Nonholonomic torses of the second kind in the four-dimensional euclideanspace.pdf Гладкое отображение Δ, сопоставляющее (или области )трехмерную плоскость , проходящую через , называется трехмерным распре-делением в [1, с. 683; 2, с.19]. По распределению Δ однозначно определяетсяуравнение Пфаффа, обладающее тем свойством, что все его интегральные много-образия, проходящие через , касаются в этой точке плоскости . РаспределениеΔ голономно, если определяемое им уравнение Пфаффа вполне интегрируемо и -неголономно в противном случае. Его интегральные кривые - это кривые распре-деления. Пара , называется плоским элементом; плоскость - плоскостьюраспределения в точке , прямая , проходящая через ортогонально , - нор-малью распределения в точке . Множество всех плоских элементов , представляет собой четырехмерное многообразие.Для неголономного распределения Δ определены два важных инварианта: - полная кривизна 1-го рода и - полная кривизна 2-го рода. В голономном слу-чае есть гауссова кривизна интегральной поверхности, проходящей через. Равенство нулю гауссовой кривизны характеризует развертывающиеся по-верхности (торсы). Поэтому неголономное распределение, для которого 0,естественно назвать неголономным торсом 2-го рода (НТ-2). (Аналогично, еслидля Δ - инвариант 0, то это характеристика неголономного торса 1-го рода(НТ-1)). Данная работа посвящена изучению НТ-2 в четырехмерном евклидовомпространстве.Предварительные сведенияВыберем подвижной ортонормированный репер , следующим образом.Векторы , , поместим в плоскость , вектор направим по нормали плос-кости в точке . Пусть - радиус-вектор точки . Деривационные формулырепера запишем в следующем виде: , (0.1) ,где , , , , , !1!,!4!.При таком выборе репера уравнение Пфаффа, определяемое распределениемΔ, имеет вид 0.Формы Пфаффа , - главные формы [3, с.288]. Из них - базисные фор-мы, и поэтому #. (0.2)По матрице $#% &'# # ## # ## # ####0 0 0 0 ()определяем линейный оператор #, назовем его основным линейным оператором.Инварианты оператора # являются важнейшимими инвариантами распределенияΔ. Оператор # допускает сужение # на плоскость . Матрица# *# # ## # ## # #+оператора # для неголономного распределения несимметрична. Симметричнуючасть оператора # обозначим ,, а кососимметричную через ,. Матрицы опера-торов , и , имеют соответственно вид, &- - -'## .#2# .#2# .#2## .#2# .#2# .#2#(0 0 0)и , &-'000 (0).Обозначим1 , 1 , 1 , (0.3)тогда , *0 1 11 0 11 1 0+.Кососимметричный тензор с матрицей ,, называется тензором неголономно-сти. Он обращается в нуль (1 1 1 0) тогда и только тогда, когда рас-пределение Δ голономно.Собственные значения оператора #, взятые с противоположными знаками,- это главные кривизны второго рода $, , %. Собственные векторыоператора #определяют главные направления 2-го рода. Линия распределенияΔ, в каждой точке которой касательный вектор имеет главные направления2-го рода, называется линией кривизны 2-го рода.Вдоль линии кривизны 2-го рода нормали распределения образуют торс, точкаребра возврата которого на нормали имеет координату, обратную главной кри-визне 2-го рода [4, с. 62].Полной кривизной 2-го рода называется инвариант det# .Аналогичным образом с оператором , связаны понятия главных кривизн 1-города $, , %, главных направлений 1-го рода и линий кривизны 1-го рода.