Left invariant contact metric structures on solvable lie groups ofdimension 5..pdf 1. Предварительные сведенияНапомним основные понятия о контактных многообразиях [1].Определение 1. Дифференцируемое (2n+1)-мерное многообразие M класса Cназывается контактным многообразием, если на нем задана дифференциальная1-форма ƒ, такая, чтоƒ(dƒ)n  0всюду на M2n+1.Форма ƒ называется контактной формой. Она определяет на многообразииM2n+1 распределение D = {XTM2n+1 | ƒ(X) = 0} размерности 2n, которое называет-ся контактным распределением. Кроме того, контактное многообразие M2n+1 име-ет всюду ненулевое векторное поле, обозначаемое ƒ, которое определяется сле-дующими свойствами: ƒ(ƒ) = 1 и dƒ(ƒ,X) = 0, для всех векторных полей X наM2n+1. Векторное поле ƒ определяет 1-мерное распределение, дополнительное к D.Векторное поле ƒ называется полем Риба, или характеристическим векторным по-лем контактной структуры.Определение 2. Если M2n+1 - контактное многообразие с контактной формойƒ, то контактной метрической структурой называется четверка (ƒ, ƒ, ƒ, g), где ƒ -поле Риба, g - риманова метрика и ϕ - аффинор на M2n+1, для которой имеют ме-сто следующие свойства:1) ϕ2 = -I + ƒ⊗ƒ,2) dƒ(X,Y) = g(X,ƒY),3) g(ƒX,ƒY) = g(X,Y) - ƒ(X)ƒ(Y),где I - тождественный эндоморфизм касательного расслоения.Риманова метрика g контактной метрической структуры называется ассоции-рованной. Из третьего свойства сразу следует, что ассоциированная метрика дляконтактной структуры ƒ полностью определяется аффинором ϕ:g(X,Y) = dƒ(ƒX,Y) + ƒ(X)ƒ(Y).Поэтому мы ассоциированные метрики будем задавать аффинором ϕ. Отметимтакже, что аффинор ϕ действует как почти комплексная структура на контактномраспределении D.Левоинвариантные контактные метрические структуры 57Контактная метрическая структура называется структурой Сасаки, если интег-рируема почти комплексная структура J, определенная формулой J(X, fd/dt) == (ƒX - fƒ, ƒ(X)d/dt), где X TM2n+1 и f - функция класса С на M2n+1R.На контактом многообразии определены следующими выражениями четыретензора [1] N(1), N(2), N(3), N(4):N(1)(X,Y) = [ƒ,ƒ](X,Y) + 2dƒ(X,Y)ƒ, N(2)(X,Y) = (LφXƒ)(Y) - (LφXƒ)(X),N(3)(X) = (Lƒϕ)X, N(4)(X) = (Lƒƒ)(X).Как известно [1], N(3) обращается в нуль, если и только если характеристиче-ское векторное поле ƒ является киллинговым относительно метрики g.Пусть (ƒ,ƒ,ƒ,g) - контактная метрическая структура на контактном многообра-зии M2n+1. Если характеристическое векторное поле ƒ порождает группу изомет-рий, то есть ƒ - векторное поле Киллинга относительно g, то такую контактнуюметрическую структуру называют K-контактной структурой [1].Замечание. Контактная метрическая структура является K-контактной, если итолько если Lƒϕ = N(3) = 0 [1].2. Пятимерные контактные группы ЛиЕсли в качестве многообразия рассматривается группа Ли G, то естественнорассматривать левоинвариантную контактную структуру. В этом случае контакт-ная форма ƒ, векторное поле Риба ƒ, аффинор ϕ и ассоциированная метрика g за-даются своими значениями в единице eG, т.