The special difference schemes for numerical solution of ordinary differentialequation with the alternating-sign coefficient.pdf Решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения(ОДУ) I порядка на отдельных участках области интегрирования может иметь не-устойчивый или устойчивый по начальным данным характер [1-4].Как известно [1-6], для дифференциального уравнения вида u' = f(t, u) устой-чивому по начальным данным решению отвечают отрицательные значения яко-биана J = fu(t, u), неустойчивому - положительные значения. Несмотря на то, чтопредметом численного анализа традиционно являются устойчивые задачи, подоб-ные уравнения, связанные с локальным ростом решения на отдельных участкахобласти интегрирования, могут возникать при описании процессов в механике,химической кинетике, биологии и других приложениях [1, 4].В указанных условиях классические численные методы интегрирования, на-пример явная и неявная схемы Эйлера и схемы более высокого порядка, при от-носительно грубом шаге интегрирования не могут быть использованы напрямую.Смена знака якобиана J и, тем самым, характера решения уравнения требует из-менения вычислительной технологии, что является неудобным обстоятельством,так как расчет ОДУ обычно представляет собой малую часть в общей структуреалгоритма решения прикладной задачи, описываемой, например, нестационарны-ми пространственными уравнениями математической физики. С практическойточки зрения желательно, чтобы численные методы могли использовать грубыйшаг интегрирования, обладали независимой от знака коэффициентов вычисли-тельной технологией и с приемлемой точностью могли обеспечивать решение вовсей области определения уравнения.6 В.Г. ЗверевЦель работы - в развитие исследований [7, 8] разработать специальные разно-стные схемы I и II порядка точности для сквозного расчета задачи Коши для ли-нейного неоднородного ОДУ первого порядка со знакопеременным коэффициен-том при искомой функции.Математическая постановка задачиРассмотрим линейную задачу Коши для ОДУ I порядка следующего вида:( ) ( ) ( ) ( ), (0) 0 , 0, [0, ] Lu x du a x u x f x u u x x Xdx— § + = = > ¶ , (1)где § >0 - параметр из (0, 1]; a(x), f(x) - гладкие функции; a(x) может менять знакна (0, X), причем области знакопостоянства a(x) известны. При a(x) > 0 имеем ус-тойчивую, при a(x)< 0 - неустойчивую по начальным данным ветвь решения[2, 4].Для иллюстрации рассмотрим пример [4], имеющий точное решение (рис. 1):u‰ +10(x −1)u = 0, u(0) = C exp(−5), x¶[0,2] , (2)u(x) = C exp(−5(x −1)2 ) . (3)54312u x ( )x86420 0.5 1.0 1.5Рис. 1. Точное решение уравнения (2) с областямиустойчивости (1< x 1, J < 0, кривые сближаются, и имеет место об-ласть устойчивого решения.Рассмотрим численное решение уравнения (1). На отрезке [0, X] определимпроизвольную сетку так, чтобы точки смены знака a(x) совпадали с узлами сетки{xi}, i = 0, 1,, N; x0 = 0, xN = X; hi = (xi+1 − xi ) > 0.Выделим класс наиболее простых в реализации и применении одношаговыхразностных схем. Для интегрирования (1) при a(x) < 0 и любом шаге hi можно ис-Специальные разностные схемы для решения обыкновенного дифференциального уравнения 7пользовать явную схему Эйлера I порядка [1-6]:1 1ui 1 ui (1 aihi ) hi fi − −+ = −§ +§ , (4)где ui, ui+1 - известное и искомое значение u(x) на i и i+1 слоях по аргументу x.