On properties of centrally invariant and commutatorically invariant subgroupsof abelian groups.pdf Пусть A - абелева группа. Тогда E(A) обозначает кольцо ее эндоморфизмов,C = Z(E(A)) - центр кольца E(A), r(A) - ранг, если не оговорено противное, то Ap -ее компонента, а t(A) - периодическая часть, A1 =  n  N nA. Если a - элемент по-рядка pk, то через e(a) = k обозначим его экспоненту. ПоложимA[pk] = {a  A | pka = 0}, причем если A - p-группа, то A[p] = A. Запись H ≤ A оз-начает, что H - подгруппа в A; H ≤ fi A, что H - вполне инвариантная подгруппа вA, т.е. fH  H для каждого f  E(A); H ≤ ci A, что H - центрально инвариантнаяподгруппа в A, т.е. fH  H для каждого f  C. Если f: A  B - гомоморфизм, тоf | H - ограничение f на H  A. Если B, G - группы и X - непустое подмножествоB, то через Hom (B, G)X обозначим подгруппу в G, порожденную всеми подмно-жествами fX, где f  Hom (B, G)X. Через 1A обозначим тождественный эндомор-физм группы A, через o(a) - порядок элемента a  A. Если A - группа без круче-ния и a  A, то t(a) - тип элемента a; а если A - однородная группа без кручения,то t(A) - ее тип. N - множество всех натуральных чисел, Z - аддитивная группа(или кольцо) целых чисел, Q - аддитивная группа (или поле) всех рациональныхчисел, pZ_- группа (или кольцо) целых p-адических чисел, P - множество всехпростых чисел.Если ƒ  E(A) и H ≤ ci A, то ƒH ≤ ci A и ƒ-1H = {a  A | ƒa  H} ≤ ci A. В част-ности, все эндоморфные образы группы A, а также ядра ее эндоморфизмов явля-ются ci-подгруппами в A. Нетрудно проверить, что если H ≤ fi B и B ≤ ci A, тоH ≤ ci A; если H ≤ ci A, H ≤ B и B/H ≤ fi A/H, то B ≤ ci A.Следующий пример показывает, что необязательно из H ≤ ci B и B ≤ fi A сле-дует H ≤ ci A.Пример 1. Пусть S = Z[ −5] , A - редуцированная группа без кручения с ус-ловием E(A) _ S (такая группа найдется согласно известному результату Корнерао счетных кольцах [1, теорема 29.2]). Пусть далее 0  a  A и B = E(A)a. ТогдаB ≤ fi A. Так как элементы кольца S - целые алгебраические числа и A - группа безкручения, то все ее ненулевые эндоморфизмы являются мономорфизмами. По-этому B _ S +. Поскольку S + _ Z⊕Z, то C(E(B)) _ Z. Следовательно, 〈a〉 ≤ ci B.Однако 〈a〉 не является ci-подгруппой в A.86 А.Р. ЧехловОтметим также следующие свойства.1) Пусть A = ⊕j  J Aj (A = ƒj  J Aj), ej: A  Aj - соответствующие проекции. То-гда если ƒ  C, то ƒ' = ejƒej  Z(E(Aj)).Действительно, из ej = 2je следует, что ƒej = ƒ 2je = ejƒej. Если теперь ƒ  E(Aj),то продолжим ƒ до эндоморфизма ϕ группы A (полагая ϕ = 0 на дополнитель-ном к Aj прямом слагаемом). Тогда ƒ = (ej ϕ ej) | Aj. По условию ϕ ƒ = ƒ ϕ . Откуда(ej ϕ ej)(ejƒej) = (ejƒej)(ej ϕ ej). Рассматривая это равенство на Aj, получаем ƒƒ' = ƒ'ƒ,т.е. ƒ'  Z(E(Aj)).Напомним, что если A = B⊕G, то E(A) можно рассматривать как кольцо мат-риц видаα γδ βr⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠, где ƒ  E(B) и ƒ  E(G), а ƒ  Hom (G,B) и ƒ  Hom (B,G).Ясно, что если r  C, то ƒ = 0 и ƒ = 0. Несложно проверяется следующее свойство.2) Если A = B⊕G, тоα 00 βr⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠ C тогда и только тогда, когда ƒ  Z(E(B)),ƒ  Z(E(G)) и ƒƒ = ƒƒ, ƒƒ = ƒƒ для любых ƒ  Hom (B,G), ƒ  Hom (G,B).3) Если B = ƒA для некоторого ƒ  E(A) и H ≤ ci B, то H ≤ ci A.Пусть b = ƒa  B, ƒ  C и f  E(B). Тогда ƒf(b) = ƒ(fƒ)a = (fƒ)ƒa = f(ƒƒa) == fƒ(ƒa) = fƒb, т.е. (ƒ | B)f = f(ƒ | B). Значит, ƒH  H.4) Пусть A = ⊕j  J Aj и Hj ≤ ci Aj для каждого j  J. Тогда H = ⊕j  J Hj ≤ ci A.Вытекает из 2).5) Пусть A = ⊕j  J Aj, ej: A  Aj - соответствующие проекции и H ≤ ci A. Тогда⊕j  J ejH ≤ ci A.6) Пусть A = ⊕j  J Aj и Aj ≤ fi A для каждого j  J. Подгруппа H являетсяci-подгруппой в A тогда и только тогда, когда H = ⊕j  J Hj, где Hj ≤ ci Aj для каж-дого j  J.Необходимость. Если ej: A  Aj - соответствующие проекции, то в данномслучае ej  C для каждого j  J. Откуда Hj = ejH = HAj. Условие Hj ≤ ci Aj выте-кает из 2). Достаточность следует из 4).