Solutions of the Loewner equation with an initial condition at the boundary of a circle.pdf Рассмотрим уравнение Лёвнера( )d ( ) ,dς ƒ ƒ + ς= −ςƒ ƒ ƒ −ς(1)с начальным условием ƒ(z, 0) = z, |z| = 1, где ƒ(ƒ) = eiƒ(ƒ), ƒ(ƒ) - непрерывная на[0,) функция.Приведем некоторые известные факты. Изучение решений уравнения (1), помодулю равных единице, сводится к исследованию решений ƒ(ƒ) уравнения( )ctg2ddƒ ƒ ƒ − ƒ=ƒ. (2)Через ƒ(ƒ, t, ƒ0) обозначим решение уравнения (2) с начальным условиемƒ(t,t,ƒ0) = ƒ0. Будем рассматривать решения ƒ(ƒ,t) = ƒ(ƒ,t,ƒ(t)). Пусть A−(t) (A+(t))− совокупность решений ƒ(ƒ,t), каждое из которых определено на некотором ин-тервале (t−h,t)(0,t) (соответственно на (t,t+h)(t,)).Теорема 1. В A−(t) существуют лишь два гладких на (0,t) решения ƒ1(ƒ,t) иƒ2(ƒ,t); для них выполняются неравенства0 ≤ ƒ1(ƒ,t) - ƒ(ƒ) ≤ 2ƒ, −2ƒ ≤ ƒ2(ƒ,t) - ƒ(ƒ) ≤ 0.Теорема 2. A+(t) либо пусто, либо содержит бесконечно много решений ƒ(ƒ,t).Последнее возможно только для значений t, принадлежащих замыканию множе-ства точек ƒ, в которых правое производное число функции ƒ(ƒ) равно + или−.Обозначим через W+(t,b), 0 ≤ t < b ≤ , совокупность всех решений ƒ(ƒ) урав-нения (1) на (t,b), для которых ( ) ( )0limttƒ +ς ƒ = ƒ и |ƒ(ƒ)|≤1 на (t,b). Пусть( ) ( , )t bW+ t W+ t b< ≤= ∪ .Теорема 3. Если ƒ(ƒ) − непрерывная функция с ограниченной вариацией насегменте [t,b], 0 ≤ t < b ≤ , то множество W+(t,b) не пусто.Обозначим через V+(t) подкласс решений из W+(t), по модулю меньших едини-цы на всем интервале существования.Лемма. Пусть на сегменте [a,b][0,) функция ƒ(ƒ) имеет ограниченную про-изводную. Тогда при любом t  [a,b) V+(t) содержит лишь одно решение уравне-ния (1) [1, с. 50−59].Рассмотрим отрезок [a,b]  [0,), на котором ƒ(ƒ) <  . Пусть точка t, при-надлежащая внутренности отрезка [a,b], такая, что ƒ(ƒ) имеет ограниченную ва-риацию на [t,b] и ƒ(t )0 . Для такого t рассмотрим гладкие решения ƒ1(ƒ) и ƒ2(ƒ)уравнения (1), принадлежащие множеству A-(t). Будем исследовать поведениеэтих решений при ƒ > t.Отображение1iiih eeƒƒ+ ςς =− ς,где ƒ = const  R, h = const  (0,), переводит замыкание единичного круга E взамыкание верхней полуплоскости плоскости ouv для каждого ƒ. Пустьƒ  ƒ(t)+2ƒn, n  Z. Подействуем на кривые ƒ(ƒ), ƒ1(ƒ), ƒ2(ƒ) этим отображением.Получим соответственно кривые 1 ( ) ctg ( )2hƒ − ƒ ƒƒ ƒ = , 1 ( ) ( ) ( )ς1 ƒ =u1 ƒ +iv1 ƒ ,1 ( ) ( ) ( )ς2 ƒ =u2 ƒ +iv2 ƒ , которые будем рассматривать как кривые в трехмерномпространстве oƒuv.Кривая ƒ1(ƒ) лежит в плоскости oƒu. Касательный вектор s к этой кривой вточке ƒ = t имеет координаты( )2 ( )1; ;02sin2h tt⎧⎪ ƒ ⎫⎪⎨ ƒ − ƒ ⎬⎪⎩ ⎪⎭.Кривые ( ) 11ς ƒ и 1 ( )ς2 ƒ при ƒ ≤ t также лежат в плоскости oƒu. Найдем для нихвекторы главных нормалей в точке ƒ = t.Параметрическому заданию кривых ( ) ( )( )11 11: u uv vƒ = ƒ ⎧⎪ς ƒ = ƒ ⎨⎪⎩ = ƒи ( ) ( )( )12 22: u uv vƒ = ƒ ⎧⎪ς ƒ = ƒ ⎨⎪⎩ = ƒсоот-ветствует задание вектор-функций r1(ƒ) ={ƒ,u1(ƒ),v1 (ƒ)} и r2(ƒ) ={ƒ,u2(ƒ),v2 (ƒ)}соответственно. Тогда r1(ƒ) ={1,u1(ƒ),v1 (ƒ)}, r1(ƒ) ={0,u1(ƒ),v1(ƒ)} иr2(ƒ) ={1,u2(ƒ),v2 (ƒ)}, r2(ƒ) ={0,u2 (ƒ),v2 (ƒ)}.