The influence of wave generation on hydro-elastic stability of an underwater wing profile.pdf Движение тел вблизи или под свободной поверхностью жидкости, находящей-ся в поле действия силы тяжести, приводит к возникновению вынужденных по-верхностных волн. Возмущения поверхности жидкости, инициированные движе-нием тела, порождают колебания частиц жидкости около положения равновесия.Процесс возникновения и передачи этих колебаний, обусловленный восстанавли-вающим действием силы тяжести, носит название волнообразование, а данныйвид волн определяется как гравитационные. Вызванные волнообразованием до-полнительные скорости жидкости влияют на закон распределения давления поповерхности тела, в результате чего на тело действуют гидродинамические силыволновой природы. Определение этих сил, а также вида вынужденных волн в за-висимости от формы тела, скорости и других условий его движения является важ-ной проблемой гидродинамики, имеющей большое значение при исследованиидвижения различных типов судов [1].В последнее время в гидродинамике наряду с классическими исследованиямисравнительно жестких, слабо деформируемых крыльев значительное вниманиеуделяется мягким поверхностям. Гибкие элементы из высокопрочных мягких ма-териалов используются в качестве несущих поверхностей судов на подводныхкрыльях, лопастей гидромашин. В связи с проблемами экологии и охраны приро-ды, гибкие несущие поверхности используются для удержания в надлежащемместе рыбозащитных устройств на гидротехнических сооружениях.Стремление полнее использовать известные свойства материалов требует глу-боких комплексных исследований явлений и свойств, зачастую с привлечениемсведений из различных смежных областей. Расширение представлений об упру-гом поведении материалов в настоящее время в значительной степени базируетсяна универсальных методах расчета, основу создания и разработку которых со-ставляют математические теории. Сложность совместной задачи требует разум-ного компромисса между учетом особенностей гидродинамических и упругих яв-лений. В соответствии со вкусами авторов здесь возможны варианты с различнойстепенью учета факторов той или иной части составляющих общей связанной за-дачи: больше гидродинамики и менее точный учет упругости или наоборот.В работах Фёльца [2] и Нильсена [3] в качестве уравнения связи между проги-бами профиля и перепадом давления было использовано уравнение статики гиб-кой нити. Нильсен впервые указал на собственные формы равновесия гибкой ни-ти в потоке несжимаемой жидкости. При рассмотрении обтекания упруго-деформируемых профилей Б.С. Берковским [4] перемещения точек профиля оп-ределялись согласно уравнению изгиба балки-полоски. Б.С. Берковский исследо-вал профили достаточно большой жесткости, когда учет влияния упругих дефор-маций приводит к незначительным изменениям в определении аэродинамическихсил и моментов.Замена профиля дискретными вихрями применялась С.И. Гур-Мильнером [5]при исследовании дивергенции консольного профиля, закрепленного по выход-ной кромке. Наиболее общий подход к решению задач гидроупругости крыла наоснове вихревой теории изложен в работах С.М. Белоцерковского, А.С. Вольмира,М.И. Ништа, А.Т. Пономарева [6].Представляет интерес подход, широко используемый многими авторами, наи-более полно представленный в монографии В.В. Болотина [7] и основанный наприменении линейных уравнений изгиба пластин при наличии заданных постоян-ных усилий в срединной плоскости. Такое приближение позволяет несколько уп-ростить анализ сложных механических явлений, обусловленных взаимодействиемгидродинамических и упругих сил, и в то же время сохраняет основные особенно-сти гидроупругих явлений.