Главные кривизны 1-го рода в точке - это экстремали нормальных кривизнкривых распределения, проходящих через точку [4, с.64].Полная кривизна 1-го рода det, .Полные кривизны 1-го и 2-го рода связаны следующей зависимостью [4, с. 64]: 1 1 1. (0.4)Отсюда заключаем: если распределение Δ голономно, то . Но если , то это еще не значит, что Δ голономно. Пример неголономного распре-деления Δ, для которого , рассмотрим в конце данной работы.Последний столбец матрицы $#% основного оператора # определяет векторкривизны 5! линии тока нормалей распределения Δ, а именно5! # .# .# .В дальнейшем будем обозначать # 6,# 7,# 8.Определение. Трехмерное распределение Δ, для которого полная кривизна2-го рода равна нулю, называется неголономным торсом 2-го рода в .Переходим к рассмотрению неголономных торсов 2-го рода (НТ-2) в .НТ-2 разделим на три класса в зависимости от значений главных кривизн 2-города.I. НТ-2, для которых только одна главная кривизна второго рода равна нулю 0.II. НТ-2, для которых две главных кривизны 2-го рода нули, а третья главнаякривизна второго рода отлична от нуля 0,9 0.III. НТ-2, для которых все три главные кривизны 2-го рода имеют нулевыезначения 0.Исследуем геометрию каждого из этих видов.I. Неголономные торсы 2-го рода, для которых только однаглавная кривизна 2-го рода равна нулю1. Главные кривизны 2-го рода для НТ-2 общего вида.Линии кривизны второго родаОбозначим главную кривизну второго рода равную нулю через . Направимвектор по главному направлению второго рода, соответствующему 0.Тогда координаты вектора должны удовлетворять системе уравнений#: .#: .#: 0,#: .#: .#: 0,#: .#: .#: 0.Так как для имеем : 1,: 0,: 0, то# # # 0. (1.1.1)И определитель матрицы # будет иметь вид0 # #0 # #0 # #;.Отсюда получаем собственные значения оператора #: < 0 ,# ## #> 9 0. (1.1.3)Итак, одна из главных кривизн 2-го рода 0, две другие, не равные нулю,могут быть как действительными так и мнимыми числами. Следовательно, черезточку проходит, по крайне мере, одна действительная линия кривизны 2-го ро-да. Линии кривизны 2-го рода, соответствующие 0, имеют уравнения 0. (1.1.4)Предложение 1. Линия кривизны 2-го рода, соответствующая 0, ле-жит в плоскости .Действительно, вдоль линии (1.1.4) вектор нормали к π постоянен, так как . . 0 в силу условий # # # 0. ■Определение. Эквидерекционной линией (поверхностью) называется линия(поверхность), в точках которой векторы нормалей распределения параллельны[5, с. 32].Предложение 2. Для НТ-2 класса 0,9 0,9 0 через каждуюточку проходит одна эквидирекционная линия, совпадающая с той линией кри-визны 2-го рода, которая соответствует нулевой главной кривизне 2-го рода.Доказательство. Находим уравнения, определяющие эквидирекционные линии.Так как в их точках нормали НТ-2 параллельны, то единичные векторы e посто-янны. Следовательно e 0. Используя формулы (0.1), (0.2), (1.1.1) получаем# .# .6 0,# .# . 7 0, (1.1.5)# .# . 8 0.В общем случае система (1.1.5) линейно независима и определяет единственнуюэквидирекционную линию, проходящую через и совпадающую с линией кри-визны 2-го рода (1.1.4). ■2. Множество плоскостей ?для НТ-2 с одной нулевойглавной кривизной 2-го родаДля произвольного трехмерного распределения Δв множество плоскихэлементов , зависит от четырех параметров. Однако множество плоскостей может зависеть от меньшего количества параметров. Имеет место следующаятеорема.