е на алгебре Ли L(G). Тогда линей-ная форма ƒ на L(G), вектор ƒL(G), оператор ƒ на L(G) и скалярное произведениеg на L(G) образуют контактную метрическую структуру (ƒ,ƒ,ƒ,g) на алгебре ЛиL(G). Аналогично определяется симплектическая алгебра Ли. Если ƒ - левоинва-риантная симплектическая структура на группе Ли H, то значение 2-формы ƒ наалгебре Ли L(H) представляет кососимметричную 2-форму на L(H). Тогда пара(L(H), ƒ) называется симплектической алгеброй Ли.Левоинвариантные контактные структуры на группах Ли в настоящее времяактивно изучаются [2, 4]. Получены классификационные теоремы для групп Лималой размерности. В работе [2] дана классификация всех пятимерных контакт-ных групп Ли. Левоинвариантные контактные структуры на группах Ли могутбыть получены из левоинвариантных симплектических структур на группах Лименьшей размерности. Напомним два классических метода контактизации.Пусть (L(H), ƒ) - симплектическая алгебра Ли. Тогда пятимерная контактнаяалгебра Ли получается как центральное расширение L(H)ƒRƒ0 алгебры L(H) припомощи симплектической формы ƒ на L(H). Скобки Ли задаются следующим об-разом:[x,ƒ0]L(G) = 0 для любого xL(H), ƒ0Z(L(H)) = Rƒ0,[x,y]L(G) = [x,y]L(H) + ƒ(x,y)ƒ0 для любых x,yL(H).Другой метод контактизации применяется для симплектических алгебр Ли(L(H), ƒ), у которых 2-форма ƒ является точной, ƒ = dƒ. Тогда пятимерная кон-тактная алгебра Ли получается как прямое произведение L(H)⊕Re0. Контактнаяформа ƒ определяется следующим равенством: ƒ = ƒ +se0*, где параметр sR\{0}и e0*- ковектор, дуальный к e0. Это случай, когда контактная алгебра Ли (L(G),ƒ)содержит симплектическую подалгебру Ли (L(H),dƒ) коразмерности 1.58 Я.В. СлаволюбоваИзвестно [2], что среди всех неразрешимых пятимерных групп Ли контактны-ми являются только такие, у которых алгебра Ли является одной из следующих:1) разложимые: aff(R)⊕sl(2), aff(R)⊕so(3), 2) неразложимая: R2ρsl(2). В работе [5]построены контактные и контактные метрические структуры на данных алгебрахЛи и изучены их свойства.Показано, что алгебра Ли R2ƒsl(2) допускает K-контактную структуру Сасаки.В работе [6] построена К-контактная структура Сасаки на пятимерной группеГейзенберга.В работе [2] приведен полный список пятимерных разрешимых неразложимыхалгебр Ли. Он насчитывает 24 различные группы Ли. Представляет интерес изу-чение контактных метрических структур на пятимерных группах Ли этого списка.В данной работе рассматриваются контактные метрические структуры на однойиз неразложимых пятимерных групп Ли G14 классификационного списка [2]. Этагруппа интересна тем, что ее контактная структура не получается классическимиметодами контактизации.3. Контактные метрические структуры на группе Ли G14Рассмотрим алгебру Ли группы G14, которая определяется следующими ком-мутационными соотношениями:[e2, e3] = e1, [e1, e5] = e1, [e2, e5] = e2, [e3, e5] = e4.