Для упруго-деформируемых профилей, обтекаемых несжимаемой жидкостьюили дозвуковым потоком, аэродинамическая гипотеза, аналогичная «теориипоршня», предложена И.И.Ефремовым [8].Следует отметить, что, несмотря на отдельные работы, вопросы учета влиянияупругих деформаций на гидродинамические характеристики тонких крыльев изу-чены еще недостаточно. Особенно это касается учета влияния границ потока, втом числе волновых, в гидродинамической части задачи и различных способовзакрепления кромок профиля в упругой части.Постановка задачиРассмотрим движение тонкого упругого крыла бесконечного размаха под сво-бодной границей идеальной несжимаемой весомой жидкости. Для тонких телсправедливо допущение о малости относительных высот вынужденных волн, вы-зываемых их движением. Это позволит в дальнейшем считать малыми скорости,вызванные волновым движением, и применить линейную теорию волн.Чтобы свести задачу к изучению установившегося движения, применим прин-цип обратимости. Будем рассматривать обтекание неподвижного профиля, распо-ложенного под свободной поверхностью жидкости, потоком со скоростью на бес-конечности впереди V∞. Подвижную систему координат свяжем с профилем. На-правим ось Ox вдоль скорости V∞. Ось Oy проведем через середину хорды профи-ля и направим вверх против силы тяжести g. Таким образом, профилю соответст-вует на оси Ox отрезок [−l, l], l - полухорда профиля.Расстояние между профилем и невозмущенным уровнем свободной поверхно-сти обозначим H. В уравнении свободной поверхности y = H + ƒ(x) и в уравненииy = f0(x) + f (x), определяющем форму тонкого упругого профиля, отдельно выде-лены деформационные составляющие (ƒ(x) - изменения свободной поверхностиотносительно невозмущенного уровня, f (x) - упругие смещения относительно за-данной первоначальной формы профиля f0(x)). Принимаем, что деформации сво-бодной поверхности, а также прогибы профиля малы по сравнению с длиной хорды.Предположения о тонкости профиля и малости возмущений позволяют линеа-ризовать постановку задачи, сохранив в ней величины первого порядка малости иснося соответствующие граничные условия на невозмущенный уровень жидкостии на разрез вдоль оси Ox (проекцию профиля).Для упругих несущих поверхностей геометрическая форма поверхности зара-нее не известна и определяется в зависимости от возникающих гидродинамиче-ских нагрузок, в то время как сами гидродинамические нагрузки существенно за-висят от упругих перемещений несущей поверхности. В этом случае задача опре-деления перепада давления (гидродинамическая) и задача определения упругихперемещений (упругая) должны решаться совместно.Существуют различные способы сведения двух указанных задач к одной. Пер-вый способ, как правило, основан на обращении интеграла типа Коши, исключе-нии неизвестной гидродинамической нагрузки и переходу к обобщенному урав-нению изгиба пластины. Такой способ, например, удобно применять в случае су-ществования точного решения гидродинамической части общей задачи гидроуп-ругости. Однако для большинства задач с ограниченными потоками точного ре-шения не существует.Поэтому в таких случаях чаще всего обращаются к подходу, когда строитсяточное решение упругой части задачи (например, методом функций Грина), ис-ключаются из системы неизвестные упругие деформации и задача сводится к гид-родинамическому уравнению с модифицированным углом атаки.