On abelian groups, in which all subgroups are ideals.pdf Описанию подгрупп абелевой группы A, являющихся идеалами в каждомкольце, заданном на A, посвящена статья [1]. Под кольцом подразумевается необязательно ассоциативное кольцо с 1, но умножение всегда считается дистрибу-тивным с двух сторон. Положим I(A) = 〈ƒA | ƒ  Hom(A, E(A)+)〉, т.е. I(A) - под-группа, порожденная всеми гомоморфными образами группы A в аддитивнуюгруппу E(A)+ кольца эндоморфизмов E(A) группы A. Несложно проверить, что I(A)- идеал кольца E(A) [1, лемма 1].Теорема 1 [1, теорема 1]. Подгруппа C группы A служит идеалом в каждомкольце на группе A тогда и только тогда, когда C является I(A)-допустимой под-группой, т.е. I(A)C  C.Результаты статьи [1] отражены в [2,  117]. Отметим также, что аддитивнымгруппам колец посвящена книга [3].В данной заметке рассматриваются абелевы группы A, все подгруппы которыхявляются идеалами в каждом кольце, заданном на A. Обозначим класс такихгрупп через M. Терминология и обозначения соответствуют [2]. Напомним, чтоподгруппа H группы A называется вполне инвариантной (или вполне характери-стической), если fH  H для каждого f  E(A). Через Z обозначается аддитивнаягруппа (а также кольцо) целых чисел, N - множество всех натуральных чисел.Напомним, что функция ƒ: AA  A называется умножением на группе A,еслиƒ(a,b+c) = ƒ(a,b)+ƒ(a,c) и ƒ(b+c,a) = ƒ(b,a)+ƒ(c,a) для всех a,b,c  A.Всякое кольцо на группе A задает некоторое умножение ƒ, а именноƒ(a,b) = ab, и это соответствие между кольцевыми структурами и умножениями нагруппе A биективно. Если ƒ и ƒ - умножения на группе A, то их сумма ƒ+ƒ опре-деляется по правилу(ƒ+ƒ)(a,b) = ƒ(a,b)+ƒ(a,b) для всех a,b  A.Относительно введенной операции сложения умножения на группе A образуютабелеву группу, группу умножений на A, Mult A. Всякая группа A может быть три-виальным образом снабжена кольцевой структурой, если все произведения ееэлементов положить равными 0. Такое кольцо называется нуль-кольцом. Нульгруппы Mult A - это умножение, соответствующее нуль-кольцу на A. Группа A на-зывается нильгруппой [2,  120], если на A не существует никаких колец, отлич-Об абелевых группах, все подгруппы которых являются идеалами 65ных от нуль-кольца, т.е. Mult A = 0. Всякая периодическая делимая группа являет-ся нильгруппой [2, теорема 120.3]. Всякая нильгруппа не содержит ненулевых де-лимых подгрупп без кручения.Непосредственно из теоремы 1 следует, что A  M в точности тогда, когда ка-ждая ее подгруппа I(A)-допустима. Ясно, что нильгруппы лежат в M. Посколькугруппа без кручения ранга 1 не является нильгруппой тогда и только тогда, когдаее тип идемпотентен [2, теорема 121.1], то все группы без кручения ранга 1 не-идемпотентного типа принадлежат M. Если pA = A для некоторого простого числаp и группа A  M имеет подгруппы H со свойством pωH =  n  N pnH = 0, то H со-держатся в аннуляторе всякого кольца на A. В частности, группа без крученияранга 1 идемпотентного типа принадлежит M тогда и только тогда, когда A ≅ Z.Ясно, что прямые слагаемые группы из M также принадлежат классу M. Из выше-сказанного следует, что группа из класса M не содержит ненулевых делимых под-групп без кручения; в частности, делимая группа принадлежит M тогда и толькотогда, когда она периодическая, а всякая группа без кручения из M является реду-цированной. Отметим еще, что для каждой группы A имеют место изоморфизмы:Mult A ≅ Hom(A⊗A, A) ≅ Hom(A,E(A)+) [2, теорема 118.1].Теорема 2. 1) Периодическая группа A  M тогда и только тогда, когда каждаяее p-компонента Ap является либо циклической группой, либо делимой группой.2) Группа без кручения A  M тогда и только тогда, когда она является либонильгруппой, либо изоморфна группе Z.3) Всякая смешанная группа не принадлежит классу M.Доказательство. Достаточность 1) и 2) очевидна.1) Ясно, что можно ограничится случаем p-группы A. Если A неделима, то вней найдется циклическое прямое слагаемое 〈a〉, являющееся аддитивной группойкольца kpZ для некоторого натурального k. Имеем A = 〈a〉⊕B. Определим кольцона A как сумму колец на 〈a〉 и нуль-кольца на B. Тогда для каждого 0  b  B име-ем a(a+b) = a2+ab = a ∉ 〈a+b〉, это доказывает необходимость 1).2) Допустим, что ab  0 для некоторых a,b  A. Так как A  M, то ab  〈a〉〈b〉.