Контактная структура задается 1-формойƒ = e1*+se4*+ƒe2*+ƒe3*,где s  0; ƒ, ƒ - любые действительные числа. Алгебра Ли L(G14) группы Ли G14имеет одномерный центр Z(L(G14)) = Re4. Данная алгебра Ли разрешимая, не явля-ется нильпотентной. Первый производный идеал DL(G) = [L(G), L(G)] имеет базисe1, e2, e4. Второй производный идеал D2L(G) = [DL(G), DL(G)] = 0. Алгебра ЛиL(G14) интересна тем, что она не содержит симплектических подалгебр коразмер-ности 1 и не является центральным расширением какой-либо четырехмернойсимплектической подалгебры. Данная алгебра Ли L(G14) содержит две двумерныесимплектических подалгебры:L(H)1 = (R, ƒ = de1*), L(H)2 = (R, ƒ = de2*).Для задания контактной структуры на L(G14) используем построение трехмер-ной контактной алгебры Ли N из двумерной симплектической подалгебры ЛиL(H)1. Для алгебры Ли L(H)1 контактной формой на N, например, является 1-фор-ма ƒ = e1*+se4*, где s0, а для L(H)2 - форма ƒ = e2*+se4*, где s  0. За основу возь-мем первый случай.На двумерном дополнении алгебры N зададим двухпараметрическое семейство1-форм вида ƒe2*+ƒe3*, ƒ,ƒR. В результате контактная структура на всей пяти-мерной алгебре Ли L(G14) задается левоинвариантной 1-формой ƒ = e1*+se4*++ ƒe2*+ƒe3*, где s0, ƒ,ƒ - любые действительные числа (соответственно 1-формойƒ = e2*+se4*+ƒe1*+ƒe3*, где s0, ƒ, ƒR, в случае построения на основе алгебры ЛиL(H)2). Это легко видеть из условия ƒ(dƒ)2 = − 2se1*e2*e3*e4*e5*  0.Пусть ƒ = ƒ = 0, тогда ƒ = e1*+se4*. Дифференциал 1-формы ƒ имеет видdƒ =−e2*e3*−e1*e5*−se3*e5*. Поле Риба ƒ имеет вид ƒ = e4/s. Легко видеть, чтополе Риба ƒ лежит в центре алгебры Ли ƒZ(L(G14)). Контактное распределение Dпорождают следующие векторы: e2, e3, se2+e5, e1−e4/s.Левоинвариантные контактные метрические структуры 59Замечание. Любая 1-форма ƒ вида ƒ = ƒ1e1*+ ƒ2e2*+ ƒ3e3*+ ƒ4e4*+ ƒ5e5* являетсяконтактной, если ƒ1, ƒ4  0. Действительно, ƒ(dƒ)2 = −ƒ12ƒ4e1*e2*e3*e4*e5*0.Если мы выберем левоинвариантную риманову метрику g, относительно кото-рой базис e1,,e5 является ортонормированным, то мы не получим контактнуюметрическую структуру. Выберем другую левоинвариантную метрику g0 на G14,считая базисE1 = −e2, E2 = e3, E3 = se2+e5, E4 = e1−e4/s, E5 = e4/sортонормированным, и вычислим ее различные характеристики. Базис контактно-го распределения составляют следующие векторы: E1, E2, E3, E4. Скобки Ли име-ют вид: [E1, E2] = −E4−E5, [E1, E3] = E1, [E2, E3] = −sE4, [E3, E4] = −E4−E5. Структур-ные константы: 4 5 1 4 4 512 12 13 23 34 34С = −1,С = −1, С = 1,С = −s,С = −1,С = −1. Контактнаяформа ƒ и ее дифференциал dƒ в новом базисе принимают следующий вид:ƒ = E5*, dƒ = E1*E2*+E3*E4*. Очевидно, что поле Риба ƒ = E5.