В данной работе будет принят второй способ как более универсальный длягидродинамических ситуаций и приемлемый для упругой части задачи.1. Гидродинамическая часть задачиПри изучении проблемы влияния волнообразования на гидродинамические ха-рактеристики гибкого профиля, как обычно в теории волн, движение жидкостипредполагается потенциальным.В подвижной системе, связанной с профилем, потенциал не зависит от времени,а вынужденные волны неподвижны относительно выбранной системы координат.Внутри течения, кроме области профиля S = {y = 0, x  [-l, l]}, потенциал воз-мущенного течения ƒ(x, y) удовлетворяет уравнению Лапласаƒƒ = 0, y < H. (1)Для решения этого уравнения сформулируем граничные условия на контурепрофиля, на свободной поверхности и на бесконечности.Условия на свободнойУсловие плавного обтекания тонкого крыла:( ) 0 при0yx V df df x lyy dx d xϕ = = ƒ = ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ ≤. (5)Условия на бесконечности обеспечивают отсутствие возмущений по мере уда-ления от профиля, т.е. возмущенное течение далеко впереди крыла (при x  - )и на бесконечной глубине (y  - ) должно отсутствовать, позади профиля (приx  +) должно быть ограничено.2. Упругая часть задачиВ качестве уравнения связи деформации формы профиля с распределениемдавления вдоль его границ возьмем уравнение равновесия для случая цилиндри-ческого изгиба пластины при наличии усилий в срединной плоскости( )4 24 2Dd f Td f p p V xdx dx − = −− +=ƒ ƒ . (6)Здесь D - изгибная жесткость, Т - усилие в срединной плоскости (Т > 0 в случаерастягивающих усилий, T < 0 - для сжимающих усилий).Уравнение (6) должно быть дополнено краевыми условиями закрепления кро-мок профиля.Так, закрепление концов профиля в шарнире приводит к исчезновению сме-щений и момента сил на концах, что описывается соотношениямиf(l) = f(l) = 0 .В случае жесткого закрепления краев профиля отсутствует смещение на кон-цах и фиксируется направление контура, т.е.f(l) = f(l) = 0 .Методика решенияВведем в рассмотрение функцию ƒ(x), которую можно интерпретировать какинтенсивностьПрименяя обратное преобразование Фурье к уравнению (7) и используя тео-рему о свертке функций, получим( ) ( ) ( ) 0 ,( ) 1 ( ) .2lyli xk x d x V df dfdx dxk x K e d−+− ƒ−ƒ ƒ − ƒ ƒ = ƒ = ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠= ƒ ƒƒ(8)Заметим, что K(ƒ) является сингулярным ядром типа Коши, так как( ) 1 sign ( )2Kƒ  i ƒ ⎯⎯⎯ ƒ . Функция K(ƒ) имеет следующие особые точки: ƒ = 0 -точка ветвления, ƒ = ƒ - два симметричных действительных полюса. Для опре-деленности выбрана главная ветвь (1=1). Данный выбор учитывался при по-строении решения, чтобы обеспечить условие на бесконечной глубине (приy  −).Для выполнения условий далеко впереди профиля либо далеко за ним приx > 0 контур интегрирования замыкаем на нижнюю полуплоскость (ƒ), а при x < 0- на верхнюю полуплоскость.Применение принципа предельного поглощения [9] показывает, что полюсавыходят на действительную ось с нижней полуплоскости при стремлении коэф-фициента диссипации к нулю, т.е. их вклад нужно учитывать при x > 0. Для удов-летворения условию конечности возмущений при x  + разрез проведем вдольмнимой отрицательной оси. Вычисление ядра для положительных x, таким обра-зом, сводится к сумме двух вычетов и интегрированию вдоль отрицательноймнимой оси.В случае отрицательных x необходимо обеспечить выполнение условия отсут-ствия возмущений при x  -. Это условие удается выполнить, если разрез плос-кости (ƒ) провести вдоль положительной мнимой оси. В результате при отрица-тельных x интеграл для k(x) (8) сводится к вычислению интегралов по берегамразреза вдоль положительной мнимой оси.