Поскольку в p-группе центр ее кольца эндоморфизмов изоморфен либо кольцуkpZ (если группа ограничена и pk служит верхней точной гранью порядков ееэлементов), либо pZ_(в противном случае) [1, теорема 19.7], то в периодическойгруппе любая ее подгруппа является ci-подгруппой. Согласно [2, предложение 2],центр кольца эндоморфизмов нередуцированной группы без кручения A изомор-фен подкольцу поля Q, порожденному всеми такими числами 1/p, что pA = A. По-этому всякая подгруппа такой группы является ci-подгруппой.Если A - сепарабельная группа без кручения, то обозначим через ƒ(A) множе-ство типов всех прямых слагаемых ранга 1 группы A. Типы s,t  ƒ(A) будем счи-тать эквивалентными, если существуют такие r1,,rn  ƒ(A), что типы ri, ri+1сравнимы для всех i = 0,,n, где r0 = s, rn+1 = t. Если теперь ƒ(A) = k  K ƒk - раз-О свойствах центрально и коммутаторно инвариантных подгрупп абелевых групп 87биение множества ƒ(A) на классы эквивалентности, то A = ⊕k  K Ak, где Ak - сепа-рабельные группы, ƒ(Ak) = ƒk, слагаемые Ak вполне инвариантны в A, причемцентр Z(E(Ak)) изоморфен некоторому подкольцу поля Q [1;  19, упр. 7]. Легковидеть, что pZ(E(Ak)) = Z(E(Ak)) в точности тогда, когда pAk = Ak.Теорема 1. Если A = ⊕ k  K Ak - сепарабельная группа без кручения, гдеƒ(A) =  k  K ƒk - разбиение множества ƒ(A) на классы эквивалентности, топодгруппа H группы A является ее ci-подгруппой в точности тогда, когдаH = ⊕ k  K Hk, где Hk = AkH и pHk = Hk для каждого простого числа p со свойст-вом pAk = Ak.Доказательство. Вытекает из свойства 6).Из теоремы 1 в частности следует, что у делимой группы без кручения каждаяее ci-подгруппа является прямым слагаемым.Теорема 2. Если все ci-подгруппы группы A являются ее fi-подгруппами, токольцо E(A) коммутативно.Доказательство. Пусть 0  a  A и ƒ  E(A). Поскольку Ca ≤ fi A, то ƒa = ƒaдля некоторого ƒ  C. Имеем (ƒ‒ƒ)a = 0. Поэтому Ca  Ker (ƒ‒ƒ). Следователь-но, ƒ | Ca = ƒ | Ca. Если теперь ƒ  E(A) и ƒ  C - такой, что ƒ | Ca = ƒ | Ca, то(ƒƒ‒ƒƒ) | Ca = (ƒƒ‒ƒƒ) | Ca = 0. Откуда ƒƒ = ƒƒ в силу произвольности a.Если R - кольцо, то операция a◦b = ab ‒ ba (где a,b  R) называется коммути-рованием, а элемент [a,b] = ab ‒ ba - коммутатором a и b. Приведем простуюлеммуЛемма 1. В кольце R операция коммутирования ассоциативна тогда и толькотогда, когда любой коммутатор кольца R лежит в его центре.Доказательство. Необходимость. Имеем[[a,b],c] = abc ‒ bac ‒ cab + cba, [a,[b,c]] = abc ‒ acb ‒ bca + cba.Приравнивая правые части, получаем 0 = bac + cab ‒ acb ‒ bca = [[c,a],b]. Откуда[c,a]  Z(R) в силу произвольности элемента b. Достаточность очевидна.Подгруппу H ≤ A назовем коммутаторно инвариантной, кратко ki-подгруппой, если [ƒ,ƒ]h  H для любых h  H и ƒ,ƒ  E(A). Ясно, что еслиH ≤ ki A, то ƒH ≤ ki A для любого ƒ  Z(E(A)).Лемма 2. Пусть A = ⊕ i  I Ai, ƒi: A  Ai - соответствующие проекции и H ≤ A.Тогда:1) H ≤ ki A в том и только в том случае, когда Hom (Ai, Aj)ƒiH  HAj и[ƒi,ƒi]ƒiH  HAi для любых ƒi,ƒi  E(Ai), где i,j  I и j  i;2) если Bi ≤ ki Ai, то B = ⊕ i  I Bi ≤ ki A в том и только в том случае, когдаHom (Ai, Aj)Bi  Bj для всех i,j  I, где j  i;3) если Ai ≤ fi A и Bi ≤ Ai, то B = ⊕ i  I Bi ≤ ki A в том и только в том случае,когда Bi ≤ ki Ai для всех i  I;4) ki-подгруппа H группы A являются ее fi-подгруппой _____в том и только в томслучае, когда ƒiH = HAi и HAi ≤ fi Ai для каждого i  I.88 А.Р. ЧехловДоказательство. 1) Необходимость. Пусть f  Hom (Ai, Aj), Gi = ⊕ j  I \ {i} Aj иƒi: A  Gi - проекция. Продолжим f до f  E(A), полагая f | Ai = f, f | Gi = 0. То-гда если ai + gi  H (ai Ai, gi  Gi), то [ f , ƒi](ai + gi) = fai  HAj. Необходи-мость включения [ƒi,ƒi]ƒiH  HAi очевидна.Достаточность. Пусть Gi = ⊕j  I \ {i} Aj, ƒ: A  Gi - проекция, 1 ‒ ƒ = ƒ, гдеƒ = ƒi, ƒ,ƒ  E(A) и a = ƒh для некоторого h  H. Тогда[ƒ,ƒ]a = [(ƒ + ƒ)ƒ, (ƒ + ƒ)ƒ]a = [ƒƒ, ƒƒ]a + [ƒƒ, ƒƒ]a + [ƒƒ, ƒƒ]a + [ƒƒ, ƒƒ]a == [ƒƒ, ƒƒ]a + (ƒƒƒƒ ‒ ƒƒƒƒ)a + (ƒƒƒƒ + ƒƒƒƒ ‒ ƒƒƒƒ ‒ ƒƒƒƒ)a.Учитывая свойства подгруппы H, получаем[ƒƒ,ƒƒ]a  [ƒƒ,ƒƒ]ƒH  HAj,(ƒƒƒƒ ‒ ƒƒƒƒ)a  Hom (Gi, Ai)ƒH = ƒ j  I \ {i} Hom (Aj, Ai)ƒjH  HAi,и (ƒƒƒƒ + ƒƒƒƒ ‒ ƒƒƒƒ ‒ ƒƒƒƒ)a  Hom (Ai, Gi)ƒH == ƒ j  I \ {i} Hom (Ai, Aj)ƒH  ƒ j  I \ {i} (HAj).