На контактной алгебре Ли можно определить аффинор ƒ, который обладаетсвойствами: ϕ2|D = −I, ϕƒ = 0 и ϕ2 = -I + ƒ⊗ƒ. Отметим, что такой аффинор задает-ся неоднозначно. Аффинор ƒ0 действует на базисных векторах E1, E2, E3, E4, E5следующим образом: ƒ0(E1) = E2, ƒ0(E2) = −E1, ƒ0(E3) = E4, ƒ0(E4) = −E3, ƒ0(E5) = 0.В результате получилась контактная метрическая структура (ƒ = E5*, ƒ = E5, ƒ0, g0).Теорема 1. Контактная метрическая структура (ƒ = E5*, ƒ = E5, ƒ0, g0) явля-ется K-контактной структурой, но не является структурой Сасаки при любомзначении параметра s  0. Ассоциированная метрика g0 имеет следующие харак-теристики: главные кривизны Риччи имеют значения: ƒ1=−5/2, ƒ2=−(s2/2+3),ƒ3=(−3+(s4+7s2+1)1/2)/2, ƒ4=−(3+(s4+7s2+1)1/2)/2, ƒ5=1; квадраты норм тензоров N(1),Риччи и Римана принимают значения: ||N(1)||2 = 8(s2+1); ||Riem||2 == (11s4+56s2+175)/4; ||Riс||2 = (3s4+26s2+85)/4. Скалярная кривизна имеет значениеS = −(s2+15)/2 и меняется в пределах от −15/2 до − .Секционные кривизны K{i,j} метрики g0 в направлении координатных площадокбазиса {Ei} имеют значенияK{1,2} = −3/2, K{1,3} = −1, K{1,4} = −3/4,K{2,3} = −3s2/4, K{2,4} = (s2 + 1)/4, K{3,4} = (s2 − 7)/4,K{1,5} = 1/4, K{2,5} = 1/4, K{3,5} = 1/4, K{4,5} = 1/4.Матрица оператора тензора Риччи в базисе {Ei}:2223 0 0 0230 1 0 02 250 0 02 2 230 0 2 02 20 0 0 0 1ss ss ss s⎛− ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠.Все вычисления проведены в системе Maple. Файлы с программами вычисле-ний можно найти на Web-сайте кафедры математического анализа КемГУ:http://www.math.kemsu.ru/faculty/kma/.60 Я.В. Славолюбова4. Ассоциированные пятимерные контактные группы ЛиКак уже отмечалось, для контактной формы ƒ аффинор ƒ определяет ассоции-рованную метрику g по формуле g(X,Y) = dƒ(ƒX,Y)+ƒ(X)ƒ(Y). Мы будем рассмат-ривать риманову метрику видаg(X,Y) = dƒ(ƒX,Y)+ƒ(X)ƒ(Y). (1)Зафиксируем метрику g0 = E1*2 + E2*2+ E3*2 + E4*2 + E5*2.Известно [3], что при выбранной ассоциированной метрике g0 и аффиноре ϕ0каждый новый аффинор ƒ задается эндоморфизмом P, который обладает следую-щими свойствами:1) P антикоммутирует с аффинором ϕ0, Pϕ0 = −ϕ0P;2) P симметричен относительно метрики g0, соответствующей ϕ0, то есть мат-рица Pϕ0− симметричная;3) I−P2 − невырожден.Тогдаϕ = ϕ0(I+P)(I−P)−1.Из свойств оператора P следует, что он имеет блочный видA BPB D⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠, гдеA, B, D − симметричные матрицы видаa bAb a⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠,u vBv u⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠,x yDy x⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠.Рассмотрим сначала несколько частных классов ассоциированных метрик, длякоторых аффинор ƒ задается матрицей P вида00BPB⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠,00APD⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠. Тогдаассоциированные метрики и контактные метрические структуры могут быть най-дены в явном виде и доступны для исследования.