Primary IF-groups.pdf Одним из направлений исследований в теории абелевых групп является изуче-ние групп, содержащих собственные подгруппы, изоморфные самой группе.Р. Бьюмонт и Р. Пирс в [1] рассматривали такие группы: I-группы - группы, изо-морфные собственной подгруппе; IP-группы - группы, изоморфные собственнойсервантной подгруппе; ID-группы - группы, изоморфные собственному прямомуслагаемому. Г. Монк в [2] исследовал абелевы p-группы, не содержащие собст-венные сервантные плотные подгруппы, изоморфные самой группе. В [3] рас-сматриваются группы, изоморфные подгруппам той же мощности, что и самагруппа.В настоящей статье исследуются IF-группы, т.е. абелевы группы, изоморфныенекоторой собственной вполне характеристической подгруппе.Всюду далее в этой статье под словом «группа» будем понимать аддитивнозаписанную абелеву группу.В [4] исследовались примарные группы с конечными инвариантами Ульма -Капланского. В настоящей статье рассматриваются примарные группы с произ-вольными инвариантами Ульма - Капланского.Отметим некоторые результаты, которые понадобятся нам в дальнейшем.Теорема 1 [4]. Всякая ограниченная группа не является IF-группой.Теорема 2 [4]. Периодическая группа является IF-группой тогда и только то-гда, когда некоторая ее p-компонента является IF-группой.Теорема 3 [4]. Делимая периодическая группа не является IF-группой.Теорема 4 [4]. Для нередуцированной периодической группы A следующиеусловия эквивалентны:1) A является IF-группой;2) некоторая p-компонента группы A не является делимой группой и имеет ре-дуцированную часть, которая является IF-группой;3) редуцированная часть группы A является IF-группой.Теорема 5 [5, теорема 2.8]. Пусть k kB B= ⊕N, где Bk = ⊕ Z(pk). L - вполнехарактеристическая подгруппа группы B тогда и только тогда, когдаnkk kL p B= ⊕N, где1) nk ≤ k для всех k  N;2) nk ≤ nk+r ≤ nk+r для всех k  N, r  N.Заметим, что теоремы 1 - 4 сводят исследование периодических IF-групп к ис-следованию редуцированных примарных IF-групп.Начнем исследование с прямых сумм циклических p-групп. Обозначим черезN0 множество всех целых неотрицательных чисел, а через fA (k) - k-й инвариантУльма - Капланского p-группы A, то есть ранг факторгруппы pkA[p] / pk+1A[p].Рассмотрим сепарабельные p-группы.Пусть B - p-группа, являющаяся прямой суммой циклических групп, т.е.k kB B= ⊕N, где Bk = ⊕ Z(pk). Тогда для инвариантов Ульма - Капланского группыB справедливы равенства fB (m) = r(Bm+1) для всякого m  N0, где r(Bm+1) - ранггруппы Bm+1.Нам понадобится следующее определение.Определение 1. Пусть A - сепарабельная p-группа. Строго возрастающую по-следовательность неотрицательных целых чисел i0, i1,…, in,… назовем допустимойдля группы A, если для инвариантов Ульма - Капланского этой группы выполня-ется система равенств( ) ( )1 1, 0kkiA Ai if k f i k+ −== ƒ N. (1)Теорема 6. Пусть B - неограниченная p-группа, являющаяся прямой суммойциклическихТаким образом,L( ) (B( 1)| k 1 )k Nf n f k kn n= ƒ − − − = . (2)Из теоремы 5 следуют такие соотношения:(k+1) - nk+1 - 1 ≥ (k+1) - (nk+1) - 1 = k - nk - 1; (3)(k+1) - nk+1 - 1 ≤ (k+1) - nk - 1 = (k - nk - 1) + 1. (4)Пусть n mk iNn{ 1| k1 }i k kn n= − − − = . Тогда из (2) - (4) получаем( ) ( )n 1 1niL Bi if n f i+ −== ƒ . (5)Среди сумм правой части равенств (5) могут быть и вырожденные, т.е. со-стоящие из одного слагаемого (это получается в случае, когда in+1 = in+1). ПустьL ≅ B. Тогда с учетом равенства (5) для всякого целого неотрицательного числа n( ) ( ) ( )n 1 1niB L Bi if n f n f i+ −== = ƒ .Последовательность i0, i1,…, in,… является допустимой для группы B, и поэто-му в силу условия теоремы следует, что in = n для всякого n. Учитывая, чтоn mk iNn{ 1| k1 }i k kn n= − − − = , получаем nk = 0 для всякого k, т.е. L = B. Это проти-воречит тому, что B является IF-группой.