On the Lie bracket of endomorphisms of Abelian groups, 2.pdf Все группы в статье предполагаются абелевыми. Напомним, что если R -кольцо и a,b  R, то элемент [a,b] = ab - ba называется коммутатором (или скоб-кой Ли) элементов a и b. Если a1,…,an  R, то [a1,…,an] = [[a1,…,an-1],an].Продолжается исследование, начатое в [1]. Класс абелевых групп A со свойст-вом [ƒ,ƒ]n = 0 для любых ƒ, ƒ из кольца эндоморфизмов E(A) обозначим черезBLn, а *BLn= BLn\ BLn−1 . В [1] изучались группы из класса BL2. Ясно, что прямоеслагаемое группы из класса BLn также принадлежит BLn. Отметим, что близкиеклассы групп изучались в [2 - 6].Пусть A - абелева группа. Тогда r(A) обозначает ее ранг, если не оговоренопротивное, то Ap - ее p-компонента, а t(A) - периодическая часть. Если A - одно-родная группа без кручения, то t(A) - ее тип. Запись H ≤ A означает, что H - под-группа в A; H ≤ fi A, что H - вполне инвариантная подгруппа в A, т.е. fH ⊆ H длякаждого f  E(A). Если f: A  B - гомоморфизм, то f | H - ограничение f на H ⊆ A.Если B, G - группы и ∅  X  B, то через Hom (B, G)X обозначим подгруппу в G,порожденную всеми подмножествами fX, где f  Hom (B, G); Hom (B, G)B совпа-дает со следом группы B в G. Через 1A обозначим тождественный автоморфизмгруппы A, через o(a) - порядок элемента a  A. N - множество всех натуральныхчисел, Q - аддитивная группа всех рациональных чисел. A1 =  n  N nA. p Z  -квазициклическая p-группа, ˆ Z p - группа целых p-адических чисел, Zn - цикличе-ская группа порядка n. Если 0  A - ограниченная p-группа, то наименьшее нату-ральное m со свойством pmA = 0 называется экспонентой группы A и обозначаетсячерез e(A). Подгруппа G группы A называется чистой, если nG = GnA для каж-дого n  N.Подгруппу A = 〈[ƒ,ƒ]A | ƒ,ƒ  E(A)〉 назовем E-коммутантом группы A. Оп-ределим по индукции A(0) = A, A(1) = A,, A(n+1) = (A(n)) = 〈[ƒ,ƒ]A(n) | ƒ,ƒ  E(A)〉 иA(ƒ) = ƒ 1, и Gi = ⊕j  I\{i} Aj.1. A(n) = ⊕i ∈ I (A(n)Ai) для каждого n  N.2. A(n) = F, где F = 〈Hom (Ai, Gi)(A(n-1)Ai), Hom (Gi, Ai)(A(n-1)Gi), Ai(n), Gi(n)〉.3. ƒ(A(n)Ai)  ⊕j  I\{i} (A(n+1)Aj) для любого ƒ  Hom (Ai, ⊕j  I\{i} Aj).4. Следующие условия эквивалентны:а) A(n) = ⊕i ∈ I Ai(n);б) Hom (Ai, Aj)(A(n-1)Ai)  Aj(n) для каждого i  I и всякого j  I \{i}.Доказательство. П. 1 вытекает из вполне инвариантности A(n). 2. Пустьƒ: AAi, ƒ: AGi - проекции, f  Hom (Ai, Gi) и a  A(n-1)Ai. Тогда еслиƒ  E(A) - такой, что ƒ|Ai = f, ƒ|Gi =1Gi , то [ƒ,ƒ]a = fa. Это доказывает, чтоHom (Ai, Gi)(A(n-1) Ai)  A(n). Аналогично Hom (Gi, Ai)(A(n-1)Gi)  A(n). ПоэтомуF  A(n). В частности, из проведенных рассуждений следует справедливость п. 3.Осталось показать обратное включение. Пусть ƒ, ƒ  E(A) и z  A(n-1). Имеемz = x + y, где x  A(n-1)Ai, y  A(n-1)Gi. Далее[ƒ,ƒ]x = [(ƒ + ƒ)ƒ,(ƒ + ƒ)ƒ]x == [ƒƒ,ƒƒ]x + (ƒƒƒƒ - ƒƒƒƒ)x + (ƒƒƒƒ + ƒƒƒƒ - ƒƒƒƒ - ƒƒƒƒ)x.Здесь [ƒƒ,ƒƒ]x  Ai(n), второе слагаемое принадлежит Hom (Gi, Ai)(A(n-1)Gi), атретье - Hom (Ai, Gi)(A(n-1)Ai). Поэтому x  F и, аналогично, y  F, значит,A(n)  F. П. 4 вытекает из пп. 1 - 3.Отметим, что возможен случай, когда A = ⊕Ai, но A  ⊕Ai. Действительно,пусть o(a) = p, o(b) = p2, o(c) = o(d) = p и A = (〈a〉⊕〈b〉)⊕(〈c〉⊕〈d〉). ТогдаA = A[p] = (〈a〉⊕〈pb〉)⊕(〈c〉⊕〈d〉) = (〈a〉⊕〈b〉)⊕(〈c〉⊕〈d〉).Однако A = A[p]  (〈a〉⊕〈b〉)⊕(〈c〉⊕〈d〉) = 〈pb〉⊕(〈c〉⊕〈d〉).Обозначим через A(n) следующую подгруппу 〈[ƒ,ƒ]nA | ƒ,ƒ  E(A)〉 (n-й сте-пенной E-коммутант). Ясно, что A(n)  A(n) (A(0) = A(0) = A). Элемент [ƒ,ƒ]na будемназывать n-м степенным E-коммутатором (соответствующий эндоморфизмам ƒи ƒ). Если H  A, то подгруппу 〈[ƒ,ƒ]nH | ƒ,ƒ  E(A)〉 обозначим через [A,H](n).Группа A называется E-разрешимой класса ≤ n, если A(n) = 0. Как показываетследующий пример классы BLn и E-разрешимых групп класса ≤ n различны.Пример. Пусть Z[i] = {m + ki | m,k  Z} - кольцо целых гауссовых чисел. Рас-смотрим кольцо K = (Z[i])[x1,,xm,; − ] комлексно-косых многочленов от пере-менных x1,,xm, с коэффициентами из Z[i], для которых выполняются равенст-ва xia = āxi, где ā - комплексное число, сопряженное с a.Пусть теперь Kn = K/J, где J - идеал, порожденный элементами 1n, ,n,x …xm …, аn - фиксированное натуральное число. Тогда [f,g]n = 0 для любых f,g  Kn. Адди-тивная группа Kn+ кольца Kn является счетной редуцированной группой без кру-чения, поэтому по теореме Корнера [11, теорема 110.1] существует группа A,кольцо эндоморфизмов которой изоморфно Kn. Тогда A  BLn, но A не является E-разрешимой группой, поскольку для каждого ненулевого коммутатора [f,g]  Knнайдутся коммутаторы []1,,[]m со свойством [f,g][]1[]m  0 (m  N). В частно-сти, 0 = A(n)  A(n). Так как [ ,

Скачать электронную версию публикации