Теорема 1. Множество плоскостей для НТ-2 с одной нулевой главной кри-визной 2-го рода зависит от трех параметров.Доказательство. Находим характеристику плоскости при любом смещении:@ 0,21 21 . 6@ . # .# . 7@ ..# .# . 8@ 0. (1.2.1)Формы , , , от которых зависит характеристика, линейно зависимы. Такимобразом, множество плоскостей зависит от трех параметров. ■Теорема 2. Плоскость для НТ-2 класса 0,9 0,9 0 имееттолько одну характеристическую точку (собственную или несобственную).Доказательство. Находим характеристику плоскости при любом смеще-нии. Из (1.2.1) получаем@ 0,21@ .#@ .#@ 0,21@ .#@ .#@ 0,6@ . 7@ . 8@ 1.Обозначим A ;21 # #21 # #6 7 8;. При A 9 0 имеем@ ># ## #>A, @ ># 21# 21>A, @ >21 #21 #>A. 1.2.2Таким образом, плоскость имеет одну характеристическую точку@, @, @, 0. Эта точка будет собственной при A 9 0 и несобственной - приA 0.Возможны три случая: а) плоскость огибает трехмерную поверхность (об-щий случай); б) точка неподвижна, то есть является общей для всех плоско-стей (неголономный конус); с) Точка - несобственная точка (неголономныйцилиндр). Переходим к рассмотрению этих случаев.3. Канонический репер для НТ-2 класса B C,B9 C,B9 Cобщего вида. Основные формулыНаправив вектор ортогонально касательной к линии кривизны 2-го рода,соответствующей 0, и к прямой получим ортонормированный кано-нический репер , , , для данного класса НТ-2. В нем имеют место фор-мулы># 1# 1> 0, ># ## #> 9 0, A 6># ## #> . 8 >21 #21 #> 9 0, (1.3.1)21 # #.Прямая определяется уравнениями2 >1 #1 #> @ ># ## #> @ 0, (1.3.2)@ @ 0.Средняя кривизна НТ-2: = # .#.tgE 21# .1### ##,где E - угол между касательной к линии кривизны 2-го рода, соответствующей 0, и прямой .Формулы (0.2) для данного класса НТ-2 имеют вид 21 21 . 6, # .# . 7, (1.3.3) # .# . 8.4. Асимптотические линии НТ-2 общего видаНаходим уравнения асимптотических линий НТ-2. Для них , , , 0. Отсюда, используя формулы (1.3.3), получаем# .# . 21 21 . # .# 0, 0. (1.4.1)Касательные к асимптотическим линиям в точке образуют конус 2-го порядка:#@ .#@ .21@@ 21@@ . # .#@@ 0,@ 0. (1.4.2)Предложение 1. Линия кривизны 2-го рода НТ-2, соответствующая нулевойглавной кривизне 2-го рода, является асимптотической линией, лежащей в плос-кости .Справедливость данного утверждения вытекает из (1.4.1) и (1.1.4), а также из то-го факта, что вдоль нее 0. То есть вектор , ортогональный , постоянен. ■Предложение 2. Точка принадлежит асимптотическому конусу.Доказательство. Точка имеет координаты@ ># ## #>A, @ 0,@ >21 #21 #>A, @ 0.Легко проверить, что @, @, @ , @ удовлетворяют уравнениям конуса(1.4.2). ■Следствие. Прямая является касательной к одной из асимптотическихлиний, проходящих через точку . ■Предложение 3. Асимптотическая линия, касающаяся прямой , являетсяпространственной кривой.Доказательство. Уравнения линий, касающихся прямой , имеют вид2#1 .#1 ## ## 0, 0. (1.4.3)Вдоль линии (1.4.3) получаем 21 .# .# 9 0,То есть вектор e меняет свое направление, а следовательно, и плоскость меня-ется. Это значит, что линия (1.4.2) не лежит в плоскости . ■Предложение 4. Характеристика плоскости при смещении по любой кри-вой НТ-2 (кроме линии кривизны 2-го рода) есть двумерная плоскость, проходя-щая через прямую .