On a property of the endomorphism ring of an abelian group.pdf В монографии [1] поставлена проблема 15: «Свести исследование смешанных групп с нётеровыми справа, полупервичными или коммутативными кольцами эндоморфизмов к исследованию групп без кручения с соответствующими кольцами эндоморфизмов». В этой статье данная задача решается для групп с коммутативным кольцом эндоморфизмов из некоторого класса К. Заметим, что периодические, расщепляемые и некоторый класс смешанных групп, имеющих коммутативное кольцо эндоморфизмов, описаны в [2]. В [3] найдены некоторые необходимые и достаточные условия коммутативности кольца эндоморфизмов произвольной смешанной абелевой группы. Все группы, рассматриваемые здесь, являются абелевыми.Введем некоторые обозначения: Е(А) - кольцо эндоморфизмов группы А; Т (А) - /»-компонента периодической части группы A; Q - группа рациональныхчисел; Z(px) - квазициклическая группа; Q - группа всех рациональных чисел со знаменателем, взаимно простым с р; J - группа целых /»-адических чисел; Q - кольцо целых /»-адических чисел; Z(m) - циклическая группа порядка да; < а > - циклическая группа, порожденная элементом а; о (а) - порядок элемента а; h (а) - высота элемента а в группе A; Zm - кольцо вычетов по модулю да;(да,и) - наибольший общий делитель натуральных чисел да и п; Р - множествовсех простых чисел. Все понятия и обозначения, которые не поясняются, являются стандартными, их можно найти, например, в [1, 4 или 5].Рассмотрим, предварительно, следующий простой факт, который будем использовать в дальнейшем.Напомним, что матрица (а г) с элементами из кольца Е(А), называется сходящейся по столбцам, если для каждого столбца /' сумма 2ап существует в ко-j нечной топологии кольца Е(А) [5, гл. XV, §106, §107].Лемма 1. Пусть группа А разлагается в прямую сумму своих подгрупп, то есть А = ©Д. Кольцо Е(А) коммутативно тогда и только тогда, когда коль-цо E(Ai) коммутативно и подгруппа Ai является вполне характеристической для любого i e I.Об одном свойстве кольца эндоморфизмов абелевой группы39Доказательство. Так как А = 0Д, т0 кольцо Е(А) изоморфно кольцу всехсходящихся по столбцам 1x1 -матриц (а -г-) ■ ге/, где а -г- е Hom{Ai, Aj) [5, гл. XV,§106, теорема 106.1].Пусть Е(А) - коммутативное кольцо, тогда Hom(Ai,A-) = 0 и E(Ai) - коммутативное кольцо для любых /', j e I. Вполне характеристичность подгруппы Д;, /' е /, вытекает из [1, гл. 3, §19, лемма 19.1].Обратное утверждение следует из условия и [5, гл. XV, § 106, упр. 4 а)].Для группы G, такой, что T(G) Ф 0, будем рассматривать множество71(G) = {peP\Tp(G)*0}.Следующая лемма, доказанная в [6], будет полезна в дальнейшем.Лемма 2. Пусть А - делимая группа. Кольцо Е(А) является коммутативным тогда и только тогда, когда А = Q или А= 0 Z(px).реп(А)В нижеприведённом утверждении даётся описание нередуцированных групп с коммутативным кольцом эндоморфизмов.Предложение 3. Пусть G = А@В - нередуцированная группа, где А - редуцированная, а В - делимая группы. Кольцо E(G) является коммутативным тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:1)5 = ß либо 5=0 Z(^°°);реп(В)кк2)если АфО, то А= (J) Z(p р), причём если А= (J) Z(pp) иpGTl(A)pGTl(A)В= 0 Z(px), то п(А)[У(В) = 0.реп(В)Доказательство. Так как G - нередуцированная группа, то она содержит ненулевую делимую часть. Пусть E(G) - коммутативное кольцо. Тогда, как следует из леммы 2, B = Q или В= 0 Z(px).реп(В)Пусть АфО. Покажем, что А является периодической группой. Допустим противное, то есть пусть существует элемент а еА , такой, что о(а) = оо. Рассмотрим произвольный элемент 0 Ф Ъ е В. Так как о(а) = оо, то Нот((а), {Ь}) = ф) и, следовательно, существует 0 ф ср е Нот{{а), ф)). Пусть /': (а) ->■ А и j :(b) ->■ В, где /', j - вложения. Так как В - делимая, а значит, инъективная группа, то существует гомоморфизм v|/: А ->■ В , такой, что ц/i = yep. Поскольку yep Ф 0, то v|/ Ф 0. Гомоморфизм v|/ легко продолжается до ненулевого эндоморфизма группыG. Следовательно, А - не вполне характеристическая подгруппа, что противоречит утверждению леммы 1. Таким образом, А - периодическая редуцированнаякгруппа. По лемме 1 кольцо Е(А) коммутативно, тогда А = 0 Z(p р) [1, гл. 3,реп(А)§ 19, следствие 19.3].40В.