Достаточность. Запишем группу B в виде k kB B= ⊕N, где Bk = ⊕ Z(pk). Пустьдля группы B существует допустимая последовательность r0, r1, r2,…, отличная отдопустимой последовательности 0, 1, 2,… Тогда для всякого m  N0 имеем( ) ( )m 1 1mrB Br rf m f r+ −== ƒ . (*)Возможны два случая: 1) r0  0, 2) r0 = 0. Рассмотрим каждый из них.1) Пусть r0  0.Построим подгруппу L группы B следующим образом:0 0 00 0 01 1 1 11 1 1 12 2 2 2 32 2 2 2 32 11 2 1 21 1 11 2 32 2 1 31 2 3... ...... ...... ... ...,r r rr r rr r r rr r r rr r r r rr r r r rL pB p B p B p B p Bp B p B p B p Bp B p B p B p B p B++ +− − ++ + +− − − −+ + += ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕то естьnkL= ⊕p Bk ,где nrj nrj1 rj j += = − (j  N0); 1 nrj +k =rj −j+k− (1 < k < rj+1 - rj + 1). L - собст-венная подгруппа группы B. Используя теорему 5, получаем, что L - вполне ха-рактеристическая подгруппа группы B. Более того, L ≅ B в силу равенства соот-ветствующих инвариантов Ульма - Капланского. Действительно, из построениягруппы L и с учетом равенств (1) получаем для всякого m  N0fL (m) = fB (rm) + fB (rm+1) + … + fB (rm+1 - 1) = fB (m).Значит, L ≅ B, но L  B. Следовательно, B является IF-группой.2) Пусть r0 = 0. Обозначим через k + 1 (k  N0) наименьшее натуральное число,для которого rk + 1 > k + 1. Тогда r0 = 0, r1 = 1, … , rk = k, и допустимая последова-тельность имеет вид 0, 1, …, k, rk + 1, rk + 2, … Равенства (*) для такой последова-тельности запишутся так:fB(0) = fB(0),fB(1) = fB(1),…………………… (**)fB(k - 1) = fB(k - 1),fB(k) = fB(k) + fB(k + 1) + … + fB(rk + 1 - 1),fB(q) = fB(rq) + … + fB (rq + 1 - 1), для всякого q > k (q  N0).Сумма, стоящая в правой части (k + 1)-го равенства в (**), является первой не-вырожденной суммой в (**), т.е. суммой, состоящей из более чем одного слагае-мого.Рассмотрим следующую подгруппу L группы B:1 1 11 1 12 2 22 2 2331 2 1 21 11 22 2 11 23... ...... ...... ...... ...k k kk k kk k kk k kkkk k kr k r k r kr r rr k r k r kr r rr krL B B B B pBp B p B p Bp B p B p Bp B+ + ++ + ++ + ++ + ++++ +− − − − −+ +− − − − − −+ +− −= ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕⊕ ⊕ ⊕ ⊕⊕ ⊕ ⊕ ⊕⊕ ⊕Используя теорему 5, получаем, что L - вполне характеристическая подгруппагруппы B. Учитывая строение группы B, имеемfL(0) = fB(0),fL(1) = fB(1),…………………… (***)fL(k - 1) = fB(k - 1),fL(k) = fB(k) + fB(k + 1) + … + fB(rk + 1 - 1),fL(q) = fB(rq) + … + fB (rq + 1 - 1), для всякого q > k (q  N0).Сравнивая (**) и (***), получаем, что L ≅ B. Так как L  B, то B являетсяIF-группой. Перейдем теперь к рассмотрению произвольных сепарабельных p-групп.Теорема 7. Сепарабельная p-группа не является IF-группой, если ее базиснаяподгруппа не является IF-группой.Доказательство. Пусть A - сепарабельная p-группа, у которой базисная под-группа B не является IF-группой. Не умаляя общности, можно считать, что A -редуцированная p-группа. Если A - ограниченная группа, то в силу теоремы 1A не является IF-группой (заметим, что в этом случае базисная подгруппа группыA совпадает с A). Пусть A - неограниченная группа. Предположим, что A -IF-группа. Тогда существует собственная вполне характеристическая подгруппа Sгруппы A, такая, что S ≅ A. Так как A - редуцированная сепарабельная p-группа,то A не содержит элементов бесконечной высоты [6, с. 7]. S - неограниченнаявполне характеристическая подгруппа группы A и поэтому S - широкая подгруппагруппы A [5, с. 423]. Следовательно, S  B - базисная подгруппа группы S[5, с. 422].Если S  B = 0, то, учитывая, что факторгруппа любой p-группы по ее базис-ной подгруппе является делимой группой, получаем, что S - делимая группа, чегобыть не может, так как A - редуцированная группа.Если S  B = B, то S содержит базисную подгруппу B группы A. ИмеемS + B = A, так как S - широкая подгруппа группы A; а из того, что B  S, следуетS + B = S, чего быть не может, так как S - собственная подгруппа группы A.Итак, S  B - собственная ненулевая подгруппа группы B. Так как S ≅ A, то ба-зисные подгруппы групп S и A также изоморфны, т.