Таким образом, гидродинамическая часть задачи сводится к сингулярному ин-тегральному уравнению, которое можно записать в безразмерном виде:( )( )12 210( ) 1 1 ( )2 16( ) ( ) , 1,x R x dx x hf x f x x−ƒ ƒ⎪⎩⎨⎧⎪ƒ⎝⎛⎜⎜ − ƒ+ − ƒ −+ƒ ⎠⎞⎟⎟− − ƒ ⎭⎫⎪⎬⎪ƒ == −  +  ≤ (9)где 222 2( ) при 0;( ) ( ) 1 cos при 0;2hFrI x xR x I x e x xFr Fr−− < ⎧⎪= ⎨− > ⎪⎩( 2 )2 40( ) 1 cos4 2 sin44 1Ix e x h Fr h dFr+ −ƒ= ƒ + ƒ ƒ ƒƒ ƒ +  .Здесь x = l x , ƒ(ƒ) = V ƒ(ƒ) , f (x) =lf(x),2h Hl= ,2VFrl g=  .Используя параметры2(2 )3 22,V l V lD Tƒ  ƒ ƒ = ƒ = ,запишем уравнение цилиндрического изгиба пластины (6) в безразмерном виде:( ) 4 2 224 2 ,4 8d f d f xd x d xƒ ƒ ƒ− = ƒ ƒ =ƒ.В дальнейшем черточки над безразмерными величинами будем опускать.Для выражения решения упругой части задачи через произвольное распреде-ление давления по профилю применим метод функций Грина G(x, s). ФункцияГрина зависит от краевых условий, например:для шарнирного закрепления( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )1113111,8ƒ sh ( ) ( )ƒ 2 21 sh 1 sh 1 1 1 ;sh 2 2 4xf x s G x s dss x s x sdss xs s x ds−−−ƒ= ƒ == ⎧⎪⎨⎪⎩ ƒ ⎡⎢⎣ ƒ − −ƒ − ⎤⎥⎦ −− ƒ ⎡⎢⎣ƒ ƒ − ƒ + − ƒ − + ⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭для жесткого закрепления( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )121311111,81 1ƒ sh ( ) ( ) sh 2 2ƒ 2 2 2ch sh 21 1 1ch 1 ch ch sh2 2 21ch 2 1 sh 1 1 ch 12ch sh 2 2 2 21ch 122xf x s G x s dsx xs x s x sdss s ss dsxs s ss dsx−−−−ƒ= ƒ =ƒ + ƒ + ⎧ − ⎪ ƒ − ƒ − ⎡ ⎤ = ƒ − +  ⎨ ⎢ ⎥ ƒ − ƒ ƒ − ⎣ ⎦ ⎪⎩ ƒ ⎡⎢⎣ƒ + + − ƒ− ƒ − + ƒ − ƒ⎤⎥⎦ −ƒ +− ƒ − ƒ ƒ−− ƒ ⎡⎢⎣ ƒ + + ƒ + − ƒ ƒ − ⎤⎥⎦ −ƒ +−−( )1 ( ) ( ) ( )11 1ch sh sh .ch sh 2 2 2s ss ds−⎫⎪ƒ − ƒ − ⎡ ⎤ ƒ ƒ− ƒ + ⎬ ⎢ ⎥ ƒ − ƒ ƒ − ⎣ ⎦ ⎪⎭Выражение для упругих перемещений f(x), полученное через функцию ГринаG(x, s), подставим в уравнение (9) и перенесем в левую часть. В результате полу-чим обобщенное уравнение в безразмерном виде:( ) ( )101( ) ,8s k x s G x s ds dfx dx −ƒ ⎡⎢⎣ − −ƒ  ⎤⎥⎦ =  . (10)Тип уравнения (10) определяет функция k(x) (на особенность которой былоуказано в гидродинамической части), в силу чего соответствующий интеграл по-нимается в смысле главного значения по Коши.Решение уравнения (10) ƒ(x) применяется для определения прогибов упругогопрофиля и реакции гидродинамических сил. Так, в данной работе использовалисьследующие формулы для определениякоэффициента подъемной силы11Cy (s)ds−=  ƒ ;коэффициента сопротивления( ) ( ) ( ) ( )1 11 1, .x 8 xw xeС x s Rx s Gxs dsdx С Cx − −= ƒ ⎡⎢⎢⎣ƒ ⎜⎝⎛ − − ƒ  ⎟⎠⎞ ⎤⎥⎥⎦ = + Заметим, что для данного случая плоского движения тела с постоянной скоро-стью парадокс Эйлера - Даламбера не наблюдается. Профиль при движении ис-пытывает влияние горизонтальной силы, вызванной волнообразованием Cxw и уп-ругими деформациями Cxe. Влияние сил волновой природы определяет регулярнаяфункция R(x). В случае невесомой жидкости (Fr  ) R(x)  0. Волновое сопро-тивление Cxw имеет большое значение с точки зрения ходкости судов.Для определения формы свободной поверхности ƒ(x) весомой жидкости ис-пользуем динамическое условие (2). На основе преобразования Фурье имеем ин-тегральное представление для потенциала скорости выше уровня y = 0:1( )11( ) ( ) 1 ( )2x s K ei x sdds+− ƒ −+− −ϕ = ƒ ƒСоответствующую уравнению (10) систему линейных алгебраических уравне-ний можно записать в матричном виде(A− ƒB)ƒ =C, (11)где А и В - матрицы порядка N . N, С - вектор правой части, ƒ - вектор неизвест-ных ƒi.Выбранная дискретная схема приводит к преобладанию диагональных элемен-тов матрицы системы, что повышает устойчивость численных вычислений.