Free n-periodic topological groups.pdf Понятия свободной топологической группы и свободной абелевой топологической группы произвольного тихоновского пространства X ввел A.A. Марков в [1]. В [2] A.B. Архангельский изложил простое доказательство существования таких групп. В статье [3] были введены понятия и доказано существование свободной и свободной абелевой и-периодических топологических групп произвольных отрезков ординалов. В данной работе такие группы определяются для произвольного тихоновского пространства X и доказывается их существование. При доказательстве используются идеи и рассуждения из работы [2].Определение. Пусть п>2- некоторое натуральное число. Группу G с единицей е будем называть и-периодической, если g" = е для каждого g e G.Несложно видеть, что класс всех и-периодических групп замкнут относительно переходов к подгруппам, переходов к фактор-группам и переходов к декартовым произведениям.Пусть п > 2 - некоторое фиксированное натуральное число и X - произвольноемножество. Словом будем называть формальное выражение вида х[х...х£ , гдех, е X и е,■ е {1,..., п - 1}, /' = 1,..., к. Пустой набор тоже будем называть словом. Слово будем называть несократимым, если в нем не встречается комбинаций вида (xj... xk )т, где х, е X, i = 1,...,кит>п. Рассмотрим два несократимых слова z\и z2 и образуем новое слово, в котором сначала идут все элементы первого слова (в их исходном порядке), а затем все элементы второго слова (также в их исходном порядке). В полученном слове произведем сокращения, последовательно вычеркивая комбинации (х1...хк)п, пока не получим несократимое слово, которое назовем произведением слов z\ и z2.Множество всех несократимых слов (включая пустое слово) с только что введенной операцией умножения образует группу, которую мы обозначим JF (X) и будем называть свободной п-периодической группой, порожденной множеством X.1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы», государственный контракт П937 от 20 августа 2009 г., а также при финансовой поддержке Федерального агентства по науке и инновациям России по контракту № 02.740.11.0238.24Л. В. Г визеЕдиницей в этой группе является пустое слово, а обратный элемент к x^...xzkk -это х1 е*...х" е'. Очевидно, что .FW(X) является и-периодической группой.Теорема 1. Для любого тихоновского пространства X существует «-периодическая топологическая группа F- (X), обладающая следующими свойствами: 1)Хгомеоморфно замкнутому подпространству bF^"\X);2))алгебраически Р-"'(Х) является свободной и-периодической группой, порожденной множеством X;3))если G - и-периодическая топологическая группа и/: X -> G - непрерывное отображение, то / можно продолжить до непрерывного гомоморфизма f:F[n](X)->G.Для доказательства этой теоремы нам потребуются две леммы.Лемма 1 [4]. Каждая топологическая группа G топологически изоморфна замкнутой подгруппе некоторой линейно связной топологической группы G.Доказательство. Рассмотрим множество G тех функций/ заданных на полуинтервале [0,1) со значениями в G, для которых существует последовательность 0 = t0< t\ < ... что 8(^["] (х)) = р["] (х) ■ Осталось nOKa-зать, что ядро гомоморфизма состоит из нейтрального элемента группы J-(X), т.е. что для любого непустого слова х^1 xz2... xzkk е J7*-"' (X) его образ 5^Xj 1x22...хкк ) отличен от единицы группы i^"](X). Рассмотрим на группе Т[п\Х)дискретную топологию. По лемме 1 найдется линейно связная топологическая группа G, содержащая замкнутую подгруппу, топологически изоморфную группе J- (X). Пусть XjElxz2...х"к Фе - элемент этой подгруппы, соответствующийx\xxz22 ...xzkk (e - единица группы G). По лемме 2 найдется такое непрерывноеотображение /: X ->■ G, что / (хг) = хг■, i = 1,..., к. Можно считать, что f=fs,t при некоторых seSi/e Ts. Но отображение 5 - это диагональ отображений fst. Следовательно, ё ^(5(xj))El (5(x2))e2...(5(xyfc))e* =5lxjeiX22 ...хекк I, где ё -единицав/^и](Х).Наконец, убедимся, что X - замкнутое подпространство в Р-"'(Х). Если X -компакт, то пространство X замкнуто в F^"\X), так как F^"\X) - хаусдорфово пространство. Пусть теперь Х- произвольное тихоновское пространство и сХ - некоторая его компактификация. По уже доказанному свойству 2) можно считать, что значит, F^"\cX) содержит F^"\X) в качестве алгебраической подгруппы. Пусть хс - топология на Р"\Х), индуцированная из Р-"\сХ). Так как сХ замкнуто в F^"\cX) иХ= сХ П F^"\X), тоXзамкнуто в (F^"\X), хс). Обозначим через т топологию на F^"\X), наследуемую из Y\ Gs t ■ По доказанному свойству 3)teTs,seSтождественное отображение ф :Х->Хс (Р- (X), хс) продолжается до непрерывного гомоморфизма (даже изоморфизма) ф:(^и](Х),т)-»(.Р[и](Х),тс). Но таккакХзамкнуто в (/^(Х), тс), то ф ~\Х) = X замкнуто в (/^(Х), т). ■Свободные п-периодичесиие топологичесиие группы27Определение. Группу Р-"\Х), существование которой доказано в теореме, будем называть свободной n-периодической топологической группой пространства X.Определим теперь свободные абелевы и-периодические группы тихоновских пространств.Напомним, что прямой суммой семейства абелевых групп {As }sgS называетсяподмножество в декартовом произведении Y\AS , состоящее из таких элементовsgS{as}SES> У которых as 5± 0 лишь для конечного числа индексов s e S.Пусть п > 2 - некоторое фиксированное натуральное число и X - произвольное множество. Свободной абелевой п-периодической группой, порожденной множеством X, будем называть прямую сумму семейства групп \Z*\ , где Z* изоморфна Zn (аддитивной группе классов вычетов по модулю п) для каждого х е X Обозначим эту группу А (X). Очевидно, что А (X) является и-периодической группой. Элементы группы А (X) можно представлять себе так: это формальные конечные линейные комбинации otjXj +... + akxk элементов множествах с коэффициентами из Zn , причем две такие линейные комбинации равны тогда и толькотогда, когда они отличаются, самое большее, порядком слагаемых. Сложение линейных комбинаций проводится формально, путем сложения коэффициентов при одинаковых элементах х, и приведения их по модулю п.Теорема 2. Для любого тихоновского пространства X существует абелева и-периодическая топологическая группа^ (X), обладающая следующими свойствами:1)Хгомеоморфно замкнутому подпространству вА["\Х);2))алгебраически ^4W(X) является свободной абелевой w-периодической группой, порожденной множеством X;3))если G - абелева w-периодическая топологическая группа и/:Х^ G - непрерывное отображение, то/можно продолжить до непрерывного гомоморфизма f:A[n](X)->G.Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.Определение. Группу А^"\Х), существование которой доказано в теореме, будем называть свободной абелевой п-периодической топологической группой пространства X.

Скачать электронную версию публикации