Hopfian completely decomposable torsion-free groups.pdf Данная работа продолжает начатое автором ранее (см. [1, 2]) исследование хопфовых абелевых групп. В [1] это изучение проводилось в классах делимых групп и прямых сумм циклических групп. Там же приведены общие свойства хопфовых абелевых групп, в частности связанные с прямыми разложениями. На основе описания делимых групп исследование хопфовости произвольных абе-левых групп было сведено к исследованию хопфовости редуцированных групп. В [2] получено полное описание хопфовых алгебраически компактных групп. В той же статье исследовались хопфовы SP-группы: установлено, что хопфовость SP-группы эквивалентна хопфовости ее примарных компонент. Центральным результатом настоящей статьи является теорема 1, представляющая одно из условий хопфовости вполне разложимой группы без кручения. В заключение приводится пример нехопфовой вполне разложимой группы без кручения. Все обозначения и терминология в работе стандартны и взяты из [3, 4]. Далее в тексте под словом «группа» будет пониматься аддитивно записанная абелева группа. Теорема 1. Пусть A - вполне разложимая группа без кручения, причем все ее однородные компоненты имеют конечный ранг, а множество типов прямых слагаемых ранга 1 группы A удовлетворяют условию минимальности. Тогда A -хопфова группа. Доказательство. Запишем каноническое прямое разложение A = ©A, где isI A - однородные компоненты группы A . Согласно условию теоремы, множество типов Q(A) = {(Ai) | i s I} удовлетворяет условию минимальности. Для любого k s I можно записать A = Ak © Bk , где Bk = ©A. i Ф-k Предположим, напротив, что группа A нехопфова. Зафиксируем некоторый эпиморфизм ф группы A, не являющийся автоморфизмом, на себя. Докажем, что для любого индекса k s I и любого отличного от нуля элемента ak s Ak верно, что ф^) s Bk, т. е. что ф^) имеет ненулевую координату в Ak (в частности, Ф^) Ф 0). Пусть сначала индекс k е I таков, что тип t(Ak) минимален в множестве типов Q(A). Допустим, что нашелся элемент ak е Ak со свойствами:

Скачать электронную версию публикации