При смене знака a(x) > 0 и некотором значении i∗ может измениться знак множи-теля (1 1ai hi ) ∗ ∗− §− , что ведет к осцилляциям решения [1]. Для его сохранения не-обходимо использовать неявную схему Эйлера I порядка:1 1ui 1 (ui hi fi 1) /(1 ai 1hi ) − −+ = + § + + § + , (5)которая будет обладать устойчивостью для любого hi, так как (1 + §−1ai+1hi) > 1 [1].Однако она не годится в случае a(x) < 0. Таким образом, каждая из схем напря-мую не подходит для сквозного расчета.На рис. 2 показано численное решение задачи при С = 1 по явной (4) и неявной(5) схемам Эйлера при постоянном шаге интегрирования h = 0,5 (a), h = 0,2 (b),h = 0,1 (c). Видно, что обе схемы (кривые 2 и 3) при грубом шаге теряют качествои подвержены осцилляциям (рис. 2, a, b). Кроме того, для неявной схемы на вос-ходящей ветви решения имеет место вычислительная неустойчивость (кривая 3,рис. 2, с, u(1) = 18,6). Для обеих схем в силу I порядка характерна большая по-грешность, поэтому требуется применение более мелкого шага, причем предпоч-тительнее вначале (0 < x < 1) выглядит явная схема (кривая 2 рис. 2, d).d32,41,566 c43 21,5x0,80,400 0,5 1,0 1,5b6432a 1,56432u(x)x1 5 ,0,80,40,0-0,20 0,5 1,0 1,5u x ( )x0,80,400 0,5 1,0 1,5u(x)x0,80,40,0-0,20 0,5 1,0 1,5u x ( )Рис. 2. Численное решение уравнения (2) при C = 1: a - h = 0,5; b - h = 0,2; c - h = 0,1; d -h = 0,025. Кр. 1 - точное решение; 2 (†) - явная; 3 () - неявная схема Эйлера; 4 - специ-альная схема (12) I порядка; 5 (±), 6 - специальная схема (15) и ее аппроксимация (27)II порядка8 В.Г. ЗверевТаким образом, необходимость проведения сквозного расчета задачи Кошидля ОДУ (1) со знакопеременным коэффициентом требует модификации записиклассической схемы и разработки схем повышенного порядка для обеспеченияточности решения на произвольных сетках.Специальная разностная схема I порядкаТочное решение задачи Коши (1) на сеточном интервале x¶[xi, xi+1] имеет сле-дующее интегральное представление [9]:( ) ( ) exp[ ( )] 1 ( ) exp[ 1 ( ) ] , ( ) 1 ( )i ix x xix xu x u x A x − f − a d d A x − a d°= − +§ ´ ° −§ ´ © © ° = § ´ ° ° . (6)Оно не накладывает каких-либо ограничений на знак коэффициента a(x).Функция exp[−A(x)] > 0 для ex, поэтому ее аппроксимация не должна допускатьсмены знака при любых значениях сеточных параметров. Эти особенности долж-ны прослеживаться и в разностном аналоге (6).В схеме Эйлера используются кусочно-постоянные коэффициенты: a = ai ,f = fi для явной (4) и a = ai+1, f = fi+1 - для неявной схемы (5). При этих усло-виях (6) легко интегрируется и позволяет получить распределение u(x) на сеточ-ном интервале:( ) ( i ) exp[ 1 ( i )] {1 exp[ 1 ( i )]}u x u x a x x f a x xa= −§− − + − −§− − . (7)Полагая в (7) x = xi+1, получим разностное выражение для вычисления искомо-го ui+1:1 { } 11exp( ) 1 exp( ) , i i i iu u z h f z z ahz− −+− −= − +§ =§ . (8)Здесь z - сеточный параметр. Видно, что (8) справедливо для любого знака z (оп-ределяется знаком a ). Следует отметить, что для устойчивой задачи (z > 0) реше-ние (8) в [10, 11] положено в основу равномерной по параметру § разностной схе-мы I порядка.