Contact affect of a rigid element on an elastic cylindrical body.pdf Определяющие уравненияВ настоящей работе нас будут интересовать максимальные локальные нор-мальные и касательные напряжения, возникающие в зоне контакта цилиндра сжестким элементом, то есть другим телом, обладающим менее выраженной спо-собностью к деформированию, в данном случае - абсолютно твердым элементом.Величина этих напряжений будет зависеть от степени деформации и от упругихсвойств материала цилиндра. Поэтому изначально решение будем строить в пе-ремещениях, а затем, используя реологическую модель линейного упругого тела,найдем компоненты тензора искомых напряжений внутри тела и на границе.Уравнения равновесия в перемещениях, записанные в цилиндрических коор-динатах, имеют вид [1]( )22 22 1 01 2u v u fr r r Gϕ ƒ ƒ + − + + =ϕ − ƒ ϕ; (1)22 22 1 01 2 rv u v fr r r G ƒ ƒ − − + + =ϕ − ƒ ; (2)2 1 0w1 2 fzz Gƒ ƒ + + =− ƒ ; (3)1vr 1u wr r r z  ƒ = + + ϕ , (4)где u, v, w - окружное, радиальное и осевое смещения точки; r, ƒ, z - цилиндриче-ские координаты; ƒ - плотность среды; fr, fƒ, fz - проекции массовой силы на осивыбранной системы координат; ƒ - объемная деформация;2(1 )G = E+ ƒ- модульупругости при сдвиге; ƒ - коэффициент Пуассона; E - модуль Юнга;2 222 2 21 r 1r r r r z =  ⎛⎜⎝  ⎞⎟⎠+ ϕ + - оператор Лапласа.В дальнейшем будем полагать, что нагрузки, прилагаемые к контактирующимэлементам системы, настолько значительны, что их собственным весом по срав-нению с нагрузками можно пренебречь, а силы электромагнитной природы вооб-ще не будем принимать к рассмотрению, так чтоfr=fϕ =fz=0 .Подставляя (4) в (1) - (3) и раскрывая оператор Лапласа, получим следующуюсистему определяющих уравнений в перемещениях:( )2 2 2 22 2 2 2 21 1 1 1 0 ⎛⎜⎝  ⎞⎟⎠+ ϕ + − + + ϕ+ − ϕ+ − ϕ=ru b u u u b v b vb wr r r r z r r r r z; (5)( )2 2 2 22 2 2 2 21 1 1 1 0 ⎛⎜⎝  ⎞⎟⎠+ ϕ + − − + ϕ+ − ϕ+ −   =b rv v v bvb u b u b wr r r r z r r r r r z; (6)( )2 2 2 22 2 21 rw 1 wb wb1vb1 u b1 v 0,r r r r z r z r z r z ⎛⎜⎝  ⎞⎟⎠+ ϕ +  + −  + − ϕ + −  =(7)где 2 21 2b− ƒ=− ƒ.Следует сказать, что при формулировке задач теории упругости в компонентахперемещений как основных функций уравнения совместности деформаций удов-летворяются автоматически [2, с. 50].Разностная схемаУмножим каждое из определяющих уравнений на r2 и аппроксимируем произ-водные в уравнениях (5) - (7) симметричными разностями на неравномерной сет-ке, получим( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), 1, ,, ,, , 1, 1,, ,,, , 1, , , , 1 , , , , , , 1 , , 0w i j k i j k e i j k i j k s i j k i j kn i j k i j k b i j k i j k t i j k i j k i j k pa u u a u u ba u uba u u a u u a u u u s+ − +− + −− − − + − −− − + − − − − + = ; (8)( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), 1, ,, ,, , 1, 1,, ,,, , 1, , , , 1 , , , , , , 1 , , 1 0w i j k i j k e i j k i j k s i j k i j kn i j k i j k b i j k i j k t i j k i j k i j k pba v v ba v v a v va v v a v v a v v bv s+ − +− + −− − − + − −− − + − − − − + = ; (9)( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), 