On some topological properties of the ring of polynomials in CpCp(X).pdf Под пространствами в данной статье понимаются тихоновские (то есть вполнерегулярные T1) топологические пространства. Для пространства X через Cp(X)обозначается пространство непрерывных вещественнозначных функций, опреде-лённых на X, снабжённое топологией поточечной сходимости. Через CpCp(X) обо-значается пространство Cp(Cp(X)). Пространства вида Cp(X) являются топологиче-скими кольцами относительно обычных алгебраических операций над функция-ми. В кольце CpCp(X) бывает удобно выделять подкольцо 0 CpCp (X ) , состоящее изфункций, обращающихся в ноль на нулевом элементе 0X пространства Cp(X). Эле-менты C0pCp (X ) мы называем функционалами (на Cp(X)).Как известно [1, глава 0], пространство X канонически вкладывается в CpCp(X)(а следовательно, и в C0pCp (X ) ) как замкнутое подпространство. При этом точкиX образуют алгебраически независимую систему в CpCp(X) (тем более, в0 ( ) CpCp X ). Через Rp(X) обозначим алгебраическую оболочку X в кольце0 ( ) CpCp X , то есть его наименьшее подкольцо, содержащее X. Кольцо Rp(X) можноявно описать следующим образом.Определение. Пусть ƒ ¶ Xn - упорядоченный набор ( x1,, xn ) точек про-странства Х, £ = (£1,,£n ) - мультииндекс, отличный от нуля, где £k ¶ ¼ {0},k = 1,…,n. Обозначим через 11nx xn °£ = £ ⋅⋅ £ функционал, заданный правилом( ) 1 ( )( ) 1 nx xn °£ ϕ = ϕ £ ⋅⋅ϕ £ , где ϕ ¶ Cp(X). Многочленами будем называть все-возможные линейные комбинации функционалов вида °£ (называемых монома-ми). Множество {x1,…xn} назовём носителем монома °£ , а объединение носите-лей всех мономов, входящих в данный многочлен, - носителем этого многочлена.Многочлены образуют подкольцо в C0pCp (X ) , обозначаемое Rp(X).Замечание 1. Ясно, что если функция ϕ ¶ Cp(X) равна нулю во всех точках но-сителя многочлена p ¶ Rp(X), то p(ϕ) = 0.Предложение 1. Число Суслина Rp(X) счётно.Доказательство. В силу предложения 0.3.7. из [1], число Суслина простран-ства CpCp(X) счётно. Пространство C0pCp (X ) является непрерывным (и открытым)О некоторых топологических свойствах кольца многочленов 35образом пространства CpCp(X) при естественном отображении f ¨ f - f(0X),f ¶ CpCp(X). Поэтому число Суслина пространства 0 CpCp (X ) также счётно. Так какчисло Суслина не возрастает при переходе ко всюду плотному подпространству,то достаточно теперь показать, что Rp(X) всюду плотно в C0pCp (X ) .Пусть f ¶ C0pCp (X ) , ϕ1, ... ,ϕn ¶ Cp(X), f (ϕk) = rk. ПустьW = {g ¶ C0pCp (X ) : ⎪rk - g(ϕk)⎪ < ¦, k = 1, … n}- стандартная окрестность точки f. Не теряя общности, можно считать, чтоϕn = 0X, и, следовательно, rn = 0. Существует линейный непрерывный функционалu на Cp(X), различающий точки множества {ϕ1, ... ,ϕn}, то есть u(ϕk) = tk ƒ tj = u(ϕj)при k ƒ j. Заметим, что u(ϕn) = 0. Найдется далее числовой многочлен p(t), такой,что p(tk) = rk. Положив теперь g = p◦u, получим, что g(ϕk) = rk, и потому g ¶ W.С другой стороны, напрямую легко проверяется, что g - многочлен, то естьg ¶ Rp(X). Итак, Rp(X) всюду плотно в C0pCp (X ) . Лемма. Пусть f : X ¨ Y - непрерывная сюръекция, µ - (пре)калибр простран-ства X. Тогда µ - (пре)калибр пространства Y.Доказательство. Пусть {Ua : a ¶ A} - система непустых открытых подмно-жеств в Y, {Va : a ¶ A} - система их полных прообразов при отображении f, при-чём мощность индексного множества A равна µ. Пользуясь тем, что µ - прекалибрX, выберем центрированную подсистему {Va : a ¶ B º A} той же мощности (еслиµ - калибр X, то соответственно подсистему {Va : a ¶ B º A} той же мощности, снепустым пересечением). Легко убедиться, что система {Ua : a ¶ B} также цен-трированная (соответственно, имеет непустое пересечение), что означает, чтолемма доказана. Следствие 1. Если µ - (пре)калибр CpCp(X), то µ - (пре)калибрC0pCp (X ) .Предложение 2. Каждый несчётный регулярный кардинал является прекалиб-ром пространства Rp(X).Доказательство . Пусть µ - несчётный регулярный кардинал. Тогда, как из-вестно [1, следствие 0.3.14], µ является прекалибром пространства CpCp(X). Попредыдущему следствию, µ - прекалибрC0pCp (X ) . Но Rp(X) всюду плотно в0 ( ) CpCp X (см. доказательство предложения 1). Согласно предложению 0.3.9 из[1], некоторый кардинал является прекалибром для всюду плотного подпростран-ства тогда и только тогда, когда он является таковым для всего пространства. За-ключаем отсюда, что µ - прекалибр Rp(X). Предложение 3. Замыкание каждого открытого множества в Rp(X) являетсянуль-множеством некоторой непрерывной вещественной функции на Rp(X).Доказательство. По предложению 0.3.15. в [1],каково бы ни было множествоZ, замыкание каждого открытого множества в

Скачать электронную версию публикации