М. МисяиовкПусть А= 0 Z(p р) и В = 0 Z(pß), тогда из [7, теорема 1] следует,pGTl(A)pGTl(B)что п(А)[У(В) = 0.Обратно, если А = 0, то коммутативность кольца E(G) следует из леммы 2.Пусть А= 0 Z(/^) и 5 = ß. Поскольку Hom(Z(pkp),Q) = 0,реп(А)Hom(Q,Z(p р)) = 0 и Hom(Z(p p),Z(q q)) = 0 при p^q, то подгруппы Z(/> ^) и ß являются вполне характеристическими в группе G. Так как E(Q) = g[5, гл. XV, § 106, пример 4] и E(Z(p р)) = Z к [1, гл. 1, § 3, пример 3.2] - ком-мутативные кольца, то по лемме 1 следует коммутативность кольца E(G).Пусть А= 0 Z(pp) и В= 0 Z(/°), причём 7r(v4)P|7r(5) = 0. ТогдаpGTl(A)pGTl(B)кдля каждого pen(G) следует, что либо Tp(G) = Z(pp), либо T(G) = Z(pX}). Поскольку в обоих случаях кольцо Е(Т (G)) коммутативно и Т'(G) - вполне характеристическая подгруппа в группе G для каждого р е n(G), то по лемме 1 кольцо E(G) коммутативно.Определение 1. Будем говорить, что смешанная редуцированная группа G удовлетворяет условию конечности, если она не содержит ненулевые элементы, у которых р-высотаравна бесконечности для всех р е n(G).Определение 2. Будем называть смешанную редуцированную группу G с бесконечным числом ненулевых р-компонент psp-группой, если естественное вложение 0 Т (G) ->■ G продолжается до р-чистого вложения G ->■ TT T(G).pen(G)pen(G)Таким образом, если G - psp-rpyima, то, отождествляя группу G с её образом при таком вложении, можно считать, что 0 Т (G) cGc TT Т (G),где Gр-pen(G)pen.(G)чиста в TT TAG) для всех pen(G). Заметим также, что понятие/»-чистотыpen(G)(чистоты) эквивалентно здесь понятию /»-сервантности (сервантности) подгруппы в группе.Определение 3. Будем говорить, что смешанная редуцированная группа G принадлежит классу К, если выполняются следующие условия:1))G = T (G)@E для любого pen(G);2))существует семейство дополнений iE } группы G, удовлетворяющее условию: если В = Р| Е Ф 0, то существует В-высокая подгруппа А группы G,pen(G)содержащая T(G), причём для любого простого числа q, такого, что qB Ф В, следует, что qA = А..Об одном свойстве кольца эндоморфизмов абелевой группы41Замечание 1. Пусть G - редуцированная смешанная группа, причём для каждого р е 7i(G) следует, что G = Tp (G)@E^, рЕр = Ер и Р| Ер = О, тогда Gpen(G)удовлетворяет условию конечности. Действительно, пусть существует элемент О Ф g е G, такой, что h(g) = со для любого pen(G). Так как g - ненулевойэлемент, то g ■ Т (G), композиция которого с каноническим Е ->■ Е /рЕ была бы ненулевым гомоморфизмом из Е в Т (G). Поскольку ненулевой гомоморфизм из Ер в Т (G) продолжается до эндоморфизма всей группы G, то получим противоречие с вполне характеристичностью подгруппы Е . Таким образом, рЕр = Ер для каждого р е n(G). Следова-42В.М. Мисяиовтельно, рВ = В для всякого pen(G), где В= Р| Е . Причем, если ВФО, тоpen(G)В - группа без кручения.Если Р| Е = О, то группа G удовлетворяет условиям конечности (см. за-pen(G)мечание 1) и является /wp-группой [1, гл. 3, § 19, теорема 19.4]. Следовательно, условие 1) выполнилось.Пусть Р| Е ФО. Так как G еК, то существует 5-высокая подгруппа Аpen(G)группы G, содержащая T(G), причём для любого простого числа q, такого, что qB ф В, следует, что qA = А..Покажем, что G = AQ)B. Предварительно заметим, что если qB Ф В, то В - q-чистая подгруппа в G. Действительно, пусть qB Ф В и в G разрешимо уравнение q х = Ъ е В, то есть существует g e G, такое, что q g = b. Так как g eG = Tp (G)(£)Ep для всякого р е n(G), то g = gp + ер для всякого р е n(G),где gpeTp(G) и ереЕр. Тогда qlgp =b-qlep е Tp(G)f)Ep = 0 для каждого р е 7i(G). Следовательно, Ъ = q е для каждого р е n(G). Пусть b = q e и Ъ = q es для произвольных p,s e n(G). Тогда q (e -es) = 0. Так как qB Ф В, то q■ А - проекция, тогда па(Ь) = аеА. Поскольку а Ф 0 и А - редуцированная группа, то существует простое число р, такое, что h (а) < оо. Так как G еК, то из того, что рА ф А, следует, что рВ = В, то естьh (Ь) = оо. Таким образом, эндоморфизм па е E(G) понизил/»-высоту элемента Ъв группе G, что невозможно, то есть В - вполне характеристическая подгруппа в G Рассмотрим подгруппу А и допустим, что существуют d еА и ß e E(G), такие, что ß(d)£A. Тогда ß(d) = а+Ь, где аеА и be В, причём ЬФО. Пусть л: G ->■ В - проекция, тогда (Ttß)(

Скачать электронную версию публикации