1, ,, ,, , 1, 1,, ,,, , 1, , , , 1 , , , , , , 1 2 0w i j k i j k e i j k i j k s i j k i j kn i j k i j k b i j k i j k t i j k i j k pa w w a w w a w wa w w ba w w ba w w s+ − +− + −− − − + − −− − + − − − + = , (10)где( 1)( 1 1)2ni i i ia− + −=ϕ − ϕ ϕ − ϕ,( 1 )( 1 1)2si i i ia+ + −=ϕ −ϕ ϕ −ϕ; (11)( 1)( )e jej j w er rar r− r r=− −, ( 1 )( )w jwj j w er rar+ r r r=− −; (12)az z− z+ z−=− −,( )( )21 1 12 jbk k k kraz+ z z+ z−=− −; (13)( )( )( )( )( )( )( )1, , 1, , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,1 1 1 1 1 11i jk i jk j 1i j k i j k i j k i j kpi i j j i ib v v r b v v v vsr r+ − + + + − − + − −+ − + − + −+ − − − − += + +ϕ −ϕ − ϕ −ϕ( )( )( )( )1, , 1 1, , 1 1, , 1 1, , 11 1 1 11 + + + − − + − −+ − + −− − − ++− ϕ −ϕj i j k i j k i j k i j kk k i irb w w w wz z; (14)( )( )( )( )( )( )( )1, , 1, , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,11 1 1 1 1 11i jk i jk j 1i j k i j k i j k i j kpi i j j i ib u u r b u u u usr r+ − + + + − − + − −+ − + − + −− + − − − − += + +ϕ −ϕ − ϕ −ϕ( )( )( )( )2, 1, 1 , 1, 1 , 1, 1 , 1, 11 1 1 11 + + + − − + − −+ − + −− − − ++− −j ij k i j k i j k i j kj j k kr b w w w wr r z z; (15)( )( )( )( )( )( )( )1, , 1, , 1, , 1 1, , 1 1, , 1 1, , 121 1 1 1 1 1j 1i j k i j k j 1i j k i j k i j k i j kpk k k k i ir b v v r b u u u usz z z z+ − + + + − − + − −+ − + − + −− − − − − += + +− − ϕ − ϕ( )( )( )( )2, 1, 1 , 1, 1 , 1, 1 , 1, 11 1 1 11j i j k i j k i j k i j k .j j k kr b v v v vr r z z+ + + − − + − −+ − + −− − − ++− −(16)Здесь( ) 12j jer rr + −= ,( ) 12j jwr rr + += .nebswtpРис. 1. Шаблон разностной сетки (стандартный для регулярной сетки).Стрелками показаны направления возрастания индексовИз разностных уравнений (8) - (10) получаем следующие рекуррентные фор-мулы для определения значений перемещений во внутренних точках:( ) ( ), 1, , 1, 1, , 1, , , , 1 , , 1, , 1 1 1e i j k w ij k ni jk si jk t ijk bijk pi j kp n sa u a u ba u ba u a u a u sua a b a b− + + + − + + + − + + +=+ + − + −; (17)( ) ( ), 1, , 1, 1, , 1, , , , 1 , , 1 1, , 1 1e i j k wij k ni jk s i jk t ijk bijk pi j kp e wba v ba v a v a v a v a v svb a a b a b− + + + − + + + − + + +=+ + − + −; (18)wa a b a b− + − + + + + + − + + +=+ − + −, (19)которые могут быть использованы при проведении расчетов по методу простойитерации. Здесь ap=ae+aw+an+as+at+ab.Формулы (17) - (19) реализуют решения пространственных уравнений Ляме ииспользуемые совместно с разностными граничными условиями пригодны длярешения всех задач линейной теории упругости.Построение разностной сеткиСтроим экспоненциально сгущающуюся на пятне контакта сетку, следуя пре-образованиям{ϕ,r,z}{ƒ,ƒ,ƒ}: ƒ=ln(ϕ+ƒ), ƒ=ln(R−r+ƒ), ƒ=ln(z+ƒ). (20)Пусть N - число точек разбиения по радиусу, M1 - 1 - число разностных секторовв каждой четверти, 2K - число точек разбиения по осевой координате. Тогда( ) ( )( )( )1ln ln,1ln ln2 ,1ln ln2 ;1ƒ − + ƒ ⎫ƒƒ = ⎪ − ⎪ ƒ ⎛ ⎞ ⎪ ƒ − + ƒ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ƒƒ = ⎬ − ⎪⎪ƒƒ = ƒ − ⎛⎜⎝ + ƒ⎞⎟⎠ ⎪⎪− ⎭RNMhK(21)( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1ln 1 1, ,ln 1 1, ,2ln 1 1, ;2⎫⎪ƒ = + ƒ + − ƒƒ, =ƒ = ⎛⎜ƒ + ƒ⎞⎟+ − ƒƒ, = ⎪⎪⎬⎝ ⎠ ⎪⎪ƒ = ⎛⎜⎝ + ƒ⎞⎟⎠+ − ƒƒ, = ⎭⎪jikR j j Ni i Mh k k K(22)( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1'' '2exp 1, ,exp 1, ,2exp 1, ,21, , − , 2 .