Случай 1. Пусть оператор P имеет вид00BPB⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠, гдеu vBv u⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠. Тогдааффинор ƒ определяется тем, что ƒ(E5) = 0, а на контактном распределении D онвычисляется на основе формулы ϕ|D = ϕ0|D(I+P)(I−P)−1 и задается матрицей( )( )2 22 22 2 2 22 20 1 2 21 0 2 211 2 2 0 12 2 1 0Du v v uu v u vu v v u u vu v u v⎛ + + − ⎞⎜ ⎟⎜− + + − − ⎟ϕ =− ⎜ ⎟− − ⎜ − + + ⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − − − + + ⎠. (2)Условие невырожденности det(I−P2) = (1−u2−v2)4  0 принимает вид u2+v2  1.Будем считать, что параметры u и v достаточно малые, сумма их квадратов мень-ше единицы. Соответствующая ассоциированная метрика определяется из (1).Получим выражение матрицы ассоциированной метрики в выбранном базисе{Ei}:gij = dƒik ϕjk+ƒiƒj.Нетрудно заметить, что компоненты метрического тензора g на контактномраспределении определяются равенством gij|D= (dƒ)ikϕjk.Левоинвариантные контактные метрические структуры 61В результате вычислений в системе Maple компоненты блока g|D ассоцииро-ванной метрики| 00 1g Dg⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠, соответствующей вышеприведенному аффиноруϕ (2), получились следующие:2 22 22 2 2 22 21 0 2 21 0 1 2 2|1 2 2 1 02 2 0 1Du v u vu v v ugu v u v u vv u u v⎛ + + ⎞⎜ ⎟⎜ + + − ⎟ =− − ⎜ + + ⎟⎜ ⎟⎝ − + + ⎠.Вычислены секционные кривизны K{i,j} в направлении координатных площа-док векторов базиса {Ei}.Случай 2. Пусть оператор P имеет вид00APD= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠, гдеa bAb a= ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠,x yDy x= ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠. Тогда аффинор ƒ, ассоциированная метрика g задаются матрицами( )( )( )( )2 22 2 2 22 22 2 2 22 22 2 2 22 22 2 2 22 ( 1 )0 01 11 20 01 12 ( 1 )0 01 11 20 01 1Db a ba b a ba b ba b a by x yx y x yx y yx y x y⎛ − − − + ⎞⎜ ⎟⎜ − − − − ⎟⎜ + + ⎟⎜ ⎟⎜ − − − − ⎟ ϕ =⎜ − − − + ⎟⎜ ⎟⎜ − − − − ⎟⎜ + + ⎟⎜ ⎟⎝ − − − − ⎠,( )( )( )( )2 22 2 2 22 22 2 2 22 22 2 2 22 22 2 2 21 20 01 12 10 01 11 20 01 12 10 01 1ij Da b ba b a bb a ba b a bgx y yx y x yy x yx y x y⎛ + + ⎞⎜ ⎟⎜ − − − − ⎟⎜ − + ⎟⎜ ⎟⎜ − − − − ⎟ = ⎜ ⎟ + +⎜ ⎟⎜ − − − − ⎟⎜ − + ⎟ ⎜ ⎟⎜ − − − − ⎟ ⎝ ⎠.Рассмотрим также отдельно два частных случая.Случай 2.1. Пусть оператор P имеет вид00 0AP= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠, гдеa bAb a= ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠. Тогдааффинор ƒ задается матрицей( )( )2 22 22 2 2 22 22 1 0 01 1 2 0 01 0 0 0 10 0 (1 ) 0Db b ab a ba b a ba b⎛ + − ⎞⎜ ⎟ϕ = − ⎜ − − + − ⎟− − ⎜ − − ⎟⎜ ⎟⎝ − − − ⎠.Условие невырожденности: det(I−P2) = (1−a2−b2)2  0, a2+b2  1, где параметрыa и b достаточно малые, сумма их квадратов меньше единицы.62 Я.В. СлаволюбоваАссоциированная метрика g задается матрицей следующего вида:( )( )2 22 22 2 2 22 21 2 0 01 2 1 0 01 0 0 1 00 0 0 1ij Db a bb b aga b a ba b⎛ + + ⎞⎜ ⎟⎜ + − ⎟ =− − ⎜ − − ⎟⎜ ⎟⎝ − − ⎠.