Поскольку h = ƒ1h ++ ƒn h для некоторого n  N (ƒj = ,jiπ ij  I, j = 1,,n), то[ƒ,ƒ]h  H.2) - 4) вытекают из 1).Из леммы 2, п. 1) непосредственно вытекает, что ki-прямые слагаемые вполнеинвариантны.С помощью леммы 2 легко строятся примеры ki-подгрупп, не являющиеся fi-подгруппами.Пример 2. Пусть o(a) = p, o(b) = p3, A = 〈a〉 ⊕ 〈b〉 и H = 〈a+pb〉. Для подгруппыH выполнены условия п. 1) леммы 2, поэтому H ≤ ki A. Однако H fi A.Доказательство следующей леммы проверяется непосредственно.Лемма 3. Пусть H ≤ ki A. Тогда:1) если B - прямое слагаемое группы A и ƒ - проекция A на B, тоHB, ƒH ≤ ki B;2) если A = ⊕ Ai, ƒi: A  Ai - соответствующие проекции и H = ⊕ (HAi),H = ⊕ (ƒiH), то H, H ≤ ki A, H ≤ H ≤ H и H = H , если и только еслиH = ⊕ (HAi);3) если A = B⊕G, где G ≤ fi A и H ≤ ki B, то H ⊕ Hom (B,G)H ≤ ki A.Несложно проверяется, что если H ≤ fi G и G ≤ ki A, то H ≤ ki A; если H ≤ ki Gи G ≤ fi A, то H ≤ ki A. Как показывает следующий пример, может случиться так,что H ≤ ki G, G ≤ ki A, но H ki A.Пример 3. Пусть o(a) = p, o(b) = p3, o(c) = p8, A = 〈a〉 ⊕ 〈b〉 ⊕ 〈c〉, x = a+pb,y = p2c и G = 〈x〉 ⊕ 〈y〉. Если ƒa: A  〈a〉, ƒb: A  〈b〉, ƒc: A  〈c〉 - проекции, тоƒa(G) = 〈a〉, ƒb(G) = 〈pb〉, ƒc(G) = 〈p2c〉. ПоэтомуHom (〈a〉, 〈b〉)(ƒa(G)) = 〈p2b〉  G〈b〉 = 〈p2b〉,Hom (〈a〉, 〈c〉)(ƒa(G)) = 〈p7c〉  G〈c〉 = 〈p2c〉, Hom (〈b〉, 〈a〉)(ƒb(G)) = 0  G〈a〉,Hom (〈b〉, 〈c〉)(ƒb(G)) = 〈p6c〉  G〈c〉 = 〈p2c〉,Hom (〈c〉, 〈a〉)(ƒc(G)) = 0  G〈a〉, Hom (〈c〉, 〈b〉)(ƒc(G)) = 〈p2b〉  G〈b〉 = 〈p2b〉.О свойствах центрально и коммутаторно инвариантных подгрупп абелевых групп 89Следовательно, по лемме 2 G ≤ ki A. Если теперь ƒx: G  〈x〉, ƒy: G  〈y〉 - про-екции, а H = 〈x+p2y〉, тоHom (〈x〉, 〈y〉)(ƒx(H)) = 〈p4y〉  H〈y〉 = 〈p4y〉и Hom (〈y〉, 〈x〉)(ƒy(H)) = 0  H〈x〉 = 0.Следовательно, H ≤ ki G. Однако H = 〈a+pb+p4c 〉 ki A, посколькуHom (〈a〉, 〈b〉)(ƒa(H)) = 〈p2b〉 H.Приведем несколько простых и легко проверяемых свойств коммутаторов.1) - [ƒ,ƒ] = [ - ƒ,ƒ] = [ƒ, - ƒ] = [ƒ,ƒ];2) [ƒ,ƒ + ƒ] = [ƒ,ƒ] + [ƒ,ƒ], [ƒ + ƒ,ƒ] = [ƒ,ƒ] + [ƒ,ƒ];3) ƒn[ƒ,ƒ] = [ƒ,ƒnƒ], ƒn[ƒ,ƒ] = [ƒnƒ,ƒ], [ƒ,ƒ]ƒn = [ƒ,ƒƒn], [ƒ,ƒ]ƒn = [ƒƒn,ƒ] длялюбого n  N;4) [[ƒ,ƒ],ƒ] + [[ƒ,ƒ],ƒ] + [[ƒ,ƒ],ƒ] = 0, [ƒ,[ƒ,ƒ]] + [ƒ,[ƒ,ƒ]] + [ƒ,[ƒ,ƒ]] = 0;5) [[ƒ,ƒ],ƒ] = [ƒƒ,ƒ] - [ƒƒ,ƒ], [ƒ,[ƒ,ƒ]] = [ƒ,ƒƒ] - [ƒ,ƒƒ];6) [ƒ,ƒ]ƒ = ƒ[ƒ,ƒ] + [ƒƒ,ƒ], [ƒ,ƒ]ƒ = [ƒ,ƒƒ] + ƒ[ƒ,ƒ];7) ƒ[ƒ,ƒ] = [ƒ,ƒ]ƒ + [ƒ,ƒƒ], ƒ[ƒ,ƒ] = [ƒƒ,ƒ] + [ƒ,ƒ]ƒ.Свойства 2), 5) отражают тот факт, что если в кольце 〈R, +, ⋅〉 операцию умно-жения заменить операцией коммутирования, то получится лиево кольцо 〈R, +, ◦〉[3; глава II,  2.3].Теорема 2. В группе A каждая ее подгруппа является ki-подгруппой тогда итолько тогда, когда E(A) - коммутативное кольцо.Доказательство. Необходимость. Из леммы 2 следует, что прямые слагаемыегруппы A вполне инвариантны, поэтому ее p-компоненты Ap являются коцикличе-скими. Значит, для каждого m  N имеет место разложениеA =1 m p pA ⊕ ⊕ A ⊕ … Bm, где Bm[pj] = 0 при j = 1,,m и (p1pm)Bm = Bm. Отсюдаследует, что периодичность A влечет коммутативность кольца E(A). Если a - эле-мент конечного порядка, то a 1 m p pA ⊕ ⊕ A … для некоторого m, а посколькукольцо E1( )p pmA ⊕ ⊕ A … коммутативно, то [ƒ,ƒ]a = 0 для любых ƒ,ƒ  E(A).Пусть теперь a - элемент бесконечного порядка. Имеем [ƒ,ƒ]a  〈a〉. Поэтому[ƒ,ƒ]a = na для некоторого n  Z, ƒ[ƒ,ƒ]a = nƒa. А так как ƒ[ƒ,ƒ] = [ƒ,ƒƒ], тоnƒa  〈a〉, т.е. nƒa = sa для некоторого s  Z. Аналогично nƒa = ka, где k  Z.Можно считать, что a  Bm, где m - такое натуральное, что Bm не содержит эле-ментов, порядки которых делятся на простые делители числа n. Поэтому равенст-во n2[ƒ,ƒ]a = 0 влечет [ƒ,ƒ]a = 0, это доказывает коммутативность E(A). Доста-точность очевидна.Лемма 4. Если A = ⊕ i  I Ai, где | I | > 1, и для каждого Ai найдется Aj (j  i) сосвойством Ai _ Aj, то все ki-подгруппы группы A являются вполне инвариантными.