Semi-stable second-order polynomials on the varifold of rays of the A space.pdf 1. Оператор, подобный ковариантному дифференциалу Деривационные формулы подвижного репера {M, e}, e2, e3} трехмерного аффинного пространства A3 имеют вид dM = ю' e,■, ■ ', J = 1,2,3, de, =ю{ e ■, где формы Пфаффа [1] ю' , raJ подчинены уравнениям структуры аффинного пространства dЮ = юЮ люJ ,da' = юк люк (', J = 1,2,3). Рассмотрим многообразие всех прямых в пространстве A3. Будем считать, что на каждой прямой задана ориентация таким образом, что полученное 4-мерное дифференцируемое многообразие лучей есть гладкое многообразие. Это многообразие обозначим L . Текущий элемент многообразия - луч l. Локальные координаты луча l - как точки многообразия - пусть обозначаются t (i = 1,2,3,4). Помещаем вершину подвижного репера на текущий луч l, а вектор e3 репера пусть сонаправлен с текущим лучом. Тогда пфаффовы формы ю1, ю2, ю:3, ю2 являются линейными комбинациями величин dt1 и не содержат дифференциалов параметров, ответственных за изменение репера при фиксированном луче. Такие формы называются главными [1]. Эти формы ю1, ю2, ю3, ю2 (базовые формы) управляют смещением луча, и ю1 лю2 лю3 лю32 Ф 0. Хорошо известна роль квадратичной дифференциальной формы 2(ю1ю2 -ю2ю3) = 2(dM, de3, e3) в геометрии линейчатого пространства (в частности, обращение её в нуль для луча регулюса делает этот луч торсовым). Поставим следующий вопрос: насколько особое положение занимает эта квадратичная форма среди тех однородных квадратичных многочленов от базовых форм линейчатого пространства, и обладающих свойством относительной инвариантности по отношению к некоторым преобразованиям, на наш взгляд естественным. Обозначая, как в [1], i, j = 1,2,3; k = 1,2,3,4, = п ю dt = 0 п1 = п2 =п3 =п2 = 0. (1) Данные соотношения сужают полную аффинную группу, действующую в касательном пространстве многообразия L, до некоторой подгруппы. Оставшиеся формы rcj, nj2, п2 , п2 , п32, nj3, п3, п3 (2) dtk управляют смещением репера при фиксированном луче. Введём матричнозначную форму [2] заключаем, что ю1 ю2 ю3 ю3 ю} ю2 0 0 ю2 ю2 0 0 0 0 ю| Oj2 0 0 ю2 ю2 3 2 ю лю3 Q Тогда справедливы соотношения dв-влQ = (ю3 лю, 3 2 \ ю3 лю3), ю^ лю3 3 2 K>J лю3 3 2 ю2 лю3 3 13 2 K>j лю3 K>J лю3 3 2 юлю d 0.-0.л0.= 0 ю2 лю3 J2 /\1ju3 UJ2 /\u1i3 Ясно, что последние соотношения являются структурными уравнениями линейной связности в том и только в том случае, когда внешние квадратичные формы ю3 лю; i = 1,2,3; а = 1,2. 3 ' i 3 разложимы по внешним квадратичным формам юалюв, юалюв, юалю33, а,р = 1,2. ю3 лю, ю2 лю3 0 Мы не предполагаем данное условие выполненным. Определим, однако, оператор Т, указав его действие на матрицу H = (hij) следующим образом: T(H) = dH-OH-(OH)т . Если матричнозначная форма D определяет аффинную связность, то оператор Т есть оператор ковариантного дифференцирования. Обозначим (3) (4) П = п! 1 0 0 п2 п2 0 0 0 0 1 П? 0 0 п2 п2 Оператор Т5 (H) = 5H - nH - (nH )т имеет очевидный смысл (5 - символ дифференцирования по вторичным параметрам). Пусть на многообразии L задан однородный многочлен второй степени Ф от дифференциалов базовых форм Ф = аарюаюв + 2йарЮагов + СарЮ>в а, р = 1,2. сав = Сва ■ аав = ава ■ L = аи а12 bu b12 а21 а22 b21 b22 bu Ь21 С11 С12 b12 b22 С21 С22 Матрица полинома (5) Требование полуинвариантности полинома (4) относительно оператора Т при фиксированных базовых параметрах приводит к уравнению T5(L) = 5L-nL-(nL)T = SL , (6) где S - пфаффова 1-форма. Поставим следующую задачу. Отыскать условия на ненулевой полином (4) с постоянными коэффициентами и на пфаффову форму S, чтобы при отсутствии связей на формы (2) выполнялось требование (6). Пфаффову форму S будем искать в виде (7) ( -1 .(8) Л> 1 = Xjtcj + х2П2 + х3П, + х4П^ + х5+ х6П + х7п3 + х8п3. Предъявленное нами требование (с учётом (3), (5) - (7)) приводит к системе уравнений, матричная запись которой имеет вид а11(2+х1) 2а12 + х2ап хзап х4а11 х^аХ1 хба11 х7ап х8а11 а12 (1 + х1) а 22 + х2а12 а11 + хза12 а12 (1 + х4 ) х5а12 хба12 х7 а12 х8а12 0 х1а22 х2а22 2а12 + х3а22 2а22 + х4а22 х5а22 хба22 х7а22 х8а22 0 b11(2+х1) b 21 + b12 + Х2Ь11 ХЗЬ11 Х4Ь11 Х5Ь11 хб b11 Х7Ь11 Х8Ь11 0 , Л= b12 (1 + х1) b22 + Х2Ь12 b11 + хЗЬ12 b12 (1+ х4 ) Х5Ь12 Х6Ь12 Х7Ь12 Х8Ь12 0 b21(1 + х1) b22 + Х2Ь21 b11 + хЗЬ21 b21(1 + х4 ) Х5Ь21 Х6Ь21 Х7Ь21 Х8Ь21 0 Х1Ь22 х2Ь22 b21 +b12 + хЗЬ22 b22 (2 + х4 ) х5 b22 х6Ь22 х7Ь22 х8Ь22 0 С11(2 + х1) 2С12 + х2Сп х3С11 х4С11 х5С11 хбС11 х7С11 х8С11 IA» С12 (1 + х1) С22 + х2С12 С11 + х3С12 С12 (1+ х4 ) х5С12 хбС12 х7С12 х8С12 х1а22 х2а22 2С12 + хзС22 2с22 + х4С22 х5С22 хбС22 х7С22 х8С22 Поскольку данное уравнение не должно налагать ограничений на пфаффовы формы (2), то матрица A - нулевая. В то же время матрица L (см. (5)) отлична от нулевой. Указанная совокупность условий выполнена, если и только если X5 — — Х7 — Xg — 0, Xj — 1, x*2 — 0, X3 — 0, X4 — 1, а11 — а12 — a22 — — b12 + b21 — b22 — C11 — C22 — 0. Таким образом, с точностью до числового множителя, L — i — -П - П. 0 0 0 1 0 0 -10 0 -10 0 10 0 0 Ф — 2(ю^ -ю2®3) — 2(dM,de3,e3). Соответственно Отметим, что полином Ф инвариантен, если и только если П +п2 — 0 . (9) Вследствие (1) внешнее дифференцирование последнего уравнения приводит к тождеству. При выполнении (9) получаем подгруппу преобразований репера, определяемую деривационными формулами 5M — n3e3, е 1 2 3 oe1 —n1e1 e2 e3, Se2 — п2 e1 +п2 e2 +п2 e3, 5e3 — п3eз, П +п2 — 0. Геометрический смысл условия (9), дополненного (1), таков: 0(e1e2e3 )e3 — (e1e2e3 )8e3, где символ (abc) обозначает косое произведение векторов a, b, c. 2. Вариация однородного полинома от базовых форм Для дальнейшего нам потребуются связи на вторичные параметры. Действуя как в [3], получаем в обозначениях [1,3] вариации главных форм в виде (10) ОЮ — -ЮнЯр +п ю3, ОЮ3 — -Ю3Лр +п3ю3, а, р — 1,2. Применив (10) к (4), получаем, что ОФ — (8ааР - ауРпа - аауПр)юаюР + +2(8Ьар - ЬуР< - ЬауПр + аарл3 + ЬарП3)ю

Скачать электронную версию публикации