Доказательство. Находим характеристику плоскости при ее смещении полюбой кривой НТ-2, то есть по любой интегральной кривой уравнения 0.Получим@ 0,21 21@ . # .#@ . # .#@ 0.Отсюда видно, что вдоль линии кривизны 2-го рода (1.1.4) (как и следовало ожи-дать) плоскость неподвижна. Вдоль линий 0 и 0, касающихся двух линейно независимых направлений, характеристика-ми плоскости будут соответственно 2-мерные плоскости21@ .#@ .#@ 0,@ 0и 21@ #@ #@ 0,@ 0.Легко проверить, что эти плоскости пересекаются по прямой . ■Предложение 5. Характеристика плоскости при смещении по линии токавекторного поля нормалей НТ-2 - это двумерная плоскость, проходящая через ортогонально вектору кривизны линии тока.Доказательство. Характеристика плоскости при смещении по линии тока 0 векторного поля { } определяется уравнениями@ 0, (1.4.4)6@ . 7@ . 8@ 1.Вектор кривизны линии тока - это вектор5! 6 .7 .8 . (1.4.5)Из (1.4.4), (1.4.5), (1.3.1) видим, что двумерная плоскость (1.5.4) проходит черезточку и ортогональна вектору 5!. ■5. Неголономный конус класса B C,B9 C,B9 CОпределение. Неголономный торс 2-го рода класса 0, 9 0, 9 0,все плоскости которого проходят через одну точку, называются неголономнымконусом класса 0,9 0,9 0.Неподвижная точка называется вершиной неголономного конуса. Находимусловия, определяющие неголономный конус данного класса. Требуем неподвиж-ности точки : . @ .@ 0.Отсюда следует .@ . @ 0, . @ . @ 0, (1.5.1) .@ . @ 0.Предложение 6. Асимптотическая линия неголономного конуса класса 0,9 0,9 0, касающаяся прямой , является прямой линией.Для доказательства данного предложения достаточно показать, что вектор!!!!!! @ .@ не меняет своего направления при смещении по асимптотиче-ской линии (1.4.3). Учитывая (1.3.3), (1.4.3), (1.5.1), получаем@ .@ 1@@ .@ ,что и означает неизменность направления асимптотической линии, касающейсяпрямой . ■Нормаль e неголономного конуса, как и для НТ-2 общего вида, вдоль асимп-тотической меняет свое направление, а следовательно, меняет свое поло-жение касательная плоскость неголономного конуса вдоль .Доказывается это свойство так же, как и для НТ-2 общего вида.6. Неголономный цилиндр класса B C,B9 C,B9 CОпределение. Неголономным цилиндром класса 0,9 0,9 0называется НТ-2 данного класса, плоскости которого параллельны однойпрямой.Для неголономного цилиндра точка становится бесконечно удаленной.Следовательно A 0, то есть6## ##. 281# .1# 0. (1.6.1)Вектор ## ## .21# . 1# , или 8 6 , не меняет своегонаправления, то есть8 6 . ># ## #> . ># ## #> 0, (2.1.1)< # .# .# 9 0, < < 0.Для главного направления 2-го рода :, :, :, соответствующего < < 0,имеем#: .#: .#: 0,#: .#: .#: 0, (2.1.2)#: .#: .#: 0.Направим вектор по данному главному направлению 2-го рода, тогда из (2.1.2)и (2.1.1) получим# # # 0, ># ## #> 0,< # .# 9 0 . (2.1.3)Находим главное направление : второго рода, соответствующее кривизне9 0, для него имеем# .#: .#: .#: 0,#: .#: 0.Отсюда : ## .## # .# .Направим вектор H I , :J, получим # 0, # 9 0. С этого момента реперстал каноническим. Относительно него главное направление 2-го рода, соответст-вующее кривизне 0, 0 определяется вектором , а направление, со-ответствующее 9 0 есть направление вектора: # . (2.1.4)Из (2.1.3) и (0.2) следует # 0, #, # 21.