Torsion abelian afi-groups.pdf Настоящая работа посвящена изучению абелевых afi-групп. Все рассматри-ваемые группы абелевы, и слово «группа» всюду в дальнейшем означает «абелевагруппа». Под умножением на абелевой группе G понимается любой гомоморфизмƒ: G ⊗ G → G. Это умножение будем часто обозначать знаком ., то есть g1 . g2 =μ(g1; g2), где g1, g2  G. Абелева группа G с заданным на ней умножением . назы-вается кольцом на группе G, которое обозначается (G, .). Подгруппа A абелевойгруппы G называется ее абсолютным идеалом, если A является идеалом в любомкольце на G. Абсолютные идеалы изучались, например, в работах [1 − 3]. Так каклюбое умножение на группе G индуцирует некоторый эндоморфизм на ней, товсякая вполне характеристическая подгруппа группы G является ее абсолютнымидеалом. Но обратное неверно, в качестве примера рассматривается любая цикли-ческая подгруппа 〈a〉 группы G без кручения ранга 1 неидемпотентного типаt(G) = (, 1, 1, 1, … ). Так как на G может быть определено только нулевое умно-жение, то любая ее подгруппа является абсолютным идеалом, в частности, под-группа 〈a〉 − абсолютный идеал группы G. Но 〈a〉 не является вполне характери-стической подгруппой группы G, так как ƒ(a) ∉ 〈a〉, если ƒ(g) = (1/p1) g, g  G.В связи с этим возникает вопрос, в каких группах любой абсолютный идеалявляется вполне характеристической подгруппой. Такие группы называются afi-группами.В настоящей работе описаны afi-группы в классе вполне транзитивных перио-дических групп (в частности, сепарабельных периодических групп) и делимыхпериодических групп. Терминология и обозначения соответствуют [1].В [2] рассматривается подгруппа I(G) = 〈ƒ(G) ∣ ƒ  Hom(G, E(G))〉, которая яв-ляется идеалом кольца E(G) и доказывается следующая теорема:Теорема 1 [2]. Подгруппа A группы G является ее абсолютным идеалом тогдаи только тогда, когда ƒ(A)  A для всех гомоморфизм ƒ  I(G).Нетрудно видеть, что сумма и пересечение абсолютных идеалов группы Gтакже являются ее абсолютными идеалами. Наименьший абсолютный идеалгруппы G, содержащий элемент g называется абсолютным идеалом, порожден-ным элементом g в группе G и обозначается через 〈g〉AI. Этот идеал существует, аименно, он равен пересечению всех абсолютных идеалов группы G, содержащихэлемент g.Нетрудно доказать следующее предложениеПредложение 2. Группа G является afi-группой тогда и только тогда, когдаƒ(g)  〈gA〉I для любого g  G и любого ƒ  E(G).В классе периодических групп проблема описания afi-групп легко сводится кслучаю p-примарных групп.Предложение 3. Периодическая группа G является afi-группой тогда и толькотогда, когда каждая ее p-компонента Gp является afi-группой.Доказательство.Пусть G − afi-группа, p − простое число и Ap − произвольный абсолютный иде-ал группы Gp. Легко проверить, что Ap − абсолютный идеал группы G и поэтомуявляется вполне характеристической подгруппой группы G. Следовательно, Apявляется вполне характеристической подгруппой группы Gp и, значит, группа Gpявляется afi-группой.Пусть, наоборот, Gp является afi-группой для каждого простого числа p. ПустьA = ⨁p Ap − произвольный абсолютный идеал группы G и ƒ  E(G). Нетрудно до-казать, что Ap − абсолютный идеал группы Gp и поэтому является ее вполне ха-рактеристической подгруппой для каждого p. Тогда ƒ(A) = ⨁p ƒ(Ap) = ⨁p ƒp(Ap)  ⨁p Ap = A, где ƒp − суждение ƒ на Gp. Следовательно, группа G является afi-группой. В дальнейшем, будем рассматривать только p-группы.Теорема 4. Делимая p-группа G является afi-группой тогда и только тогда, ко-гда G = 0 или G ≅ ℤ(p).Доказательство. Очевидно, 0 является afi-группой. Так как любой эндомор-физм группы ℤ(p) является умножением на некоторое p-адическое число [1], тоƒ(g)  〈g〉  〈g〉AI для любого элемента g  ℤ(p) и эндоморфизма ƒ  E(ℤ(p)).Следовательно, ℤ(p) является afi-группой по предложению 2.Пусть G − делимая p-группа, G  0 и G  ℤ(p). Тогда G = ⨁i  I Gi, Gi ≅ ℤ(p),|I| > 1. Тогда Gi не является вполне характеристической подгруппой группы G, таккак ƒ(Gi) = Gj

Скачать электронную версию публикации