Вектор главной нормали { } 11 12 13 ; ; = ƒ ƒ ƒ 1 ν кривой 11ς задаётся формулой221 11 dk ds= 11rν , где k1 − кривизна кривой 11ς , s1= s1(ƒ) − переменная длина дуги этойкривой, отсчитываемая от точки ƒ = 0. Так как1 1 1d dds ds s=  ƒ= 1 11r rr ,21 12 31 1 1 1d d s sds s ds s⎛  ⎞ ƒ  −  =⎜⎝  ⎟⎠ ⋅ = 1 1 1 1 r r r r,2 2s1= 1+u1 +v1 , 1 1 1 11 2 21 1 1s u u v vu v =  +  +  + ,[ ] ( )( )2 2 21 1 1 1 1 11 3 2 231 1,1u v u v v uku v   −   +  + = = +  + 1 11r rr,то( )( )[ ]1 11 1 111 3 2 1 1 1 1 1 1 12 12 12 1211,,s uu v vk s u v u v v u u v  +  ƒ = − = − =  −   +  +  +  +  = −  ⋅ 1 11 1 1r rr r r,( ) ( )( )( )[ ]2 21 1 1 1 1 1 1 1 11 1112 1 13 12 12 1 1 1 1 2 12 1221 11 11,,,s u s u u u v u uu vvk s u v uv uv v uu u −    +  +  −   +  ƒ = = = +  +   −   +  +   −   =  ⋅ 1 1 11 1 1r rrr r r( ) ( )( )( )[ ]2 21 1 1 1 1 1 1 1 11 1113 1 13 12 12 11 112 12 1221 11 11,.,s v s v v u v v uu vvk s u v u v u v v uv v −    +  +  −   +  ƒ = = = +  +   −   +  +   −   =  ⋅ 1 1 11 1 1r rrr r rДля вектора главной нормали ν2 ={ƒ21;ƒ22;ƒ23} кривой 1ς2 аналогично нахо-дим( )21 [ ],, ƒ = −  ⋅ 2 22 2 2r rr r r,( )[ ]22 222,,,u  −u  ƒ =  ⋅ 2 2 22 2 2r rrr r r( )[ ]22 223,.,v  −v  ƒ =  ⋅ 2 2 22 2 2r rrr r rЗаметим, что для того чтобы векторы ν1 и ν2 существовали, необходимо что-бы кривизна k1 и кривизна k2 были отличны от нуля, то есть, чтобы в точке ƒ = tвыполнялись условия1 1 1 1110 ,0u v u vuv     ⎧⎪  ⎨⎪⎩  2 2 2 2220 .0u v u vuv     ⎧⎪  ⎨⎪⎩  Введем параллельный оси ƒ вектор a ={ƒ0−t,0,0},ƒ0>t, и найдем смешан-ные произведения (s,ν1,a) и (s,ν2,a). Имеем( ) ( )[ ]( )[ ]( )[ ]( ) ( )[ ]22 21 1 1 1021 1021 02sin2, , ,, ,, , ,0 0,.2sin ,2hu u v vtt h v vƒƒ − ƒ    −      −   = − =  ⋅    ⋅    ⋅ ƒ −ƒ   −   = ƒ −ƒ − ƒ   ⋅ 1 1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1r r r r r r r rs ν ar r r r r r r r rr rrr r rВведем обозначение( )( ) [ ( ) ( )] ( )01212sin ,2t hCt t t tƒ −=ƒ − ƒ r1 r1 ⋅r1, C1 > 0. Тогда( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ( ) ( ) ( ))]( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 21 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 11 1 11 1, , 1.C t v u v v uu vvC t v t u t u t v t u t v tC t v t u t uv tt uv tt= ƒ ⎡⎣  +  +  −   +   ⎤⎦ == ƒ  +    −   == ƒ ⎢⎣⎡ +    ⎥⎦⎤s ν1 aАналогично,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 2 22 2, C t v t u t uv tt uv tts ν2 ,a = ƒ ⎡⎢⎣  +    ⎤⎥⎦ ,где( )( ) [ ( ) ( )] ( )0221 02sin2t hCt t t tƒ −= >ƒ − ƒ r2 ,r2 ⋅r2.Векторы a и s лежат в плоскости oƒu. Векторы главных нормалей ν1 и ν2перпендикулярны касательным к кривым ( ) 11ς ƒ и 1 ( )ς2 ƒ соответственно и с точ-ностью до бесконечно малых указывают направление, в котором кривая в окрест-ности рассматриваемой точки ƒ = t отклоняется от своей касательной. Знак сме-шанных произведений (s,ν1,a) и (s,ν2,a) покажет, как направлены векторыглавных нормалей ν1 и ν2 − в пространство над верхней или над нижней полу-плоскостью плоскости ouv, а значит, покажет, в пространство над верхней или наднижней полуплоскостью плоскости ouv выйдут кривые ( ) 11ς ƒ и 1 ( )ς2 ƒ из плоско-сти oƒu при ƒ > t. Таким образом, знак смешанных произведений покажет, какимбудет модуль решений ƒ1(ƒ) и ƒ2(ƒ) уравнения (1) − больше либо меньше единицы.Возможны два случая. Пусть ( ) ^ 0 < a s . Тогда для кривой 1iς , идущей в про-странство над нижней полуплоскостью, тройка векторов s,νi,a будет левая, сле-довательно, |ƒi(ƒ)| > 1. Для кривой 1iς , идущей в пространство над верхнейТогда если ƒ1(ƒ) и ƒ2(ƒ) удовлетворяют условию, что величины( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 11 1 11 1A t v t u t uv tt uv tt =  +   и ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 2 22 2A t v t u t uv tt uv tt =  +   имеют противоположные знаки, то при ƒ > t модуль одного из решенийƒi(ƒ), (i = 1,2) будет меньше единицы, а модуль второго больше единицы. Приэтом в случае, если ƒ(t ) и (a^s) имеют разные знаки, то при Ai < 0 |ƒi| > 1, а приAi > 0 |ƒi| < 1. В случае, если ƒ(t ) и (a^s) имеют одинаковые знаки, то приAi < 0 |ƒi| < 1, а при Ai > 0 |ƒi| > 1.

Скачать электронную версию публикации