Доказательство. Если H ≤ ki A, то в данном случае H = ⊕(HAi). Действи-тельно, если ƒ - проекция A на Ai и ƒh = a  0 для некоторого h  H, то при усло-вии, что ƒ: Ai  Aj и ƒ: Aj  Ai - взаимно обратные изоморфизмы, в силу леммы 2имеем b = ƒa  HAj и a = ƒb  HAi. Аналогично показывается, что fa  HAiдля любого f  E(Ai). Этого в силу леммы 2, п. 4) достаточно для вполне инвари-антности H.90 А.Р. ЧехловИз леммы 4 вытекает, что в делимой группе D = t(D) ⊕ D0 каждая ki-подгруппаH либо является периодической вполне инвариантной подгруппой в D, либо име-ет вид H = t(D) ⊕ H1 для некоторой подгруппы 0  H1 ≤ D0, причем H1 = D0, еслигруппа D0 разложима.Если D - делимая часть p-группы A = B ⊕ D, H ≤ ki A, ƒ: A  D - проекция иr(D) > 1, то из доказательства леммы 4 следует, что HD = ƒH. Если же r(D) = 1,то возможен случай, когда HD  ƒH. Например, если B = 〈b〉 - циклическаягруппа, e(b) = k ≥ 1, d  D и e(d) = n ≥ 2k, то H = 〈b+d〉 ≤ ki A. ОднакоƒH = 〈dƒ  HD = 〈pkd〉. Подобная ситуация рассматривается в следующей лемме.Лемма 5. Пусть A = B ⊕ D, где B - редуцированная, а D - делимая группа,ƒ: A  B - проекция и H ≤ A. Тогда:1) если ƒH - периодическая группа и D ≅ Q, то H ≤ ki A если и только если[ƒ,ƒ]H  HB для любых ƒ,ƒ  E(A);2) если D = ⊕ p  ƒ Dp - такая периодическая группа, что r(Dp) = 1 для каждогоp  ƒ (ƒ - некоторое множество простых чисел), то H ≤ ki A если и только если[ƒ,ƒ]H  (HB) ⊕ (HD) для любых ƒ,ƒ  E(A);3) если A - p-группа и H - ее неограниченная ki-подгруппа, то D  H.Доказательство. 1) Необходимость. Поскольку D ≤ fi A и E(D) - коммутатив-ное кольцо, то [ƒ,ƒ]H = [ƒ,ƒ](ƒH). Следовательно, [ƒ,ƒ]H - периодическая группаи, значит, она содержится в HB. В частности, в такой группе A все подгруппыH  D являются ki-подгруппами в A. Достаточность очевидна.2) Необходимость. Поскольку D ≤ fi A и E(D) - коммутативное кольцо, то[ƒ,ƒ]H = [ƒ,ƒ](ƒH). Пусть h = b+d  H, где b  B, d  D и ƒ = 1 - ƒ. Имеем[ƒ,ƒ](b+d) = [ƒ,ƒ]b = [(ƒ+ƒ)ƒ,(ƒ+ƒ)ƒ]b == [ƒƒ,ƒƒ]b + [ƒƒ,ƒƒ]b + [ƒƒ,ƒƒ]b + [ƒƒ,ƒƒ]b.Здесь, согласно лемме 2, п. 1), каждое из 4 слагаемых принадлежит подгруппе H.Первое содержится в HB, а остальные в HD (учесть, что ƒƒƒƒb = 0 иƒƒƒƒb = 0). Достаточность очевидна.3) Если ƒH - неограниченная подгруппа в B, то Hom(B,D)ƒH = D и, значит,D  H по лемме 2, п. 1). Если же pn(ƒH) = 0 для некоторого n  N, то pnH - неог-раниченная подгруппа в D. Поскольку всякая собственная подгруппа вpZ огра-ниченная, то условие D ≅pZ сразу влечет, что D  H. Если же r(D0) > 1, то D яв-ляется прямой сумой групп, изоморфныхpZ . Поэтому D  H по доказательствулеммы 4.Легко проверить, что если H - периодическая подгруппа группы A, D - дели-мая группа, то Hom (A, D)H = ⊕ Dp[ ] pmp , где mp = sup {e(h) | h  Hp}. Здесь mp = 0,если Hp = 0 и, значит, Dp[ ] pmp = 0. Если же 0  H - непериодическая подгруппагруппы A, то Hom (A, D)H = D.Теорема 3. Пусть A = B ⊕ D, где D = t(D) ⊕ D0 - делимая часть группы A иH ≤ A. Тогда H ≤ ki A в том и только в том случае, когда H совпадает с одной изследующих подгрупп:О свойствах центрально и коммутаторно инвариантных подгрупп абелевых групп 911) H = F ⊕ (⊕p Dp[pkp]), где F - периодическая ki-подгруппа группы B иkp ≥ sup {e(b) | b  Fp};2) H = G ⊕ (pƒ1⊕ Dp[pkp]), где G - периодическая ki-подгруппа в группеB ⊕ (⊕p  ƒ Dp) такая, как в лемме 5, п. 2), kp ≥ sup {e(g) | g  Gp} и ƒ1ƒ = ∅;3) H = C ⊕ D, где C ≤ ki B;4) H = E ⊕ t(D), r(D0) = 1 и E - ki-подгруппа в группе B ⊕ D0 такая, как влемме 5, п. 1).Доказательство. Необходимость. Если ƒ: A  B, ƒp: A  Dp, ƒ0: A  D0 -проекции, то(HB) ⊕ (⊕ p (HDp)) ⊕ (HD0) ≤ H ≤ ƒH ⊕ (⊕ p (ƒpH)) ⊕ (ƒ0H).Так как Hom (B,D)ƒH  HD (лемма 2), то непериодичность подгруппы ƒHвлечет равенство HD = D (см. абзац перед теоремой 3), т.е. D  H. Аналогично,если ƒ0H  0, то из Hom (D0,t(D))(ƒ0H) = t(D) = Ht(D) следует, что t(D)  H. А излеммы 4 при условии ƒ0H  0 и r(D0) > 1 вытекает включение D0  H. Для доказа-тельства 3) осталось заметить, что если D  H, то H = C ⊕ D, где C = HB ≤ ki Bпо лемме 3. Если же t(D)  H и ƒ0H  0, но D0 H, то r(D0) = 1 и H = E ⊕ t(D), гдеE = H(B ⊕ D0) ≤ ki (B ⊕ D0), что доказывает 4).