Линии кривизны 2-го рода, соответствующие кривизне 0, опре-деляются уравнениями 0. (2.1.5)Линии кривизны 2-го рода, соответствующие 9 0, определяются уравне-ниями 21 0, 0. (2.1.6)Касательные к линиям кривизны 2-го рода (2.1.5) и (2.1.6) лежат в плоскости@ @ 0. Угол E между ними вычисляется по формулеcos E . (2.1.7)2. Основные формулы для НТ-2 класса B9 C,B C,B CИспользуя равенства (2.1.3), (0.2), (0.3), получим формулы (0.1) в канониче-ском репере для данного класса НТ-2: 21 21 . 6, 7, (2.2.1) 21 . 8.где 9 0 - главная кривизна 2-го рода, 1, 1, 1 - компоненты тензора него-лономности, 6, 7, 8 - проекции вектора кривизны линии тока нормали на коорди-натные оси.Из (2.2.1) следует, что эквидирекционные линии ( линии, вдоль которых век-торы поля нормалей !!!! распределения Δ параллельны) определяются уравне-ниями 0,то есть совпадают с линиями кривизны 2-го рода, соответствующими 0. Другими словами вдоль всякой линии кривизны 2-го рода, соответст-вующей 0, нормали распределения описывают цилиндр.3. Множество касательных плоскостей НТ-2класса B9 C,B C,B CТеорема 1. Множество касательных плоскостей НТ-2 класса 9 0, 0, 0 зависит от трех параметров.Доказательство. Находим характеристику плоскости @ 0 (2.3.1)21 21 . 6@ . 7@ . 21 . 8@ 0.Равенство (2.3.1) содержит три независимые формы. Следовательно, множествокасательных плоскостей зависит от трех параметров для НТ-2 рассматриваемоговида. ■Характеристическая точка плоскости имеет координаты0,17, 0, 0Таким образом, касательные плоскости НТ-2 класса 9 0, 0 оги-бают в общем случае трехмерную поверхность, состоящую из точек . Эта по-верхность является особой поверхностью распределения Δ данного класса.4. Асимптотические линии НТ-2 класса B9 C,B B CАсимптотические линии находятся из условия, , , 0.В результате соответствующих вычислений получаем .21 . 21 21 0, 0. (2.4.1)Касательные к асимптотическим линиям, проходящим через точку , образуютконус 2-го порядка, лежащий в плоскости :@ .21@@ .21@@ 21@@ 0,@ 0. (2.4.2)Предложение 1. Линия кривизны 2-го рода, соответствующая 0,является асимптотической линией, лежащей в плоскости .Справедливость утверждения следует из (2.4.1), (2.1.5), а также из того факта,что вдоль нее нормали e НТ-2 параллельны.Предложение 2. Линия кривизны 2-го рода, соответствующая 9 0, не яв-ляется асимптотической линией.В этом можно убедиться, сравнив уравнения (2.4.1) и (2.1.6).Предложение 3. Линия кривизны 2-го рода, соответствующая 9 0, явля-ется пространственной кривой.Вычислим вдоль данной линии . Получаем 21 9 0.это означает, что рассматриваемая линия не является плоской (не лежит в плоско-сти π). ■Предложение 4. Характеристическая точка плоскости лежит на ка-сательных к асимптотическим линиям, проходящим через точку .Действительно, координаты точки 0,, 0, 0 удовлетворяют уравнениям(2.4.2), определяющим конус касательных к асимптотическим линиям. ■Следствие. Кривая, проходящая через , касающаяся прямой являетсяасимптотической линией.Данное утверждение непосредственно следует из предложения 4.Рис. 1. Конус касательных к асимптотическим линиям с вершинами в точке М.Касательные к линиям кривизны 2-го рода.5. Неголономные конусы класса B9 C,B C,B CОпределение. Неголономный торс 2-го рода класса 9 0, 0, 0,все плоскости которого проходят через одну точку, называется неголономнымконусом данного класса.