Секционные кривизны K{i,j} в направлении координатных площадок векторовбазиса {Ei} принимают следующие значения:{ }2 21,2 23 6 2 32( 1)w w bKw− − += −−, { }2 21,3 23 1( 1)w w aKw− + += −−,{1,4}怒3怒4K = − , { } 1,3 2( 1)( 1)( 1)w b w bKw+ − − −= −−,{ }2 3 2 2 2 2 2 3 22,3 23 9 (4 9 ) 3 8 44( 1) ( 2 1)sw sw w b s s ab bKw w a− + − + + + −= −− − +,{ }2 22,4( 1) 2 14( 2 1)w s s aKw a− − + −= −− +, { }2 2 23,4( 7) 2 74( 1)w s s a sKw+ + + −= −−,где w = a2 + b2.Скалярная кривизна2 2 2 2 2 22( 15) (2 30) 4 2 152( 1)w s w s a b s a sSw− + + − − − −=−,где w = a2 + b2.Случай 2.2. Пусть оператор P имеет вид0 00PD⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠, гдеx yDy x⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠. Тогдааффинор ϕ задается матрицей( )( )2 22 22 2 2 22 20 1 0 01 (1 ) 0 0 01 0 0 2 10 0 ( 1 ) 2Dx yx yx y y y xy x y⎛ − − ⎞⎜ ⎟⎜− − − ⎟ϕ =− ⎜ ⎟− − ⎜ + − ⎟⎜ ⎟⎝ − + + − ⎠.Условие невырожденности: det(I − P2) = (1 − x2− y2)2  0, x2 + y2  1. Предполага-ем, что параметры x и y достаточно малые, сумма их квадратов меньше единицы.Ассоциированная метрика g задается следующей матрицей:2 22 22 2 2 22 21 0 0 01 0 1 0 01 0 0 (1 ) 20 0 2 (1 )Dx yx ygx y y x yy y x⎛ − − ⎞⎜ ⎟⎜ − − ⎟= ⎜ ⎟− − ⎜ + + ⎟⎜ ⎟⎝ + − ⎠.Секционные кривизны K{i,j} в направлении координатных площадок векторовбазиса {Ei} принимают следующие значения:{1,2}3( 1)2( 1)xKw−= −−, { }2 21,32 3 1( 1)( 2 1)w w yKw w x− + +=− + +, {1,4}3( 2 1)4( 1)w xKw− +=−,Левоинвариантные контактные метрические структуры 63{ }2 3 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 3 2 22,3 23 (6 3 ) ( 4 12 4 3 )8 6 4 8 3 44( 1) ( 2 1)s w w s x s w s y s x y sy xs s x s y s x s yKw w x⎛ + − − + − + + − +⎞⎜ ⎟⎝ + − − − + − ⎠ = −− + +,{ }2 2 2 2 2 2 2 22,4 2(1 ) (4 2 6 ) 4 4 2 14( 1)w s w sx x s ys sx s xKw− + − − + + − + −= −−,{ }2 2 2 2 2 2 2 23,4 2( 1) ( 4 8 6 6) 8 4 7 44( 1)w s w s x x s x s s y s xKw+ + − − + + + + − − −=−,где w = x2 + y2.Скалярная кривизна2 2 2 2 2 2 2 22( 11) ( 4 6 26 4) 15 4 26 42( 1)w s w s x s x s s y x s xSw− + − + + − + + − − −= −−,где w = x2 + y2.В общем случае для любой ассоциированной метрики видаg(X,Y) = dƒ(ƒX,Y) + ƒ(X)ƒ(Y)имеет местоТеорема 2. Любая контактная метрическая структура (ƒ = E5*, ƒ = E5, ƒ, g)является K-контактной, но не является структурой Сасаки при любом значениипараметра s  0 и при любых значениях параметров a, b, u, v, x, y.Все вычисления проведены в системе Maple. Файлы с программами вычисле-ний можно найти на Web-сайте кафедры математического анализа КемГУ:http://www.math.kemsu.ru/faculty/kma/. В этих файлах приведены также выражениядля тензоров Риччи ассоциированных метрик и другие характеристики ассоции-рованных метрик.Аналогичные формулировки теорем получены и для остальных пятимерныхразрешимых групп Ли классификационного списка [2].

Скачать электронную версию публикации