Ввиду включения Hom (B,D)ƒH  HD условие ƒ0H = 0 влечет периодичностьгруппы ƒH. Поскольку Hom (B,Dp)ƒH  HDp, то Dp[pmp]  HDp, гдеmp = sup {e(b) | b  (ƒH)p}. Заметим, что если Dp - разложимая группа, то из лем-мы 4 следует, что ƒpH = Dp[pkp] = HDp для некоторого kp  N{0,} (kp ≥ mp).Если ƒpH = HDp для каждого простого p, то H = F ⊕ (⊕p Dp[pkp]), гдеF = BH = ƒH ≤ ki B, это доказывает 1). В противном случае, пусть ƒ1 - множест-во всех простых p с условием ƒpH = HDp, а ƒ = {p  P \ ƒ1 | Dp  0}. ТогдаH = G ⊕ (pƒ1⊕ Dp[pkp]), где G = H(B ⊕ (⊕p  ƒ Dp)) ≤ ki (B ⊕ (⊕p  ƒ Dp)), это до-казывает 2).Достаточность. Вытекает из леммы 3, п. 3).Отметим, что соответствующая теорема для вполне инвариантных подгруппдоказана в [4, теорема 1.4].Напомним, что группа без кручения A называется вполне транзитивной, еслидля любых ее элементов a,b  0 условие на их характеристики ƒA(a) ≤ ƒA(b) влечетсуществование f  E(A) со свойством fa = b. Для группы без кручения A обозна-чим через ƒ(A) - множество типов t(a) всех ее ненулевых элементов a; если t - не-который тип, то множество всех элементов группы A типа ≥ t образует чистуюподгруппу A(t). Если A - однородная группа без кручения, то t(A) - ее тип, равныйтипу любого 0  a  A.Теорема 4. Пусть для вполне транзитивной группы без кручения A существу-ет такое разложение A = ⊕ i  I Ai, что для каждого i  I найдется j  I \ {i} сосвойством ƒ(Ai) = ƒ(Aj). Тогда каждая ki-подгруппа H группы A является fi-подгруппой.92 А.Р. ЧехловДоказательство. Пусть a1++an  H, где ak ikA (k = 1,,n). По условиюt(a1)  ƒ(Aj) для некоторого j  I \ {i1}. Следовательно, в Aj найдется элемент b сосвойством ƒA(a1) = ƒA(b). Так как ƒ(a1) = b и ƒ(b) = a1 для некоторых ƒ,ƒ  E(A), топо лемме 2, п. 1) b  H и, значит, a1  H. Итак, H = ⊕ (HAi). Если теперьf  E(Ai) и a  Ai, то по условию найдется b  Aj (j  I \ {i}) со свойствомƒ(b) = ƒ(fa). Опять в силу вполне транзитивности из леммы 2, п. 1) следует, чтоb  H и fa  H. Этого в силу леммы 2, п. 4) достаточно для вполне инвариантно-сти подгруппы H в A.В частности, из теоремы 4 следует, что всякая чистая ki-подгруппа однороднойвполне транзитивной разложимой группы совпадает с самой группой.Теорема 5. В разложимой редуцированной сепарабельной группе без крученияA все ki-подгруппы являются вполне инвариантными тогда и только тогда, когдадля каждого прямого слагаемого B ранга 1 группы A в дополнительном прямомслагаемом найдется прямое слагаемое G ранга 1, изоморфное B.Доказательство. Необходимость. Допустим, что в ƒ(A) (см. теорему 1) всетипы несравнимы. Тогда A = ⊕ t  ƒ(A) At, где r(At) = 1 и типы групп At несравнимы.В этом случае кольцо E(A) коммутативно и каждая подгруппа группы A будет ki-подгруппой, однако A имеет не вполне инвариантные подгруппы. Допустим те-перь, что B ⊕ G - прямое слагаемое в A, r(B) = r(G) = 1 и t(B) < t(G). Поскольку Aредуцированная, то pB  B и pG  G для некоторого простого p. Если b  B,g  G \ pG и A = B ⊕ C (G  C), то пусть H = 〈pb+g〉+E, где E = Hom (B,C)〈pb〉. То-гда E = C(ƒ(pb)) ≤ fi C. Если ƒ - проекция A на C, то так как в C нет прямых сла-гаемых, изоморфных B, Hom (C,B)ƒH = 0. Следовательно, по лемме 2 H ≤ ki A.Однако g ∉ H и, значит, ƒH H, т.е. H fi A.Достаточность. Пусть h  H ≤ ki A. Тогда h = a1++an, где ai  Ai, r(Ai) = 1 иAi - прямые слагаемые в A. Поскольку для каждого Ai в дополнительном прямомслагаемом найдется прямое слагаемое Aj _ Ai, то так же, как в теореме 4, следует,что ai  H и, кроме того, f(ai)  H для каждого f  E(A), т.е. f(h)  H и, значит,H ≤ fi A.Теорема 6. В редуцированной алгебраически компактной группе без крученияA каждая ее ki-подгруппа является вполне инвариантной тогда и только тогда,когда все p-адические компоненты группы A разложимы.Доказательство. Необходимость. Группа A представима в виде A = ƒ Ap, гдекаждая p-адическая компонента Ap является p-адической алгебраически компакт-ной группой. Можно считать, что Ap ≤ A. Пусть B = ƒpƒ1 Ap - прямое произведе-ние всех неразложимых групп Ap. Тогда кольцо E(B) коммутативно, а так какB ≤ fi A, то каждая подгруппа группы B будет ki-подгруппой в A. Поскольку B со-держит не вполне инвариантные подгруппы, то это доказывает необходимость.