По определению, для данного конуса точка 0,, 0, 0 постоянная, то есть N .O 0.Отсюда следует7 7, 7, (2.5.1) 7.Точка называется вершиной неголономного конуса, она является особой точ-кой распределения Δ.Предложение 1. Асимптотическая линия , касающаяся в точке прямой ,является прямой линией для неголономного конуса класса 9 0, 0, 0.Действительно, касательный вектор асимптотической линии 0 остается постоянным, так как в силу (2.5.2) имеем 7 . . 0. ■Предложение 2. Касательная плоскость вдоль асимптотической линии,касающейся в точке прямой , меняет свое положение при движении вдольданной асимптотической.Действительно, вдоль данной асимптотической линии 0 еди-ничный вектор нормали плоскости меняет свое положение, так как при 0 имеем 21 21 9 0. А следовательно, меняетсвое положение и плоскость . ■6. Неголономные цилиндры класса B9 C,B B CОпределение. Неголономным цилиндром класса 9 0, 0 назы-вается НТ-2 этого класса, плоскости которого параллельны одной прямой.Характеризуется неголономный цилиндр данного класса условиями7 0, 0. (2.6.1)Уравнения 0 определяют асимптотические линии, являющиесяпрямыми линиями. Но вдоль них ( как и для неголономного конуса) плоскости распределения меняют свое положение.III. Неголономные торсы 2-го рода, для которых все главныекривизны 2-го рода равны нулю (B B B C1. Канонический репер для НТ-2 класса B B B C.Основные формулыДля данного класса НТ-2 имеем;# # ## # ## # #; 0,># ## #> . ># ## #> . ># ## #> 0,# .# .# 0.Через каждую точку пройдет только одна линия кривизны 2-го рода, соот-ветствующая 0. Направим вектор по главному направлению 2-го рода,тогда получим # # # 0, # .# 0,># ## #> 0,1 12# #, 1 12#, 1 12#или # # # 0, # #, (3.1.1)# .## 0, # 21, # 21, # # 21.Множество плоскостей распределения Δ зависит от трех параметров, таккак в уравнения@ 0,21 21 . 6@ . # .# . 7@ .. # # . 8@ 0,определяющие характеристики плоскости , входят три независимые формы, , .Находим характеристическую точку плоскости :@ 0,21@ .#@ #@ 0,21@ .#@ .#@ 0, (3.1.2)6@ . 7@ . 8@ 1.Отсюда имеемP0,1# .1#-721# 1# . 81# . 1#,1# . 1#R, 0S.Направим вектор H , тогда 1# 1#,T0,0,1с, 0Vи репер стал каноническим. Плоскости огибают трехмерную поверхность, со-стоящую из точек .Для НТ-2 данного класса эта поверхность является особой поверхностью.Основные формулы для НТ-2 класса 0 в каноническом ре-пере имеют вид 21 21 . 6, 21 . 7, (3.1.3) 8.2. Асимптотические линии и линии кривизны 2-го родаНТ-2 класса B B B C общего видаАсимптотические линии для данного класса НТ-2 определяются уравнениями1 .1 1 0, 0. (3.2.1)Касательные к ним в точке образуют конус 2-го порядка, лежащей в плоскости:1@@ . 1@@ 1@@ 0,@ 0. (3.2.2)Точка лежит на конусе (3.2.2), следовательно, прямая - касательная касимптотической линии 0. (3.2.3)Эта асимптотическая линия является пространственной кривой.Линии кривизны 2-го рода определяются уравнениями 0. (3.2.4)и также являются асимптотическими линиями. Через каждую точку проходитлишь одна линия кривизны 2-го рода. Она лежит в плоскости , проходящей че-рез эту точку.3. Неголономный конус класса B B B CОпределение. НТ-2 класса 0, все плоскости которогопроходят через одну точку, называется неголономным конусом данного класса.