Зная ƒi, можно определить коэффициенты подъемной силы и сопротивления,форму профиля и свободной поверхности по следующим формулам:12 Ny iiСN == ƒƒ ,{ ( ) ( )} 21 14 ,8N Nx i j i j i ji jС R x s G x sN = = xƒ = ƒ ƒ − −ƒ ƒ ,0 ( )1( ) 2 ( , )8Ni i j i jjy x f x G x sN =ƒ= + ƒƒ ,( ) 112 ( ), 1,Ni j i jjx R x s i NN =ƒ = ƒƒ − = .Численный эксперимент в работе проводился при N = 50.Анализ результатовУпругие деформации изменяют скос потока или эффективный угол атаки кры-ла, что приводит к перераспределению нагрузки вдоль хорды и сказывается насуммарных гидродинамических характеристиках.1. Вначале рассмотрим поведение в потоке достаточно упругого профиля(D  0, T = 0) при f0' = −ƒ. Упругие свойства профиля в данном случае определяетего изгибная жесткость (параметр ƒ). Деформации формы такого профиля приразличных условиях закрепления определяются по следующим формулам:для шарнирного закрепления концов профиля( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3 1 2 21 111 1 1 448 96x xf x s x s ds s s x s ds− −= ƒƒ − −ƒ + ƒ − ⎡⎣ + + − − ⎤⎦ ;для жесткого закрепления концов( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ]3 2 1 21 111 2 148 192x xf x s x s ds s s x s xs ds− −ƒ ƒ += ⋅ƒ − − ƒ − − + − .Рис. 1 демонстрирует зависимость гидродинамических характеристик от ƒ.При переходе параметра гибкости ƒ через некоторые критические значения отме-чается скачок характеристик и смена знака. Значения ƒ, при которых происходитпотеря статической устойчивости, соответствуют собственным значениям ƒk мат-рицы B-1A (11).Cyƒ010 20 30 40-8-44-Cxƒ2010 20 30 ƒ8а б4050ƒ8Рис. 1. Влияние изгибной жесткости на значения: а - подъемной силы,б - сопротивления при Fr = 2, h = 0,5 (-- шарнирное, - - жесткое закрепление)В табл. 1 приведены значения первых трех собственных значений для разныхчисел Фруда при движении жестко закрепленного профиля на различных глубинах.Т а б л и ц а 1Fr 0,2 0,3 h 0,4 0,6 0,8ƒ1 44,8 55,09 60,328 64,868 66,60,2 ƒ2 257,797 286,876 296,77 302,757 304,37ƒ3 678,26 708,067 715,51 721,038 723,46ƒ1 -617+1316i 184,6+54,27i 62,58 60,485 64,460,5 ƒ2 -617-1316i 184,6-54,27i 284,958 298,57 302,566ƒ3 495,24 665,21 694,3 713,296 720,125ƒ1 119,697 105,46 97,46 87,9 81,771 ƒ2 332,866 313 305,58 301,02 300,48ƒ3 857,33 832,3 817,97 795,04 776,1ƒ1 89,69 82,18 78,43 75,097 73,725 ƒ2 329,84 315,82 310,657 307,09 305,92ƒ3 769,19 754,91 750,34 746,19 744Точки разрывов гидроупругих характеристик профиля соответствуют действи-тельным значениям собственных чисел (см. рис. 1), если собственные числа -комплексные, то потери устойчивости не происходит.Поведение упругого профиля в потоке жидкости существенно зависит от ус-ловий закрепления. Так, при шарнирном закреплении получено, что при h = 0,2 иFr  [0,398; 0,559] величина ƒ1 не имеет действительных значений, а для h = 0,3при любых числах Fr значение ƒ1 действительно. В случае жесткого закрепления:при h = 0,2 и Fr  [0,387; 0,577], а также при h = 0,3 и Fr  [0,48; 0,534] величинаƒ1 не имеет действительных значений. Из рис. 1 также видно, что при жесткой за-делке по обоим краям критические значения заметно возрастают, то есть профильстановится более устойчивым.Кривизна профиля, также как подъемная сила, при переходе параметра ƒ черезкритические значения скачком меняет знак. Соответствующие критическим зна-чениям ƒ формы профиля являются собственными криволинейными формамиравновесия тонкой пластины в потоке жидкости. На рис. 2 представлены собст-венные формы равновесия гибкого, жестко закрепленного профиля при Fr = 2,h = 0,5. Первая собственная форма достаточно хорошо аппроксимируется косину-соидой (рис. 2, a), вторая собственная форма имеет горб и впадину и близка к си-нусоиде (рис. 2, б). Приближение профиля к свободной границе не приводит кзначительным изменениям собственных форм равновесия.