Достаточность. Пусть h  H ≤ ki A, f  E(A), h = (,ap,), где ap  Ap. За-пишем Ap в виде Ap = Bp ⊕ Gp, где ap  Bp, Gp  0. Тогда A = B ⊕ G, где B = ƒ Bp.Имеем f(a) = b+g, где b = (,bp,)  B, g = (,gp,)  G. По лемме 2 g  HG.Осталось показать, что b  H. Так как каждая Ap - однородная вполне транзитив-О свойствах центрально и коммутаторно инвариантных подгрупп абелевых групп 93ная группа, то найдутся ƒp, ƒp  E(Ap) со свойствами ƒp(bp)  HGp иƒp(ƒp(bp)) = bp. Если теперь ƒ = (,ƒp,), ƒ = (,ƒp,), то ƒ  Hom (B,G),ƒ  Hom (G,B). По лемме 2 ƒb  HG и b = ƒ(ƒb)  HB.Приведем следующий полезный результатЛемма 6 [5, лемма 9.5]. Пусть A = B ⊕ C - прямое разложение с проекциямиƒ, ƒ. Если разложению A = B ⊕ C1 соответствуют проекции ƒ1, ƒ1, то ƒ1 = ƒ+ƒƒƒ,ƒ1 = ƒ-ƒƒƒ для некоторого эндоморфизма ƒ группы A. Обратно, для всяких эндо-морфизмов ƒ1, ƒ1 приведенного выше вида имеет место разложение A = B ⊕ ƒ1A.Если A = B ⊕ C, то в [5, теорема 9.6] доказано, что пересечение всех дополни-тельных прямых слагаемых к B в группе A есть максимальная вполне инвариант-ная подгруппа группы A, не пересекающаяся с B.Теорема 7. Пусть A = B ⊕ C.1) Наименьшая ki-подгруппа группы A, содержащая C, является fi-подгруппойи совпадает с:a) Hom (C,B)C ⊕ C;б) суммой G всех дополнительных прямых слагаемых к B в группе A.2) Наибольшая ki-подгруппа группы A, содержащаяся в C, является fi-подгруппой и совпадает с:а) K =  ƒ Hom (C,B) Ker ƒ;б) пересечением N всех дополнительных прямых слагаемых к B в группе A.Доказательство. 1) п. а) вытекает из леммы 2, п. 1). Поскольку C  G, тоG = (BG) ⊕ C. Если C1 - дополнительное прямое слагаемое к B, то из леммы 6следует, что C+C1 = ƒ(C) ⊕ C для некоторого гомоморфизма ƒ: С  B. ОткудаG = (ƒ ƒ  Hom (C,B) ƒ(C)) ⊕ C = Hom (C,B)С ⊕ С,что ввиду а) доказывает б).2) Вполне инвариантность подгруппы K следует из ее определения. Если те-перь X ≤ ki A и X  C, то ввиду леммы 2, п. 1) X  Ker ƒ для каждогоƒ  Hom (C,B). Поэтому X  K, что доказывает а).Согласно замечанию перед теоремой N является fi-подгруппой в A, поэтомуN  K. Если A = B ⊕ C1, то K = (KB) ⊕ (KC1), где KB = 0, поэтому K  C1 и,значит, K  N.Лемма 7. Пусть A - неограниченная p-группа. Тогда если 0  H ≤ ki A, тоHpnA  0 для каждого n  N.Доказательство. Пусть D - делимая часть группы A. Тогда если A = C ⊕ D иh = c + d  H[p], где c  C, d  D, то в силу инъективности группы D отображе-ние c  d продолжается до гомоморфизма C  D. Согласно лемме 2, п. 1)d  HD. Осталось заметить, что D  pnA для каждого n  N. Предположим те-перь, что группа A редуцированная. Допустим, что ƒH  0, где ƒ - проекция нанекоторое циклическое прямое слагаемое 〈a〉. Тогда для всякого элемента c экс-поненты e(c) = n + 1 ≥ k = e(a), принадлежащего дополнительному прямому сла-гаемому C, отображение a  pn + 1 - kc продолжается до гомоморфизма 〈a〉  C.Согласно той же лемме 2, п. 1), отсюда следует, что H(pnC)  0. Допустим те-94 А.Р. Чехловперь, что ƒH = 0 для каждого циклического прямого слагаемого группы A и соот-ветствующей проекции ƒ. Тогда если B - базисная подгруппа группы A, то длякаждого n имеет место разложение A = B1 ⊕⊕ Bn ⊕ An, где Bn = 0 или являетсяпрямой суммой циклических групп одного и того же порядка pn, аAn = 1 ( ) i n iB = +⊕ + pnA. В силу предположения H  An. Хорошо известно, что pnA -существенная подгруппа в An [5;  32, упр. 9]. Откуда HpnA  0.Из леммы 7 следует, что в неограниченной сепарабельной p-группе нет мини-мальных ki-подгрупп. Действительно, если H - минимальная ki-подгруппа, тоH = HpnA для каждого n  N. Откуда H = H( n pnA) = 0. Если p-длина редуци-рованной p-группы равна ƒ + 1 и pƒA - неразложимая группа, то pƒA - минималь-ная ki-подгруппа. Если же p-группа нередуцированная и D - ее делимая часть, тоD[p] - минимальная ki-подгруппа.Если A - ограниченная p-группа, A = A1 ⊕⊕ Am, где Ai - прямые суммы неко-торого числа циклических групп порядка ,i kp k1 k. Тогда x = h + a для некоторых h  H,a  A[pk]. Так как pkx = pkh  0, то 〈h〉 - прямое слагаемое группы A, A = 〈h〉⊕C. Ес-ли y = g + c для некоторых g  〈h〉 и c  C, то pky = pkg + pkc = 0. Поэтому e(c) < k,значит, 〈c〉 ______является гомоморфным образом группы 〈h〉. По лемме 2, п. 1)〈c〉  HC и, следовательно, y  H. Противоречие.