По определению для данного неголономного конуса точка N0,0,, 0O не-подвижна. Следовательно N .O 0. Отсюда получаем 8, 8, (3.3.1) 8,8 8.Асимптотические линии неголономного конуса обладают следующими свой-ствами.Предложение 1. Асимптотическая линия неголономного конуса класса 0, касающаяся прямой , является прямой линией.Действительно, касательный вектор данной линии не меняется вдоль неетак как 0 в силу равенств (3.3.1) и (3.2.3). ■Предложение 2. Касательная плоскость вдоль асимптотической линии,касающейся , меняет свое положение при движении вдоль данной асимпто-тической линии.Действительно, вектор нормали плоскости меняет свое положение вдольданной асимптотической, так как 21 .21 9 0. Следовательно,меняет свое положение и плоскость . ■4. Неголономные цилиндры класса B B B CОпределение. НТ-2 класса 0, плоскости которого па-раллельны одной прямой, называется неголономным цилиндром данного класса.Характеризуется неголономный цилиндр класса 0 усло-виями8 0, 0. (3.4.1)В общем случае для неголономного цилиндра, как и для неголономного конусачерез каждую точку проходит множество асимптотических линий, касательныекоторых образуют конус 2-го порядка вида (3.2.2). Асимптотическая линия 0 - прямая линия. Линия кривизны 2-го рода является одновре-менно асимптотической линией и эквидирекционной.Теорема. Существует единственный неголономный цилиндр класса 0 с постоянным тензором неголономности и прямыми линиямитока нормалей.Доказательство. Неголономный цилиндр класса 0 с пря-мыми линиями тока нормалей и постоянным тензором неголономности характе-ризуется тем, что для него 6 7 8 0, 1 8W5XY, 1 8W5XY, 1 8W5XY. По-этому формулы (3.1.4) и (3.4.1) имеют вид 21 21, 21, 0, 0, (3.4.2) 0.Из (3.4.2) получаем 0,1 0.Деривационные формулы репера в результате принимают вид . . . , 21 21 , 0, (3.4.3) 0, 21 21 .Система (3.4.3) вполне интегрируема. Переходим к ее интегрированию. Заметим,что 21 21, 0, 0, 21 21.Отсюда и из (3.4.3) следует Z, [, \ , \ , (3.4.4)где \ , \ - постоянные векторы.Обозначим E 21Z 21[, тогда E 21Z 21[ иE ,E .Следовательно, \ cosE.\ sinE, \ sinE\ cosE.Заметим, что векторы {\ , \ , \ , \ } образуют постоянный ортонормированныйбазис в . В этом базисе имеем @\ .Z\ .[\ .Y\ ,где @ cos E . sin E (3.4.5)Y sin E cos E.Из (3.4.5) находим cos21Z 21[ @ . sin21Z 21[ Y, sin21Z 21[ @ cos21Z 21[ Y.Таким образом, в некоторой неподвижной декартовой системе координат,уравнение Пфаффа, соответствующее неголономному цилиндру класса 0 с постоянным тензором неголономности и прямыми линиямитока нормалей, имеет видsin21Z 21[ @ cos21Z 21[ Y 0, (3.4.6)1 8W5XY 9 0,1 8W5XY 9 0.Итак, мы доказали, что существует единственное (с точностью до положения впространстве) распределение Δ:@, Z, [, Y ` , удовлетворяющее условиямтеоремы. Плоскость , соответствующая точке @, Z, [, Y, имеет уравнениеsin21Z 21[ a @ cos21Z 21[ b Y 0. (3.4.7)a, c, d, b - текущие координаты плоскости . Распределение Δ определено вовсем пространстве и не имеет особых точек. ■Замечание. В для неголономного цилиндра класса 0 спостоянным не равным нулю тензором неголономности и прямыми линиями токанормалей кривизна 0. Следовательно, для него равны нулю обе полныекривизны 0. И тем не менее данное распределение остается неголо-номным, что было бы невозможно для гиперраспределения в .