Явная схема Эйлера (4) следует из (8) при традиционном разложении экспо-ненты:, , exp( ) 1 , 1 a ai f fi zi zi zi aihi = = − ≈ − =§− . (9)При zi < 0 (ai < 0) имеем exp(−zi) ≈ 1 + |zi|. При больших zi > 1 (ai > 0, жесткийслучай, малые §) данная аппроксимация непригодна из-за смены знака выражения(9).Неявная схема Эйлера (5) вытекает из (8) при следующем приближении экс-поненты:1a ai 1, f fi 1 , exp( zi 1) 1/(1 zi 1), zi 1 ai 1hi −= + = + − + ≈ + + + =§ + . (10)Это дает асимптотику редуцированной части задачи (1) ui+1 = fi+1/ai+1 приz  †, однако не подходит при z 1, тем хуже воспроизводится функцияe(z) = exp(-z), рис. 3. Поэтому для повышения точности численных результатовпри грубых шагах интегрирования требуется применение других аппроксимаций.ze z ( )e(z) e1321-2 -1 0 1 2e2e1'e1 e2Рис. 3. Сеточная функция e(z) = exp(−z) и ее аппроксимации I и II порядков.e1' = 1-z; e1 = 1/(1+z); e2 = [1+|z|+|z|2/2]−sign(z)10 В.Г. ЗверевСпециальная разностная схема II порядкаРассмотрим интегральное решение (6) уравнения (1) и выделим случайa(x) ƒ 0 . Используем подход [8], основанный на применении асимптотическогометода Лапласа [12-14] для вычисления интегралов с экспоненциальной функци-ей. Применяя к (6) интегрирование по частям, получим1( ) ( ) ( ) ( ) exp[ ( )] exp[ ( )]( ) ( )( ) exp ( ) .( )iiiix xxf x f x u x u x A x A xa x a xf a d da−°= − + − − −⎡ ° ⎤‰ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎢−§ © ©⎥ ° ⎣ ° ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦´ ´(13)Следует заметить, что при кусочно-постоянных a, f интеграл в (13) равняет-ся нулю и сразу следуют выражения (7), (8). Возьмем в подынтегральном выра-жении сомножитель [f(°)/a(°)]‰/a(°) в средней точке 0.5(xi + x) и точно вычислимоставшуюся часть интеграла с экспонентой. В результате получим приближеннуюзависимость u(x) на сеточном интервале:( )1( ) ( ) ( ) ( ) exp[ ( )] exp[ ( )]( ) ( )( ) ( ) 1 exp[ ( )] .( ) ( ) ( )iiiii if x f x u x u x A x A xa x a xf x f x A xa x a x − a x x= − + − − −⎪⎧⎡ ⎤ − − ⎪⎫ − ⎨⎢ − ⎥ ⎬⎩⎪⎣ ⎦ § − ⎪⎭(14)Положим в (14) x = xi+1 и вычислим A(xi+1) по формуле трапеций, которая точнадля линейной функции a(x):11 1( 1) ( ) , ( 1) / 2iixi i i ixA x a d ah a a a+− −+ = § ´ © © ≈ § = + + .В результате получим специальную одношаговую схему:1 111[1 ( )] [ ( ) ] , ( ) (1 ) ,zz i i zi i ii if f e u ue z z e z z aha a z−− + − −++⎧ ⎫ −= + ⎨ −¤ + ¤ − ⎬ ¤ = = §⎩ ⎭. (15)Здесь ¤(z) - сеточная функция [7]. Схема (15) для устойчивой жесткой задачи(z¨†, §¨0) рассматривалась в [8]. Она также не имеет ограничений на знак ко-эффициента a . Вводя сеточные функции °(z), ©(z) [7, 8], (15) можно переписать вдругом виде:111( ) i ( ) i ( )i ii if fu uez z z za a+++⎧ ⎫= + ⎨ ° + © ⎬⎩ ⎭. (16)2 2( ) , ( ) 1 ( ) [ 1] , ( ) ( ) [1 ( 1)]z z ze z e z z z e z z z e e zz z z z− − −− − ¤ + − ¤ − − += ° = = © = = .Вид функций e(z), ¤(z), °(z), ©(z) и их аппроксимаций показан на рис. 3-5.Случай a(x) = 0 и переход a(x) через ноль требуют отдельного рассмотрения.Запишем решение (6) для ui+1 на сеточном шаге в окрестности нуля a(x) в сле-дующем виде:111 exp[ ( 1)] exp[ ( 1)] ( ) exp[ ( )]iixi i i ixu u A x A x f A d+−+ = − + + § − + ´ ° ° ° . (17)Специальные разностные схемы для решения обыкновенного дифференциального уравнения 11¤2¤(z)z¤(z) 321-2 0 2 4Рис. 4. Сеточная функция ¤(z) = [1 − exp(−z)]/z и ее аппроксимация II порядка.