Если A - ограниченная p-группа и pkA = 0, где k ≥ 2 и pk - 1A  0, тоA[pk - 1] - наибольшая ki-подгруппа. Действительно, если A = A1 ⊕⊕ Am, где Ai -прямые суммы некоторого числа циклических групп порядка ,i kp k1 1, и Gi = ⊕ j  I \ {i} Aj.1) Если для всякого i  I и любого 0  a  Ai существует ƒ  Hom (Ai,Gi) сосвойством ƒa  0, то Z(A) = 0.2) Z(A) = ⊕ i  I (Z(A)Ai).3) ƒ(Z(A)Ai) = 0 для любого ƒ  Hom (Ai,Gi).4) Z(A)Ai  Z(Ai). Равенство Z(A)Ai = Z(Ai) имеет место тогда и толькотогда, когда ƒ(Z(Ai)) = 0 для любого ƒ  Hom (Ai,Gi).96 А.Р. ЧехловДоказательство. 1) Пусть a1++an  A, где 0  aj jiA (j = 1,,n, ij  I),ƒ: A 1 iG - проекция и ƒ  Hom1 1( , ) i iA G - такой, что ƒa1  0. Считаем, чтоƒ  E(A), полагая ƒ |1 iA = ƒ, ƒ |1 iG = 0. Тогда [ƒ,ƒ]a = ƒa1  0. Следовательно,a ∉ Z(A). Поэтому Z(A) = 0 в силу произвольности элемента a.2) Следует из вполне инвариантности E-центра. 3) Вытекает из доказательства 1).4) Включение Z(A)Ai  Z(Ai) очевидно. Если Z(Ai)  Z(A), то из 2) следует ра-венство ƒ(Z(Ai)) = 0 для любого ƒ  Hom (Ai,Gi). Пусть теперь ƒ: A  Ai, ƒ: A  Gi- проекции, ƒ,ƒ  E(A) и a  Z(Ai). Имеем[ƒ,ƒ]a = [(ƒ+ƒ)ƒ, (ƒ+ƒ)ƒ]a = [ƒƒ,ƒƒ]a + [ƒƒ,ƒƒ]a + [ƒƒ,ƒƒ]a + [ƒƒ,ƒƒ]a .Здесь (ƒƒ) | Ai, (ƒƒ) | Ai  E(Ai), поэтому [ƒƒ,ƒƒ]a = 0, а оставшиеся три слагаемыеравны 0, поскольку в [ƒƒ,ƒƒ], [ƒƒ,ƒƒ], [ƒƒ,ƒƒ] входят эндоморфизмы ƒƒ, ƒƒ, дейст-вующие на элементах из Ai как гомоморфизмы из Hom (Ai,Gi). Итак, Z(Ai)  Z(A).Из леммы 8, в частности, следует, что для гомоморфизма f: A  B не обяза-тельно f(Z(A))  Z(B). Кроме того, если A = ⊕ Ai (A = ƒ Ai), где Ai ≤ fi A, тоZ(A) = ⊕ Z(Ai) (Z(A) = ƒ Z(Ai)). А если A = ⊕ Ai (A = ƒ Ai), где | I | > 1 и Ai _ Aj приi,j  I, то Z(A) = 0. Следовательно, если D = t(D) ⊕ D0 - делимая группа, где0  t(D) - ее периодическая часть, а D0 - часть без кручения, то Z(D) = ⊕pƒ1 Dp.Здесь ƒ1 = {p  P | r(Dp) = 1}. А если t(D) = 0, то Z(D) = 0 при r(D) > 1 и Z(D) = Dпри r(D) = 1.Лемма 9. Если A = B ⊕ C, где C ≤ fi A, то Z(A) = G ⊕ Z(C), гдеG = Z(B)( ƒ  Hom (B,C) Ker ƒ).Доказательство. Согласно лемме 8, п. 2) и п. 4), Z(A) = (Z(A)B) ⊕ (Z(A)C),где Z(A)C = Z(C). В силу леммы 8, п. 3), Z(A)B  G, а из п. 4) следует обратноевключение G  Z(A)B.Следствие 1. 1) Если A = B ⊕ D - нередуцированная группа без кручения, гдеD - ее делимая часть, то Z(A) = D при условии r(D) = 1, в противном случаеZ(A) = 0.2) Если T = t(A) и A = T⊕R - расщепляющаяся группа, то Z(A) = Z(T) приусловии, что T - нередуцированная группа, в противном случаеZ(A) = Z(T)⊕(Z(R)( p  ƒ )) pmp R , где ƒ = {p  P | Tp  0}, mp = sup {e(a) | a  Tp}.Доказательство. 2) Имеем Z(A) = (Z(A)T) ⊕ (Z(A)R). Согласно лемме 9,Z(A)T = Z(T), Z(A)R = Z(R)( ƒ  Hom (R,T) Ker ƒ).Обозначим для краткости E = Z(A)R, F = Z(R)( p  ƒ ) 쌼pmp R . Если T - нере-дуцированная группа, то для любого 0  x  R найдется ƒ  Hom (R,T) со свойст-вом ƒx  0. Поэтому по лемме 8 Z(A)R = 0. Если же T - редуцированная группа,то ƒ(F) = 0 для любого ƒ  Hom (R,T), поэтому F  E. Если x  Z(A)R, hp(x) < mp,то ƒx  0 для некоторого ƒ  Hom (R,T). Следовательно, E  F.О свойствах центрально и коммутаторно инвариантных подгрупп абелевых групп 97Теорема 8. Пусть A = B ⊕ D, где D = t(D) ⊕ D0 - ненулевая делимая частьгруппы A, и пусть G = Z(B)( ƒ  Hom (B,D) Ker ƒ). Тогда G является периодическойподгруппой, G = ⊕ p ƒ Gp, а Z(A) совпадает с одной из следующих подгрупп:1) если t(D)  0, то Z(A) = G ⊕ (⊕pƒ1 Dp), где ƒ1 = {p  P | r(Dp) = 1} иƒƒ1 = ∅;2) если t(D) = 0, то либо Z(A) = G, либо, если r(D0) = 1, Z(A) = G ⊕ D0.Доказательство. Имеем Z(A) = (Z(A)B) ⊕ (Z(A)t(D)) ⊕ (Z(A)D0). Таккак t(D) ≤ fi A, то согласно лемме 8 Z(A)t(D) = Z(t(D)) = ⊕pƒ1 Dp, гдеƒ1 = {p  P | r(Dp) = 1}. По той же лемме 8, Z(A)D0 = 0, если t(D)  0 илиr(D0) > 1. Всякая подгруппа X ≤ B со свойством Hom (B,D)X = 0 является периоди-ческой, причем Xp = 0 при Dp  0. Оставшиеся утверждения есть следствие леммы 8.