On a linear homeomorphism of spaces of continuousfunctions on subsets of the Sorgenfrey line.pdf В данной работе через I обозначается отрезок [0,1], наделенный топологиейЗоргенфрея. Базу окрестностей стей точки x∈I образует семейство множеств{( , ]: , } xβ = r x rg(tЃЊ).Докажем, что отображение g: →I1E является сюръекцией. Заметим, что лю-бая точка y ∈ I имеет вид1 2niiity==Σ , где ti∈{0,1}. Если 0 1 { } i it∞=t = Ѓё1E , то( ) y g 0 = t . Если 0 1 { } i it∞=t = ∉1E , то есть ( ) 0 0 00 1 2 , , , ,1,0,0, nt = t t t … …, возьмем точку( ) 0 0 01 2 , , , , 0,1,1, nt ′ = t t t … ….Тогда0 01 01 2 11 1( ) ( )2 2 2 2n ni ii i i ni i n it tg g y∞+= = + =t′ =Σ +Σ =Σ + =t= .Следовательно, y∈g(E1).Таким образом, отображение g является возрастающей биекцией множества E1на отрезок I и, следовательно, это отображение непрерывно. Очевидно, что ото-бражение g−1 также является возрастающей функцией и, значит, непрерывно. ■Следствие 6. Пространства Cp(I) и Cp(E1) являются линейно гомеоморфными.Предложение 7. Пространство Cp(E1) вкладывается линейно гомеоморфно идополняемо в пространство Cp(Dℵ0).Доказательство. Определим отображение φ:Cp(E1)→Cp(Dℵ0) , по формуле( )( ) ( ) 1 1, если( )( ),...., ,0,1,1... , если ,...., ,1,0,0... , n nxxx t t t t TѓУ =⎧⎨⎩ Ѓё = Ѓёt ttt1Eгде x∈Cp(E1).Нетрудно видеть, что функция φ(x) непрерывна на множестве Dℵ0, наделенномтопологией Зоргенфрея, и φ - оператор продолжения, который каждой функции x,заданной на E1, ставит в соответствие её продолжение на множество Dℵ0. Непре-рывность и инъективность этого оператора очевидны. Обратный оператор φ−1 -это оператор сужения, который также является непрерывным.Оператор проектирования P:Cp(Dℵ0) → φ(Cp(E1)) определяется формулойPx = φ( x )1E . ■Используя следствие 3 и следствие 6 , имеемСледствие 8. Пространство Cp(I) вкладывается линейно гомеоморфно и до-полняемо в пространство Cp(E).Доказательство теоремы 1. Поскольку Cp(E) дополняемо вкладывается впространство Cp(I), согласно предложению 4, то Cp(I)∼Cp(E).N, где N - замкну-тое линейное подпространство в Cp(I). Аналогично, используя следствие 8, полу-чаем Cp(E)∼Cp(I).M, где M - замкнутое линейное подпространство в Cp(E). Не-трудно видеть, что оба пространства Cp(E) и Cp(I) линейно гомеоморфны своимквадратам, то естьCp(I))∼Cp(I).Cp(I) и Cp(E)∼Cp(E).Cp(E).Применяя схему разложения Пелчинского [3], получаемCp(E)∼Cp(I).M∼Cp(I).Cp(I).M∼Cp(I).Cp(E)∼Cp(E).Cp(E).N∼Cp(E).N∼ Cp(I). ■Используя результат Архангельского ([4], следствие 4) и тот факт, что на пря-мой Зоргенфрея каждое счетно-компактное множество является компактным, по-лучаем следующий результат.Теорема 2. Пространства Cс(I) и Cс(E) линейно гомеоморфны в топологиикомпактной сходимости.

Скачать электронную версию публикации