Следовательно, a и b - зависимые элементы в группе A. Если же 〈a〉〈c〉 = 0 длянекоторого 0  c  A, то a(a+c) = a2+ac = a2 ∉ 〈a+c〉. Это доказывает, что A - груп-па ранга 1. Согласно абзацу перед теоремой, A ≅ Z.3) Так же, как в 1), доказывается, что всякая p-компонента группы A не содер-жит циклических прямых слагаемых. Поэтому допустим, что периодическая частьT группы A является делимой группой, A = T⊕B. Как прямое слагаемое группы изкласса M группа B также принадлежит M. Поэтому по 2) либо B ≅ Z, либо B явля-ется нильгруппой. Если B ≅ Z, то b2 = b для некоторого 0  b  B. Определяякольцо на A как сумму нуль-кольца на T и кольца на B, изоморфного Z, для каж-дого 0  a  T получим b(a+b) = b ∉ 〈a+b〉. Допустим теперь, что B - нильгруппа.Поскольку для смешанной группы G всегда Hom(G⊗G, G)  0, то Mult G  0, т.е.всякая смешенная группа G не является нильгруппой [2, теорема 120.3]. Следова-тельно, для некоторых элементов t1,t2  T и b1,b2  B имеем(t1+b1)(t2+b2) = t1t2+t1b2+b1t2+b1b2  0. Здесь t1t2 = 0 (так как группа T делима), t1b2,b1t2  TB = 0, а b1b2  〈b1〉〈b2〉  B. Поэтому b1b2 = 0. Полученное противоречиезаканчивает доказательство.66 А.Р. ЧехловНапомним, что если t1,t2 - типы, содержащие характеристики ƒ1 = (k1,, kn,)и ƒ2 = (l1,, ln,) соответственно, то под произведением t1t2 понимается тип, со-держащий характеристику ƒ1ƒ2 = (k1+l1,, kn+ln,) (здесь  плюс нечто есть ).Частное ƒ1 : ƒ2 двух характеристик ƒ1,ƒ2, где ƒ1 ≥ ƒ2, определяют как наибольшуюхарактеристику ƒ со свойством ƒƒ2 ≤ ƒ1. Если теперь ƒ1  t1, ƒ2  t2 и ƒ1 ≥ ƒ2, то ча-стное типов t1 : t2 определяется как тип, содержащий характеристику ƒ1 : ƒ2. ЕслиA - сепарабельная группа без кручения, то через ƒ(A) обозначим множество типоввсех прямых слагаемых ранга 1 группы A. Если A = ƒ i  I Ai - векторная группа,где Ai - группы без кручения ранга 1, то положим ƒ(A) = {t(Ai) | i  I}. Приведемследующий результат.Теорема 3. 1) Сепарабельная группа без кручения A является нильгруппой то-гда и только тогда, когда t1t2 _ ƒ для любых t1,t2,ƒ  ƒ(A).2) Пусть A = ƒ i  I Ai - такая векторная группа, где Ai - группы без крученияранга 1, что для каждого i  I множество Ji = {j  I | t(Aj) ≤ t(Ai)} неизмеримо.Группа A является нильгруппой тогда и только тогда, когда t1t2 _ ƒ для любыхt1,t2,ƒ  ƒ(A).Доказательство. Воспользуемся изоморфизмом Mult A ≅ Hom(A⊗A, A) ≅≅ Hom(A,E(A)+) (см. абзац перед теоремой 2). Если A - группа из 1) или 2) с ука-занным свойством на ƒ(A), то t2  t для любого t  ƒ(A). Поэтому соответствую-щие подгруппы Ai ранга 1 являются нильгруппами, в частности всякая группа A в1) и 2) редуцированная.Пусть a  A⊗A, элемент a представим в виде конечной суммы a = ƒ(ai⊗bi), гдеai,bi  A. Если A - сепарабельная группа, то элементы ai и bi можно вложить впрямую сумму A1⊕⊕An групп ранга 1, являющуюся прямым слагаемым в A,A = (A1⊕⊕An)⊕B. ИмеемA⊗A ≅, 1( ( )) ni j i jA A=⊕ ⊗ ⊕ 1 ( ( ) ( )) ni iA B B B= ⊕ ⊗ ⊕ ⊗ .Переходя к изоморфной группе, считаем, что a , 1( ) ni j i jA A=⊕ ⊗ . Здесь каждаяAi⊗Aj является группой без кручения ранга 1 типа t(Ai)t(Aj). Из проведенных рас-суждений следует, что Hom(A⊗A, A) = 0 (и, значит, Mult A = 0) тогда и только то-гда, когда t(Ai)t(Aj) _ t(As) для любых (в том числе и одинаковых) прямых слагае-мых Ai, Aj, As ранга 1 группы A. Это доказывает 1).Пусть теперь A = ƒ i  I Ai - векторная группа. Имеем E(A)+ = Hom(A,A) ≅≅ ƒ i  I Hom(A,Ai) [2, теорема 43.2]. Запишем A в видеA =( )j Ji jA ƒ ⊕ \ ( )s I Ji sA Π , где Ji = {j  I | t(Aj) ≤ t(Ai)}.По лемме 96.1 из [2] Hom \ ( , )s I Ji s iA A Π = 0. Поэтому Hom(A,Ai) ≅≅ Hom( , )j Ji j iA A Π . А так как A - редуцированная группа, то все Ai - узкие груп-пы, следовательно, Hom( , )j Ji j iA A Π ≅jJi⊕ Hom(Aj,Ai) [2, следствие 94.5]. Здесьвсе Hom(Aj,Ai) - группы ранга 1 типа t(Ai) : t(Aj). Из вышесказанного следует, чтоE(A)+ можно рассматривать как подгруппу такой векторной группы G, чтоƒ(G) = {t(Ai) : t(Aj) | t(Ai) ≤ t(Aj) и i,j  I}. Поэтому вновь по лемме 96.1 из [2]Hom(A, E(A)+)  0 тогда и только тогда, когда t(As) ≤ t(Ai) : t(Aj) или, эквивалентно,t(As)t(Aj) ≤ t(Ai) для некоторых i,j,s  I. Это доказывает 2).

Скачать электронную версию публикации