-404020-20-1 -0,5 0 0,5 1yƒxƒ = 84ƒ = 86а-303010-1 -0,5 -10 0 0,5 1yƒxƒ = 303ƒ = 307бРис. 2. Собственные формы профиля: а - первая (при ƒ ∼ ƒ1), б - вторая (при ƒ ∼ ƒ2)На рис. 3 представлена зависимость волновой составляющей сопротивления отчисла Фруда при h = 0,5 для жестко закрепленных профилей с различной изгиб-ной жесткостью. В случае ƒ = 0 результаты совпадают с данными работы [10] дляволнового сопротивления подводного жесткого профиля. На рис. 3 приводятсяграфики волнового сопротивления для значений ƒ = 50 и ƒ = 100, не совпадающихс собственными значениями ƒ. При ƒ = 80 существует две критические точки дляFr  [0, 3], в которых волновое сопротивление терпит разрыв.0 0,5 1 1,5 20,1-0,211,62,53,444,65,5w2 2−CxƒƒFrƒ = 0ƒƒƒ= 50= 80= 100Рис. 3. Влияние числа Фрудана волновое сопротивление гибкого профиляРис. 4 показывает форму поверхностных волн при поступательном движенииупругого профиля, жестко закрепленного на концах. Упругие свойства профиляизменяют форму профиля и, как следствие, сказываются на форме свободной гра-ницы весомой жидкости. Первая собственная форма такого профиля представленана рис. 2, а. Кривизна линии свободной границы изменяется при переходе черезкритические значения параметра ƒ.ƒƒxРис. 4. Форма свободной поверхностипри Fr = 2, h = 0,52. Отдельно рассмотрим движение мягкого (мембранного) профиля (D = 0,T  0) при f0' = −ƒ.Упругие деформации формы профиля в этом случае задаются выражением:11 1( ) 1 ( )(1 ) ( )( )2 2fx x s s ds x s x s ds− −=ƒ⎧⎪⎨+ ƒ − − ƒ − ⎫⎪⎬⎪⎩ ⎪⎭  .В качестве параметра гибкости для мембранного профиля выступает параметрƒ, определяемый натяжением T. Исследуем корни характеристического уравнения|A − ƒB| = 0. В табл/ 2 представлены значения первых трех корней для разных зна-чений Фруда и глубин погружения мягкого профиля.Т а б л и ц а 2Fr 0,2 0,3 h 0,4 0,6 0,8ƒ1 0,73 0,89 0,98 1,067 1,10,2 ƒ2 2,89 3,28 3,43 3,53 3,56ƒ3 4,01 4,24 4,287 4,305 4,306ƒ1 1,85-6,56i 2,378-0,568i 0,9 0,967 1,0560,5 ƒ2 1,85+6,56i 2,378+0,568i 3,52 3,508 3,537ƒ3 4,4 3,855 4,06 4,26 4,297ƒ1 2,45 2,1 1,9 1,649 1,481 ƒ2 3,88 3,62 3,528 3,476 3,478ƒ3 4,98 4,83 4,755 4,65 4,56ƒ1 1,58 1,45 1,38 1,31 1,285 ƒ2 3,92 3,73 3,655 3,599 3,58ƒ3 4,537 4,42 4,39 4,383 4,38Также как и в случае упругого профиля, если корни ƒi имеют действительныезначения, то при этих значениях параметра гибкости отмечается разрыв характе-ристик мембранного профиля, если корень комплексный, то профиль устойчив впотоке жидкости (см. рис. 5).Зависимость значения наименьшего критического числа ƒ1, при котором про-исходит потеря статической устойчивости, от весомости жидкости при различныхотстояниях от свободной поверхности изображена на рис. 6.Cy2ƒƒ-1,5-3,2-4,9-6,6-8,3-10Fr = 0,5FrFrFr= 0,6= 1= 2Рис. 5. Зависимость коэффициента подъемной силыот натяжения при h = 0,30 0,2 0,4 0,6 0,8 Fr1234ƒ1h = 0,2hhhh= 0,3= 0,4= 0,6= 0,8а б1 2 3 4 Fr00,511,52ƒ1h = 0,2h = 0,3h = 0,4h = 0,6h = 0,8Рис. 6. Зависимость наименьшего критического значения ƒ1 от числа ФрудаИз рис. 6 видно, что при малых h есть область устойчивости мембранногопрофиля. Так, при h = 0,2 и Fr  [0,388; 0,52], а также при h = 0,3 иFr  [0,489; 0,547] величина ƒ1 не имеет действительных значений. При h = 0,2 иFr  [0,387; 0,68], при h = 0,3 и Fr  [0,49; 0,637] величина ƒ2 не имеет действи-тельных значений. При h = 0,2 и Fr  [0,524; 0,68], h = 0,3 и Fr  [0,548; 0,637] ве-личина ƒ3 не имеет действительных значений. Таким образом, при малых h суще-ствуют числа Fr, для которых характеристики мембранного профиля не имеютразрывов. Полученные закономерности подтверждаются результатами для мем-бранного профиля работы [11], в которой расчеты велись на основе функции, по-лученной для подводного крыла М.