= +ƒ− ƒ , = ⎫⎪ƒ ⎪ ϕ = + ƒ − ƒ , = ⎪⎬⎪= + ƒ − ƒ , =⎪⎪= = = = ⎭j ji jk kk k k Kkr R j Ni Mz h k Kz z k K z z k K K(23)Здесь h, R - высота и радиус цилиндра; ƒ, ƒ, ƒ - параметры преобразования (малыевеличины).Формулы (21) - (23) позволяют построить экспоненциально сгущающуюсяразностную сетку по каждому из трех координатных направлений. Однако нарис. 2 показана картина, полученная в сечении, перпендикулярном оси цилиндра,где видны сгущения сетки лишь по радиальному и окружномуРис. 2. Сгущение сетки в окрестности зоны контактаОбобщённый закон ГукаЗапишем обобщенный закон Гука [2]:ƒi,j = ƒƒi,jƒk,k +2ƒƒi, j. (24)Здесь предполагается, что по индексу k выполнено суммирование. При этом(1 )(1 2)ƒEƒ =+ ƒ − ƒ,2(1 )ƒ = E+ ƒ- коэффициенты Ляме. Из последнего соотноше-ния находим, что( ) ( )( ) ( )( ) ( ), , , ,, , , ,, , , ,, , , , , ,2 ,2 ,2 ,2 , 2 , 2 .r r z zr r r r z zz z z z r rr r z z r z r zϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕƒ = ƒ+ ƒ ƒ +ƒ ƒ +ƒƒ = ƒ+ ƒ ƒ +ƒ ƒ +ƒƒ = ƒ+ ƒ ƒ +ƒ ƒ +ƒƒ = ƒƒ ƒ = ƒƒ ƒ = ƒƒ(25)При этом компоненты тензора деформаций в цилиндрических координатах опре-деляются следующими соотношениями [1, 3]:,, , ,1 , , ,1 1 , 1 1 , 1 .2 2 2r r z zr z r zu v v wr r r zv u u u w w vr r r z r r zϕ,ϕ ,ϕ ϕ  ƒ = + ƒ = ƒ =ϕ  ƒ = ⎛⎜⎝ ϕ+  − ⎞⎟⎠ ƒ = ⎛⎜⎝ + ϕ ⎞⎟⎠ ƒ = ⎛⎜⎝ +  ⎞⎟⎠(26)Условия на границах цилиндрического тела и на координатной осиПусть M (r,ϕ,z) - точка на границе сплошного цилиндрического тела;{ [ ] } 0 , 0, 0 , 0 , 02 2ƒ  r=R ϕ −ϕ ϕ z⎡⎢⎣h−z h+z ⎤⎥⎦- область приложения внешнегосилового воздействия (пятно контакта); величина 2z0 определяет размер пятнаконтакта в осевом направлении. . ƒ∪ƒ0(r=R) - боковая поверхность цилиндра;ƒ1(z =0) - нижняя торцевая грань; ƒ2(z=h) - верхняя торцевая грань.Тогда граничные условия, используемые при решении пространственной зада-чи контактного воздействия на тело цилиндрической формы, можно записать сле-дующим образом:0 0M , u u 1 v 0,vv , w v 0r r r r z    ƒ − + = = + = ϕ  ; (27)M , u u 1v 0,cv 1 u v w 0, w v 0r r r r r z r z ƒ  − + ϕ =  + ⎛⎜⎝ϕ + ⎞⎟⎠+  =  +  =; (28)M ƒ1,u=0,v=0,w=0; (29)M ƒ2,u=0,v=0,w=0. (30)Здесь c 2ƒ + ƒ=ƒ, v0 - постоянная величина радиального перемещения на пятнеконтакта. Координатная особенность на полярной оси разрешается следующимобразом [4]:,1, ,2, ,1, ,2, ,1, ,2,1 1 11 , 1 , 1 ( 1, ; 1, 2 ).M M Mui k u kvi k v kwi k w k i M k KM M M ƒ ƒ ƒƒ= ƒ= ƒ== ƒ = ƒ = ƒ = = (31)Условие периодичности имеет вид( ) uM, j,k=u1, j,k,vM, j,k=v1, j,k,wM, j,k =w1, j,k j= 1,N;k= 1,2K. (32)Первое условие в (27) и (28) выражает равенство нулю напряжения ƒr,ƒ, третье- равенство нулю напряжения ƒr,z. Второе соотношение в (28) определяет равен-ство нулю нормального напряжения ƒr,r.