е. S  B ≅ B. Так как S - широ-кая подгруппа группы A, то S  B является широкой подгруппой группы B[7, следствие 2.8]. Итак, мы получили, что базисная подгруппа B группы A имеетсобственную вполне характеристическую подгруппу S  B, изоморфную B. Про-тиворечие. Теорема 8. Если неограниченная сепарабельная p-группа является IF-группой,то для нее существует допустимая последовательность, отличная от последова-тельности всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по возрастанию.Доказательство. Пусть A - неограниченная сепарабельная p-группа, являющаясяIF-группой и пусть B - ее базисная подгруппа. Тогда по теореме 7 B - IF-группа.Применяя теорему 6, получаем, что для группы B существует допустимая после-довательность, отличная от последовательности всех неотрицательных целых чи-сел, упорядоченных по возрастанию. Так как fA (k) = fB (k) для всякого k  N0[8, с. 186], то эта же последовательность будет допустимой и для группы A.Важную роль в теории абелевых p-групп играют периодически полные груп-пы. Периодически полной p-группой называется периодическая часть T(B) p-адического пополнения B прямой суммы B циклических p-групп ([6], с. 22).Впервые эти группы стал изучать Л.Я. Куликов, он называл их замкнутыми груп-пами [9].Теорема 9. Для периодически полной p-группы A следующие условия эквива-лентны:1) A является IF-группой;2) базисная подгруппа группы A является IF-группой;3) A - неограниченная группа, для которой существует допустимая последова-тельность, отличная от последовательности всех неотрицательных целых чисел,упорядоченных по возрастанию.Доказательство. 1) ∼ 2) Учитывая теорему 7, нужно доказать, только 2)  1).Пусть A - периодически полная p-группа и B - ее базисная подгруппа, являющая-ся IF-группой. В силу теоремы 1 B - неограниченная группа, и поэтому A - такженеограниченная группа. Так как B - IF-группа, то существует собственная вполнехарактеристическая подгруппа S группы B, такая, что B ≅ S. Понятно, что S явля-ется собственной широкой подгруппой группы B. Существует собственная широ-кая подгруппа S* группы A, такая, что S*  B = S [5, теорема 2.9], причем S - ба-зисная подгруппа группы S* [5, c. 422]. S* как широкая подгруппа периодическиполной группы является периодически полной группой [10]. Итак, получили, чтов группе A есть собственная вполне характеристическая подгруппа S*, такая,что базисная подгруппа B группы A изоморфна базисной подгруппе S группы S*.Так как A и S* - периодически полные группы, то A ≅ S*, то есть A являетсяIF-группой.2)  3) Пусть B - базисная подгруппа группы A, причем B является IF-груп-пой. Если A - ограниченная группа, то A = B. Следовательно, B - ограниченнаяIF-группа, что противоречит теореме 1. Если же A - неограниченная группа, тоB - неограниченная группа. Учитывая теорему 6 и то, что для каждого k  N0fA (k) = fB (k), получаем, что для группы A существует допустимая последователь-ность, отличная от последовательности всех неотрицательных целых чисел, упо-рядоченных по возрастанию.3)  1) Пусть A - неограниченная группа, для которой существует допустимаяпоследовательность, отличная от последовательности всех неотрицательных це-лых чисел, упорядоченных по возрастанию, то ее базисная подгруппа B обладаеттем же свойством. Тогда по теореме 6 B является IF-группой, и с учетом эквива-лентности 2) ∼ 1) группа A также является IF-группой. Будем говорить, что последовательность инвариантов Ульма - Капланскогонеограниченной сепарабельной p-группы A является периодической, если сущест-вует такое k  N, что для всех n  N0 выполняется равенство fA (n) = fA (n + k).Следствие 10. Пусть A - периодически полная p-группа. Если последователь-ность инвариантов Ульма - Капланского группы A является периодической, то A- IF-группа.Доказательство. Пусть A - периодически полная p-группа и существует та-кое k  N, что t Ењдля всех

Скачать электронную версию публикации