¤2 = [1 - e2(z)]/z°2©2°(z), ©(z)°(z)©(z)1.51.00.5-2 0 2 4 z°2 °( ) z©2Рис. 5. Сеточные функции °(z), ©(z) и их аппроксимации (°2, ©2) II порядка.°2 = [e2(z) + z - 1]/z2; ©2 = ¤2 - °2.При ai = 0, ai+1 = 0 из (17) со II порядком следует1 [ ]ui 1 ui fi 1/ 2hi , fi 1/ 2 fi 1 fi / 2 −+ = + § + + = + + . (18)Рассмотрим случай ai = 0, ai+1  0. Коэффициент a(x) можно хорошо прибли-зить линейной функциейa(x) = k(x − xi ), k = ai+1 / hi , x¶[xi , xi+1] .Подставляя a(x) в (17), получим11 22111exp( ) exp( ) ( ) exp ( ) / ,.2iixi i i ixi iu u z z f z x h da hz+−+−+= − + § − ° ⎡⎣ ° − ⎤⎦ °§=´(19)12 В.Г. ЗверевВыделим знак z = sign(z)|z|, возьмем f(°) в средней точке, преобразуем (19) квиду1 | |1/ 2 210exp[ sign( ) | |]exp[ sign( ) | |] exp[sign( ) ]| |zi ii if h z zu u z z zy dyz−++§ −= − + ´ . (20)Отсюда, при z >0 (ai =0, ai+1 > 0) следует1 21 1/ 20exp( ) ( ), ( ) exp( )zyi i i iu u z f h J z J z z e dyz−+ +−= − +§ = ´ , (21)где J(z) выражается через интеграл Досона 2 20( ) exp( ) exp( )xD x = −x ´ t dt [15]. Длярастущей ветви решения при z < 0 (ai = 0, ai+1 < 0) (20) принимает вид211 1/ 2| |0exp(| |) ( ),( ) exp(| |) exp(| |) erf ( ).2i i i izyu u z f hGzG z z e dy z zz z−+ +−= +§²= ´ =(22)Здесь 20erf ( ) 2 exp( )xx = −t dt² ´ - интеграл вероятностей [15].Рассмотрим другой случай приближения коэффициента a(x) к нулю, когдаai  0, ai+1 =0. Запишем a(x) на сеточном интервале в видеa(x) = ai (1− (x − xi ) / hi ), x¶[xi , xi+1] .Подставим a(x) в (17), возьмем f(°) в средней точке, выделим знак z = sign(z)|z|.В результате получим1 | |1/ 2 2 110exp[ sign( ) | |] exp[ sign( ) ] , / 2| |zi ii i i if hu u z z zy dy z ahz−+ −+§= − + ´ − = § .Отсюда, при z >0 (ai > 0, ai+1 = 0) следует разностное выражение1 21 1/ 20exp[ ] ( ), ( ) 1 exp[ ] erf ( )2zi i i iu u z f h K z K z y dy zz z−+ +²= − + § = ´ − = . (23)В другом случае при z 0 преобладающим является весовой множитель у источника на i+1 слое. Приотрицательных z ¨ −† функции °(z) ~exp(|z|)/z2, ©(z) ~ exp(|z|)/|z| и решение (16)имеет экспоненциальный рост ui+1 ~ (ui - fi /ai)exp(|z|). Из этого следует, что в не-однородной задаче доминирует множитель при источнике на i-м слое.При |z| ¨0 (a  0, h/§¨0), °(z) ¨ 1/2, ©(z) ¨ 1/2 и схема (16) принимает вид,аналогичный формуле трапеций:112 1i ii ii iz f f u ua a+++⎡ ⎤= + ⎢ + ⎥⎣ ⎦.В точке перехода коэффициента a(x) через ноль при |z| ¨0 (h/§¨0) выражения(21) - (24) стремятся к1ui 1 ui fi 1/ 2hi −+ = + § + .Представляет практический интерес рациональная аппроксимация сеточныхфункций в (15), (16), независимая от знака аргумента z (коэффициента ai+1/2).Запишем их с учетом z = sign(z)|z| и разложения exp(|z|) ≈ 1+|z|+|z|2/2 со II поряд-ком:2 sign( ) 2 22 2 2 21 () ( ) 1( ) 1 /2 , ( ) , ( )z e z e z ze z z z z zz z⎡ ⎤− − + − = ⎣ + + ⎦ ¤ = ° = . (25)Непосредственной проверкой приходим к выводу, что в схеме (15), (16), в ко-нечном счете, имеют место следующие разложения сеточных функций (рис. 3-5):z > 0: { } 2 2 2 2( ) 1 , ( ) 1 ( ),1 / 2 2e z z z e zz z= ¤ = ++ +2 2 2 2( ) (1 ) ( ), ( ) 1 ( );2 2z z e z z e z+° = © = (26)z ≤ 0: 22 22 2( ) 1 /2, ( ) (1 /2),1 (1 ) ( ) , ( ) .2 2e z z z z zzz z= + + ¤ = ++° = © =Подставляя (25) в (15) или (16), получим следующий вид разностного выраже-ния:{ 1 1 }1 2( / )(1 ) ( / )0 : 2(1 / 2)i i i i iiu z f a z f az uz z+ +++ + +> =+ +; (27)2 1110 : (1 / 2) (1 )2i ii ii iz f fz u u z z za a+++⎧ ⎫„ = + + + ⎨ + + ⎬⎩ ⎭.