Результаты расчетовТестирование задачи проводилось на тривиальном решении, отвечающем слу-чаю v0 = 0. В этом примере получаем нулевые распределения для всех компонентперемещений. Еще один тривиальный тест (v0 = 0) относился к примеру, когдаоднородные условия первого рода для компонент перемещений (29), (30) былизаменены на соответствующие условия второго рода (условия свободной торце-вой поверхности цилиндра), а первое условие в (27) замещено условиемu = u0 = const. В этом случае мы получаем поворот цилиндра как целой фигуры,что отражено на рис. 3. При этом какие-либо деформации и напряжения в теле от-сутствуют. Рис. 4−8 иллюстрируется расчет, отвечающий граничным условиям(27) - (30).Цилиндрическое тело, отвечающее представленным данным, имело следую-щие размеры: R = 5·10-2 м, h = 5·10-2 м. Пятно контакта располагалось в централь-ной части боковой поверхности и определялось длинами ƒz = 3,925·10-3 м,ƒl = 6,578·10-3 м. Ниже на графиках все значения перемещений представлены вмикронах, напряжения - в системе СИ, радиальная координата - в безразмерномвиде: r/R.Рис. 3. Распределение окружнойкомпоненты в тестовом примереРис. 4. Распределение окружнойкомпоненты при контактном воздействиижесткого элементаРис. 5. Распределение радиальнойкомпоненты при контактном воздействиижесткого элементаРис. 6. Распределение осевой компонентыпри контактном воздействиижесткого элементаРис. 7. Распределение касательногонапряжения ƒr,ƒ при контактномвоздействии жесткого элементаРис. 8. Распределение нормальногонапряжения ƒƒ,ƒ при контактномвоздействии жесткого элементаКак видим из представленных распределений, заданные радиальные переме-щения на пятне контакта индуцируют окружные и осевые перемещения на по-верхности и внутри тела. Как следует из рис. 4, окружная компонента перемеще-ния быстро возрастает с удалением от центра пятна контакта, а затем на некото-ром удалении от плоскости симметрии наблюдается срыв (излом с изменениемзнака производной). Причем точка, отвечающая срыву в распределении, располо-жена вне пятна контакта. Геометрическое место этих точек образует два фрагмен-та линий, ориентированных по вертикали и находящихся на поверхности цилинд-ра. Срыв в распределении осевой компоненты перемещений (рис. 6) обусловленкраями жесткого элемента. Срыв в распределении касательного напряжения (рис.7) обусловлен срывом в распределении окружной компоненты перемещения и на-ходится вне пятна контакта.Не вдаваясь в подробности анализа полученного решения, обратим вниманиена распределение нормальных (по отношению к окружной координате) напряже-ний ƒƒ,ƒ, представленных в горизонтальном сечении, проходящем через серединупятна контакта (рис. 8). Внутренняя пара «усов» у этой фигуры определяется из-ломом в распределении радиальной компоненты перемещений (рис. 5), то естькраями пятна контакта. Внешняя пара - срывом в поверхностном распределенииокружной компоненты перемещения (рис. 4, два срыва - слева и справа от плос-кости симметрии).

Скачать электронную версию публикации