движение (винеровский процесс) - это отображе-ниеb: ƒ[0,1]း,такое, что выполняются следующие условия:(I) b(ƒ,t) - измеримая функция от ƒЎфƒ при всех tЎф[0,1];(II) При s < t, s,tЎф[0,1] разность b(ƒ,t) - b(ƒ,s) имеет нормальное распределе-ние со средним 0 и дисперсией (t - s) ўЈƒЎфƒ;(III) Если s1 < t1 ЎВ s2 < t2 ЎВЎВ sn < tn, то система случайных величин b(ƒ,t1) -b(ƒ,s1), b(ƒ,t2) - b(ƒ,s2), , b(ƒ,tn) - b(ƒ,sn), является независимой [4], [6].Броуновское движение - случайный процесс, который благодаря ряду своихсвойств (независимость приращений, непрерывность траекторий, мартингаль-ность и др.) нашёл широкое применение не только в математике, но и во многихдругих областях знаний.3 . 3 . Г и п е р к о н е ч н а я м о д е л ь б р о у н о в с к о г о д в иже н и яПусть (ƒ,း,P) - гиперконечное вероятностное пространство. Пусть T = {0, ƒt,2ƒt,,1} - гиперконечная ось времени и ƒ = {-1,1}T = {ƒ| ƒ:T{-1,1} - внутрен-нее отображение}. Рассмотрим нестандартный аналог броуновского движения.å 7.Внутреннее отображение B:ƒT*း, имеющее вид0( , ) ( ) (0) ( ) ... ( ) , , ,tsB t s t t t t t t t t T=ω = Σω ⋅ Δ = ω Δ + ω Δ Δ + + ω − Δ Δ ∀ω∈Ω ∀ ∈называется гиперконечным случайным блужданием [1].Замечание. B(ƒ,t) - координата броуновской частицы в момент t - ƒt, равнаясумме всех сдвигов (скачков) частицы в моменты от 0 до t - ƒt, а в каждый мо-мент происходит сдвиг либо на -ƒt, либо на +ƒt с вероятностью ..Теперь положим b(ƒ,0t)=0B(ƒ,t) ўЈƒЎфƒ, ўЈtЎфT. Тогда справедлива следующаятеорема.à 6.Пусть (ƒ,L(း),P) - вероятностное пространство Лёба. Тогда b(ƒ,t),ƒЎфƒ, tЎф[0,1], есть броуновское движение [1].Мартингалы в гиперконечном универсуме 61Доказательство. (В отличие от доказательства в [1], данное доказательстводополнено автором). Для доказательства необходимо проверить выполнениеопр. 6.(I) Пространство Лёба задаёт измеримую структуру на ƒ. Заметим, что B(ƒ,t) -внутреннее отображение ўЎ 0B(ƒ,t) измеримо по Лёбу, т.е. b(ƒ,t) измеримо по ƒпри фиксированном t по мере Лёба L(P).Докажем условие (III). Пусть s1

Скачать электронную версию публикации