On a transformation of the hypergeometric row.pdf Переменность радиуса сходимости степенного ряда при переменном началь-ном аргументе представляется в особо наглядном виде в случае гипергеометриче-ской функции. Результат интересен как единственный нетривиальный случай, вкотором теоретический результат проверен.Гипергеометрическая строка( ) ( )( )( )1 1 2, , , 1 ...1 1 2 1F x x xƒ ⋅ƒ ƒ ⋅ƒ ƒ + ƒ +ƒ ƒ ƒ = + + +⋅ ƒ ⋅ ƒ ƒ +, (1)сходящаяся при x < 1 , ради краткости нами будет написана в виде( )0, , , n n,ny F x C x== ƒ ƒ ƒ = ƒ (2)где( )( )0 1, 1 ( )( )n 1 nn nC C Cn n +ƒ + ƒ += =+ ƒ+.Она выполняет дифференциальное уравнениеx(1−x)y + [ƒ −(ƒ + ƒ +1)x]y − ƒƒy= 0. (3)То же самое дифференциальное уравнение выполняется функциейy (1x) F( , , ,x). = − ƒ−ƒ−ƒ ƒ−ƒ ƒ−ƒ ƒ (4)Если её разложить по степеням x, то начальное значение и первый коэффици-ент строки равны начальному значению и первому коэффициенту строки (1). От-сюда по теоремам о правильных интегралах дифференциальных уравнений выте-кает известное тождествоF( , , ,x) (1x) F( , , ,x). ƒ ƒ ƒ = − ƒ−ƒ−ƒ ƒ − ƒ ƒ − ƒ ƒ (5)Производные гипергеометрической строки имеют вид(n)( , , , ) ! ( , , , )F ƒ ƒ ƒx =nCnF ƒ +nƒ +nƒ +nx (6)и, при помощи формулы (5), могут быть приведены к виду(n)( , , , ) ! (1 ) n( , , , ).F ƒ ƒ ƒx =nCn −xƒ−ƒ−ƒ− F ƒ − ƒ ƒ − ƒ ƒ +nx (7)Тогда разложение функции в строку Тейлора с начальным значением x0 при-мет вид( ) ( ) ( ) 00 00 0, , , 1 , , ,1nnnx xF x x CF nxxƒ−ƒ−ƒ=⎛ − ⎞ƒ ƒ ƒ = − ƒ − ƒ ƒ − ƒ ƒ + ⎜⎝ − ⎟⎠ƒ . (8)Нетрудно доказать, чтоlim ( , , , 0) 1.Поэтому ряд в правой части уравнения (8) сходится при001.1x xx−

Скачать электронную версию публикации