В. Келдышем и М.А. Лаврентьевым.На рис. 7 показаны зависимости гидродинамических характеристик мягкогопрофиля от числа Фруда. Для жесткой пластины в работе [12] указано на немоно-тонный характер подъемной силы при малых числах Fr. Из рис. 7, а видно, чтодля мягкой пластины характер изменения Сy остается аналогичным, если при дан-ном значении Fr значения ƒ отличны от ƒкрит. Если же ƒ близко к критическимзначениям, то наблюдается разрыв Сy. Рис. 7, б демонстрирует влияние натяжениямембранного профиля на характер изменения сопротивления. При переходе черезкритическую точку сила сопротивления меняет знак, т.е. переходит в силу тяги.Cy2ƒƒ-2-4-62400,5 1 1,5 2 2,5Fr3ƒ = 0ƒƒƒ= 0,5= 1,7= 2-1-4-31200,5 1 1,5 2 2,5Frƒ = 0ƒƒƒ= 0,5= 1,7= 22 2−CxƒƒабРис.7. Зависимость гидродинамических характеристикмембранного профиля от числа Фруда при h = 0,4На рис. 8 можно проследить, как изменение скорости движения мембранногопрофиля сказывается на форме свободной границы весомой жидкости. Значениепараметра ƒ для данных условий движения попадает в область устойчивости,близость к критическим значениям ƒ вызовет неограниченный рост амплитудыповерхностных волн. На больших расстояниях позади профиля гравитационныеволны можно рассматривать как прогрессивные плоские волны с синусоидальнымпрофилем, что соответствует положениям теории малых волн. Изменение числаФруда сказывается на всех параметрах поверхностных волн (сдвиге фаз, периодеи амплитуде). Изменение глубины погружения при одинаковых прочих парамет-рах приводит к изменению амплитуды волны, не затрагивая значения длины вол-ны и сдвига фаз.-2-4-62ƒƒ-4 -2 2 4 6 8 10 12FrFrFr= ,5== 0,511xРис. 8. Форма свободной границы при h = 0,5 и ƒ = 0,53. На рис. 9 демонстрируется влияние на характер изменения подъемной силыупругого профиля параметров течения при ненулевых значениях изгибной жест-кости, а также натяжения для случая жесткого закрепления концов профиля.Рис. 9, a показывает влияние весомости на Cy, а рис. 9, б - влияние глубины по-гружения профиля на Cy. При определенных сочетаниях упругих свойств отмеча-ется потеря устойчивости профиля.Cyƒ-8-4481201 2 3 4 5 6 ƒFr = 0,5FrFrFrFr= 0,6= 1= 2= Cyƒ-8-4481202,5 5 7,5 10 12,5 ƒh = 0,2hh= 0,5= 1,5а бРис. 9. Зависимость коэффициента подъемной силы от натяженияпри ƒ = 314 для h = 0,2 (а) и Fr = 0,5 (б)ЗаключениеПредставленная в настоящей работе методика дает возможность определятьреакцию гидродинамических сил на гибкий подводный профиль, возмущениясвободной поверхности тяжелой жидкости, вызванные движущимся профилем, атакже форму профиля, обладающего различными упругими свойствами и приразных условиях закрепления. Проведено исследование гидроупругой устойчиво-сти тонкого профиля при различных условиях движения. Результаты выполнен-ных вычислений в идентичных случаях были сопоставлены с данными известныхработ по аналогичной тематике. Полученные результаты имеют практический ин-терес в рамках исследования качества несущих элементов, выполненных из упру-гих материалов и применяемых, например, на судах с подводными крыльями.Предложенную методику можно применить для исследования нестационарнойгидроупругой устойчивости, а также при движении тонких упругих крыльев вслое жидкости.

Скачать электронную версию публикации