Переходим к нахождению уравнений основных линий неголономного цилиндракласса 0 с постоянным тензором негололономности и пря-мыми линиями тока.Уравнения находим в той неподвижной системе координат, в которой получе-но уравнение (3.4.7), определяющее данное распределение.a) Векторное поле нормалей распределения - это поле векторов5! sin21Z 21[ \ cos21Z 21[ \ . (3.4.8)b) Эквидирекционные поверхности представляют собой трехмерные плос-кости1Z 1[ С. (3.4.9)c) Асимптотические линии заполняют пару двумерных плоскостей1Z 1[ С, (3.4.10)sin 2С @ cos2С Y С,иcos 2С @ . sin2СY С, (3.4.11)sin2С @ cos2С Y С,пересекающиеся по прямой1Z 1[ С, (3.4.12)@ Сcos2 С . Сsin2 С,Y Сsin2 С Сcos2 С,С, С, С 8W5XY.d) Линии кривизны 2-го рода - прямые, совпадающие с прямыми (3.4.12).e) Главные кривизны 1-го рода: 0, f1 . 1, f1 . 1.Им соответствуют главные направления 1-го рода:: 1\ .1\ ,: f1 . 1\cos E .\sin E 1\ .1\ ,: f1 . 1\cos E .\sin E. 1\ 1\ .Таким образом, в каждой точке существуют три взаимно ортогональныхглавных направления 1-го рода.f) Находим уравнения линий кривизны 1-го рода. Линии с кривизной 0- прямые, совпадающие с асимптотическими (3.4.12) и с линиями кривизны 2-города.Линии с кривизнами f1 . 1 и f1 . 1 опреде-ляются соответственно уравнениями1Z .1[ 6, (3.4.13)@ 12f1 . 1sing21Z 1[h. 6,Y 12f1 . 1cosg21Z 1[h .6и 1Z .1[ 7, (3.4.14)@ 12f1 . 1sing21Z 1[h . 7,Y 12f1 . 1cosg21Z 1[h . 7.g) Линии кривизны 1-го рода (3.4.13) и (3.4.14), проходящие через точку@, Z, [, Y, лежат на двух трехмерных цилиндрах:g@ @sing21Z1[hh . (3.4.15).gY Y.12f1 . 1cosg21Z1[hh 141 . 1и g@ @.sing21Z 1[h . (3.4.16).gY Y12f1 . 1cosg21Z1[h 141 . 1одинакового радиуса с общей двумерной образующей@ @,Y Y. (3.4.17)Плоскость Y Y - это общая касательная плоскость цилиндров. Эквиди-рекционная плоскость 1Z 1[ 1Z1[ ортогональна плоскости .Третья линия кривизны 1-го рода (прямая линия), проходящая через точку@, Z, [, Y, имеет уравнения@ @, Y Y,1Z 1[ 1Z 1[. (3.4.18)То есть является линией пересечения общей образующей цилиндров (3.4.16),(3.4.17) и эквидирекционной плоскости.Заметим, что неголономный цилиндр не имеет особых точек. Это означает, чтоповедение всех найденных кривых и поверхностей для него проще представить,если рассмотреть их для плоского элемента , , в начале координат.Итак, в точке 0,0,0,0плоскость имеет уравнение Y 0, а вектор норма-ли 0,0,0,1. Эквидирекционная плоскость - это трехмерная плоскость1Z 1[ 0. (3.4.19)Асимптотические линии заполняют две двумерные плоскости, пересекающиесяпо прямой1Z 1[ 0, (3.4.20)@ 0, Y 0,совпадающей с линией кривизны 2-го рода, а также с линией кривизны 1-го рода,соответствующей 0.Линии кривизны 1-го рода, соответствующие кривизнам, Ff1 . 1, имеют уравнения1Z .1[ 0, (3.4.21)2f1 . 1 · @ sing21Z 1[h,2f1 . 1 · Y cosg21Z 1[h 1и 1Z .1[ 0, (3.4.22)2f1 . 1 · @ sing21Z 1[h,2f1 . 1 · Y cosg21Z 1[h .1.Из (3.4.21) и (3.4.22) видим, что данные линии кривизны 1-го рода лежат в трех-мерной плоскости 1Z .1[ 0, ортогональной эквидирекционной плоскости,на двух цилиндрах@ . Y .12f1 . 1 141 . 1и@ . Y 12f1 . 1 141 . 1одинакового радиуса и с общей образующей@ Y 0,лежащей в плоскости Y 0. Этой общей образующей является линия кри-визны 1-го рода, соответствующая кривизне 0 (см. рис. 2).Рис. 2

Скачать электронную версию публикации