A construction of a family of infinitely narrow fields.pdf Исследования по теории линейно упорядоченных полей начались с пионерских работ Артина и Шрайера [1]. Бесконечно узкие поля относятся к тому классу полей, которые одновременно допускают и линейное, и двумерное упорядочивание. В работе [5] показано, что поле Q(n) можно снабдить двумерным порядком, при котором оно является бесконечно узким полем. В настоящей статье описан новый способ построения семейств бесконечно узких полей. Эти семейства существенно шире семейств, описанных в [6]. 1. Основная конструкция Пусть P0 - линейно упорядоченное поле. Обозначим через P0 топологическое замыкание поля P0. В топологическом замыкании линейно упорядоченного поля нет собственных фундаментальных сечений [4]. Как известно, линейный порядок с поля P0 единственным образом продолжается на поле P0 [4]. Пусть В есть базис трансцендентности [2] поля P0 над полем P0, т.е. максимальная алгебраически независимая система элементов P0 над P0. Поле K= P0(B) как подполе P0 линейно упорядочено. Зададим произвольное отображение d: B ^ K. Таким образом, для каждого х е В задано значение йх е K. Далее, каждому х е K сопоставим значение йх е K следующим образом. Если х е K, то х = f (а1,..., ап). Убедимся, что представление х = f (а1,..., ап) единственно. В самом деле, пусть ещё х = g (b1,..., bm), где b1,..., bm е В и f Ф g. Тогда Значит, Следовательно, элементы f (аь..., ап) = g(bb..., bm). f (аь..., ап) - g(bb..., bm) = 0. (аь.. ) из B связаны нетривиальным алгебраическим соотношением, что противоречит определению базиса трансцендентности. Итак, доказано, что представление х = g(b1,..., bm) единственно. Теперь полагаем dх = df (а1,..., ап), ч df df df (а1,..., ап) —-da1 +... +--dan . дх1 дхп где Поскольку представление х = g(h1,..., hm) единственно, то dx для каждого х также определено единственным образом. Заметим, что ранее [6] авторы в конструкции верхнего конуса бесконечно узкого поля полагали всюду йх^ = 1. Таким образом, описываемая здесь конструкция является существенным обобщением конструкции из [6]. 2. Двумерный порядок в поле K Зададим двумерный порядок в поле K. Известно, что двумерный порядок однозначно задаётся верхним конусом K [3]. Построим верхний конус следующим образом. Пусть f (х1,..., хп) пробегает поле Р0(х1,..., хп); кортеж (a1,..., an) пробегает множество кортежей элементов из В. Имеет место следующая Теорема. Множество K = {f (al,..., a„) f (хь..., хп) e Р0(х1,..., хп), df (al,..., a„) > 0} есть верхний конус некоторого двумерного порядка в поле K, при котором K является бесконечно узким полем. Доказательство. Убедимся, что K есть верхний конус 2-порядка в поле K. Проверим выполнение условий (a) - (d) критерия верхнего конуса [3]: (a) Ku +Ku = Ku; (b) Ku u -Ku = K; (c) (Ku\{0})-1 = -Ku\{0}; o (d) если х, z e Ku,ye Ku ; zy4, ух-1 eKu, то eKu. (a) Убедимся, что множество K замкнуто относительно сложения. Пусть f (a1, ..., an), g (a1, ..., an) e K . Тогда df df dg dg -^—da, +... + dan > 0 и -s-da, +... + —s-dan > 0 , Л 1 'v П 1 П > дх1 дхп дх1 дхп где f (al, ..., an), g (al, ..., a„) e K. Но тогда имеем df df dg dg -^—da, +... + dan + -£-da, +...+ da„ > 0 --> 1 --> rl --> 1 rl дх1 дхп дх1 дхп или da, +... + fg)dan > 0 дх1 дхп Значит, (f + g) e Ku. (b) Условие: K u (- K) = K выполнено. Действительно, пусть f (a1, ..., an) eK . Возможны два случая. Либо df (a1,...,an) > 0, и тогда f (a1, ..., an) e Ku. Либо df (a1,...,an) < 0, и тогда f (a1, ..., an) e -K . Доказательство пунктов (c) и (d) формально аналогично доказательству, приведённому в [6]. Таким образом, в поле K = P0(B) эффективно задан нетривиальный двумерный порядок. Покажем, что K - бесконечно узкое поле [5]. o o Пусть х = f (а1,..., ап) е Ku . Так как х е Ku , то, по определению верхнего коo нуса Ku, имеем dх > 0. Докажем, что o Уп Vr е K0 (r < х ^ (х - г)п е Ku ). Заметим, что для того чтобы элемент (х - г)п принадлежал открытому верхнему конусу, необходимо и достаточно, чтобы d(^ - г)п) > 0. Пусть r е K0, х е K, и r < х. Так как (х - r) > 0, то (х - г)п-1 > 0 в силу того, что K = P0(B) является линейно упорядоченным полем. Имеем Уп е N d(^ - г)п) = п(х - r^d > 0. o Значит, (х - r)n е Ku , следовательно, х = f (а1, ..., ап) - бесконечно близкий к базе K элемент, и поле K является бесконечно узким. Теорема доказана.

Скачать электронную версию публикации