В случае a = const при z >0 (27) совпадает со схемой, приведенной в работах[7, 16, 17].Рассмотрим аппроксимацию схемы (21) - (24) в окрестности перехода коэф-фициента a(x) через ноль. В случае (ai =0, ai+1 > 0) из (21) со II порядком следует14 В.Г. Зверевz > 0: 11 2 1/ 2 2( ),(1 / 2)ii i iuu f h J zz z−+ = + § ++ +112 2( ) 1 / 3 ,1 / 2 2J z z z ai hiz z−+ § += =+ +. (28)Для возрастающей ветви решения (ai =0, ai+1 < 0) для (22) можно использоватьследующий вариант знакопостоянной аппроксимации:22 11 1/ 2 2 21 /20 : (1 / 2) ( ), ( )i i i i 1 / 3z zz u u z z f hGz Gzz−+ ++ +< = + + + § =+. (29)В случае приближения a(x) к нулю, для ai > 0, ai+1 = 0 из (23) следует111 2 1/ 2 2 20 : ( ), ( ) 1 ,(1 / 2) 1 / 3 2i iii i iu ahz u f hK z K z zz z z−−+ +§> = + § = =+ + +. (30)Соответственно для (ai < 0, ai+1 = 0) из (24) со II порядком получим2 1z 0 : ui 1 ui (1 | z | | z | / 2) fi 1/ 2hiL2 (z), L2 (z) (1 | z | / 3) −< + = + + + § + = + . (31)Аппроксимации (28)-(31) неоднородного слагаемого в окрестности сменызнака коэффициента a(x) показаны на рис. 6. Нетрудно видеть, что для устойчивойветви решения J2(z), K2(z) хорошо подходят до z ~ 5 (рис. 6, a). Для экспоненци-ально растущей ветви решения уже трудно ожидать хорошей точности, G2(z), L2(z)годятся до |z| ~ 1, рис. 6, b.b3 3'G(z), L(z)z44'543210 0,5 1,0 1,5a1'1J(z), K(z)z22'1,00,80,60,40,20 2 4 6 8Рис. 6. Аппроксимации (28) - (31) неоднородного слагаемого в окрестности смены знакакоэффициента a(x). Кр. 1 - 4 - точные значения J(z), K(z), G(z), L(z); кр. 1'- 4' - их аппрок-симация II порядкаРезультаты расчетов и их анализРезультаты численного решения задачи (2) на основе специальной схемы (15)и ее рациональной аппроксимации (27) показаны на рис. 2 кривыми 5 (кружочки)и 6 (пунктир). Так как для линейного коэффициента a(x) аппроксимация A(xi+1)является точной, то точными получаются и результаты по специальной схеме.Аппроксимация экспоненты, несмотря на II порядок, вносит свою погрешность(кривые 6), которая становится все заметнее с ростом шага h. Тем не менее навсех рисунках кривая 6 выглядит гораздо лучше, чем кривая 4 для сквозной схемыЭйлера I порядка.Специальные разностные схемы для решения обыкновенного дифференциального уравнения 15Рассмотрим пример из работы [10]:§u‰(x) + (1+ x)u(x) = (1+ x), u(0) = 0, x¶[0, 2] , (32)u(x) = 1− exp(−(2x + x2 ) /(2§)) ,В аналитическом решении положим § = −1 (рис. 7). В табл. 1 приведены абсо-лютная и относительная ошибки экспоненциально убывающего численного ре-шения uh при различных h по схеме (8), причем a = ai , f = fi [10], по специаль-ной схеме (15) и ее аппроксимации (27). Для сравнения по данным [10] приведенырезультаты решения задачи по неявной схеме Эйлера и специальной схеме Тито-ва, Шишкина (постоянный подгоночный параметр), имеющей равномерную по §сходимость O(h).x54326†u=u-uh20100-50,0 0,5 1,0 1,5Рис. 7. Ошибка численного решения задачи (32) при§ = -1. h = 0.1. 