Quasi-noninvertible endomorphisms of abelian groups.pdf В последнее время абелевы группы изучаются вместе с их кольцами эндоморфизмов. Одной из главных задач при таком подходе является описание структуры кольца эндоморфизмов в терминах действия эндоморфизмов на группе. Примером таких проблем служат проблемы описания радикалов колец эндоморфизмов различных классов групп в терминах действия эндоморфизмов из радикалов на группе [1, проблемы 17, 18; 2]. В настоящей статье вводится понятие квазинеобратимого эндоморфизма абелевой группы без кручения и с его помощью исследуются кольца эндоморфизмов вполне разложимых и сепарабельных групп без кручения. В указанных случаях показано, что множество всех квазинеобратимых эндоморфизмов образует идеал кольца эндоморфизмов, который может быть определен в терминах действия эндоморфизмов на группе. Этот результат сделал возможным исследование фактор-кольца по идеалу квазинеобратимых эндоморфизмов. В заключительной части выявлены некоторые взаимосвязи введенного идеала и первичного и ниль-радикалов кольца эндоморфизмов, представленные в виде условий нильпотентности идеала квазинеобратимых эндоморфизмов.Все используемые обозначения и неопределяемые термины являются общепринятыми в теории абелевых групп и могут быть найдены в [3, 4]. Без дополнительных пояснений используются понятия типа и характеристики элементов групп без кручения и их свойства, изложенные в [4, § 85]. Знак включения « с »не исключает равенства. На протяжении всего текста все группы подразумеваются абелевыми и не имеющими кручения. Кольцо эндоморфизмов группы G обозначается E(G).Определение. Пусть G - абелева группа без кручения. Будем говорить, что эндоморфизм а е E(G) квазиобратим слева на элементе g eG, если найдется эндоморфизм ß e E(G) и натуральное число п е N , такие, что ßag = ng.Эндоморфизм a e E(G) назовем квазинеобратимым слева, если он не является квазиобратимым слева ни на одном элементе группы за исключением нуля. Иными словами, эндоморфизм a e E(G) квазинеобратим слева, если для произвольных g eG, ß е E(G) и п е N из равенства ßag = ng следует, что g = 0.Аналогично определяются квазинеобратимые справа эндоморфизмы.1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России». Госконтракт П937 от 20 августа 2009 года.14A.B. БудановНепосредственно из определения следует, что всякий эндоморфизм, являющийся умножением на рациональное число, отличное от нуля, будет квазиобра-тим слева на произвольном элементе группы. Нулевой эндоморфизм, очевидно, квазинеобратим.Отметим несколько простых свойств введенного понятия.1.Эндоморфизм a е E(G) квазинеобратим слева тогда и только тогда, когдадля любых ß e E(G) и п е N эндоморфизм п - Заявляется мономорфизмом.Доказательство. Непосредственно следует из определения.2.Эндоморфизм а е E(G) квазинеобратим слева тогда и только тогда, когда(E(G)ag)t, П (g)* = 0 для каждого g eG или, что равносильно, g

Скачать электронную версию публикации