Если A = ⊕ i  I Ai, то, как следует из следующей леммы, может случится так,что Ai = 0, но A  0.Лемма 10. Пусть A = ⊕ i  I Ai, где | I | > 1, и Gi = ⊕ j  I \ {i} Aj. Тогда1) A = 〈Hom (Ai,Gi)Ai, Hom (Gi,Ai)Gi, Ai,Gi〉;2) A = ⊕ i  I Ai в точности тогда, когда Hom (Ai,Aj)Ai  Aj для любых i,j  I,j  i.Доказательство. 1) Пусть ƒ: A  Ai, ƒ: A  Gi - проекции, f  Hom (Ai,Gi) иa  Ai. Тогда если ƒ  E(A) - такой, что ƒ | Ai = f, ƒ | Gi =1i G , то [ƒ,ƒ]a = fa. Это до-казывает, что Hom (Ai,Gi)Ai  A. Если теперь ƒ,ƒ  E(A), то[ƒ,ƒ]a = [(ƒ + ƒ)ƒ, (ƒ + ƒ)ƒ]a == [ƒƒ,ƒƒ]a + (ƒƒƒƒ - ƒƒƒƒ)a + (ƒƒƒƒ + ƒƒƒƒ - ƒƒƒƒ - ƒƒƒƒ)a.Здесь [ƒƒ,ƒƒ]a  Ai, второе слагаемое принадлежит Hom (Gi,Ai)Gi, а третье -Hom (Ai,Gi)Ai. Поскольку аналогичные рассуждения справедливы и для элементовподгруппы Gi, то A совпадает с указанной подгруппой. Отметим, чтоHom (Gi,Ai)Gi = ƒ j  I \ {i} Hom (Aj,Ai)Aj;2) вытекает из 1).Лемма 11. Если A = B⊕G и для любых b  B, g  G найдутся такие x  G,y  B и ƒ  Hom (B,G), ƒ  Hom (G,B), что ƒy = g, ƒx = b, то каждый элементгруппы A является коммутатором.Доказательство. Продолжим ƒ, ƒ до эндоморфизмов группы A, полагая ихдействия, равными нулевому эндоморфизму на соответствующих дополнитель-ных прямых слагаемых. Тогда если ƒ - проекция A на B, то [ƒ,ƒ+ƒ](x-y) = b+g.Пусть D = t(D) ⊕ D0 - делимая группа, где t(D) = ⊕Dp - ее периодическаячасть. Тогда из леммы 10 следует, что если D0 = 0, то D = ⊕p  ƒ Dp, гдеƒ = {p  P | r(Dp) > 1}, если r(D0) = 1, то D = t(D), а если r(D0) > 1, то D = D. Кро-ме того, если A = B ⊕ C, где C ≤ fi A, то A =B ⊕ 〈Hom (B,C)B, CЃЊ 〉. В частности,если A =B⊕D - p-группа или группа без кручения, где D - ее делимая часть, тоA = B ⊕ D. Более общим являетсяСледствие 2. Пусть A = B⊕D, где D = t(D) ⊕ D0 - ненулевая делимая частьгруппы A и B  0. Тогда A совпадает с одной из следующих подгрупп:1) если B - непериодическая группа, то A = B ⊕ D;98 А.Р. Чехлов2) если B - периодическая группа, то A = B ⊕ (⊕p  ƒ Dp) ⊕ (⊕ p  K Dp[pmp]) ⊕ D0,где ƒ = {p  P | r(Dp) > 1}, K = {p  P | r(Dp) = 1 и Bp  0}, mp = sup {e(b) | b  Bp},а D0 = 0 при r(D0) = 1 и D0 = D0 при r(D0) > 1.Группу A назовем ki-простой, если у нее нет нетривиальных ( 0 и A) ki-подгрупп. Ясно, что группа A с коммутативным кольцом E(A) является ki-простойв точности тогда, когда она имеет простой порядок. Несложно установить, что ki-простая группа является либо элементарной p-группой для некоторого простогочисла p, либо разложимой делимой группой без кручения.Если A = Zp⊕Z, то Z(A) = Zp⊕pZ. В данном случае Z(A) - максимальная под-группа в A. Покажем, что если в A нет прямых слагаемых, изоморфных Zp для ка-ждого простого числа p, то Z(A) не может быть максимальной подгруппой. Дейст-вительно, в противном случае A / Z(A) - группа простого порядка p, и так какpA  Z(A), то Ap  0. Из леммы 8 следует, что Ap - неразложимая группа. ПоэтомуA = Ap⊕B для некоторой подгруппы B. Так как Ap  Z(A), то Z(A) = Ap⊕(Z(A)B).Здесь |B / (Z(A)B)| = p, следовательно, |Ap| = p, что противоречит условию. Отме-тим, что A = Zp для вышеприведенной группы A = Zp⊕Z.Перейдем к редуцированным группам и приведем описание E-центров иE-коммутантов некоторых групп.1) Если A - неограниченная сепарабельная p-группа, то Z(A) = 0 и A = A.Допустим, что 0  a  Z(A). Тогда a можно вложить в прямое слагаемое Bгруппы A, являющееся ограниченной группой, A = B ⊕ G. Поскольку G - неогра-ниченная группа, то существует гомоморфизм f: B ЃЁ G со свойством f(a)  0, чтопротиворечит лемме 8, п. 3).Если a  A, то a содержится в прямом слагаемом B группы A, являющемся ог-раниченной группой, A = B⊕G. Поскольку G - неограниченная группа, тоHom (G,B)G = B. Согласно лемме 10, B  A.Отметим, что если A - редуцированная p-группа и A1  0, то возможен случай,когда Z(A)  0. Действительно, если A - редуцированная p-группа и подгруппа A1циклическая, то Z(A) = A1.2) Пусть A - ограниченная p-группа, A = B1 ⊕⊕ Bm, где Bi - прямые суммынекоторого числа копий группы ki ,pZ k1

Скачать электронную версию публикации