2 - схема Эйлера [10]; 3 - схема Титова,Шишкина [10]; 4 - схема (8) [11]; 5, 6 - специальнаясхема (15) и ее аппроксимация (27) II порядкаПогрешность численного решения задачи (32) при § = -1Вид схемы 0 2max ( ) h ( ) xu x u x„ „−0 2( ) ( )max( )hxu x u x„ „ u x−§ = -1 h = 1 h = 0,1 h = 0,01 h = 1 h = 0,1 h = 0,01Схема Эйлера [10] - 26,0 1,88 - 0,486 3,50·10-2Схема Титова, Шишкина [10] 64,89 8,89 0,74 1,21 0,166 1,38·10-2Схема (8) [11] 34,51 5,2 0,543 0,644 9,69·10-2 1,01·10-2Аппроксимация (27) схемы (15) 30,58 1,5 1,79·10-2 0,571 2,8·10-2 3,33·10-4Схема (15) 4,44·10-16 2,84·10-14 3,55·10-14 1,28·10-16 6,27·10-16 1,08e-14Из рисунка и таблицы видно, что схема (15), как и следует теоретически, ре-шает эту задачу с точностью до машинного представления числа. Вполне прием-лемой с практической точки зрения выглядит и ее аппроксимация (27) II порядка.Здесь максимальная относительная ошибка при h = 0,1 составляет 2,8 %, в то вре-мя как по схеме Эйлера - 48,6 %, схеме [10] - 16,6 %, схеме (8) [11] - 9,7 %. Сле-дует заметить, что при грубом шаге h = 1 неявная схема Эйлера вообще не имеетрешения, а схема [10] с постоянным подгоночным параметром допускает частич-ную потерю качества.16 В.Г. ЗверевРассмотрим задачу с более сложной зависимостью коэффициентов уравнения:u‰(x) + ²cos(²x)u(x) = {²cos(²x) − 2(x − 2)}exp(−(x − 2)2 ), x¶[0, 4] , (33)u(0) = 1+ exp(−4) .Аналитическим решением (33) является функцияu(x) = exp(−sin(²x)) + exp(−(x − 2)2 ) .В точках x = 0,5; 1,5; 2,5; 3,5 происходит смена знака коэффициента при искомойфункции в левой части уравнения. В специальной схеме (15) в этих узлах допол-нительно используются выражения (21-24), а для ее аппроксимации (27) - выра-жения (28-31).Численные расчеты при грубом шаге h = 0,25 показаны на рис. 8. Видно, чтопри этих условиях результаты по явной схеме Эйлера (кривая 2) лишь отдаленнонапоминают точное решение (кривая 1), неявная схема (кривая 3) имеет сильнуюнеустойчивость. В противоположность этому гораздо лучше выглядит сквознаясхема Эйлера (светлые ромбики 4). Однако в силу I порядка и накопления ошибкиимеет место сглаживание хода кривой. Результаты по специальной схеме II по-рядка (светлые кружочки 5) и ее аппроксимации (символ ∗) в количественном от-ношении хорошо воспроизводят все особенности хода точного решения.654321u(x)x3210 1 2 3Рис. 8. Численное решение уравнения (33): 1 - точное реше-ние; 2 (†) - явная схема Эйлера; 3 () - неявная схема Эйлера;4 (◊) - специальная схема (12) I порядка; 5 (±), 6(∗) - специ-альная схема (15) и ее аппроксимация (27) II порядкаЗаключение1. Предложены специальные схемы I, II порядка точности для сквозного рас-чета ОДУ со знакопеременным коэффициентом при искомой функции.2. В основе построения схем лежит использование точного интегрального ре-шения ОДУ и аппроксимаций сеточных функций, инвариантных к знаку коэффи-циента уравнения.3. Исследованы свойства, асимптотика и вид специальной схемы в окрестно-сти смены знака коэффициента уравнения. Предложена рациональная аппрокси-мация II порядка, показана связь с другими известными одношаговыми методами.Специальные разностные схемы для решения обыкновенного дифференциального уравнения 174. Тестовыми расчетами подтверждена хорошая для практики сходимость чис-ленных результатов к точным решениям, в том числе при грубых шагах интегри-рования.

Скачать электронную версию публикации