Classification of two-metric phenomenologically symmetric twodimentional geometries of rang 3.pdf В традиционной евклидовой геометрии (и при ориентации на идеи Клейна и при взятии за основу подхода Римана) упорядоченной паре точек сопоставляется некоторый инвариант, который (поскольку наделен свойствами обычного расстояния) кладется в основу мероопределения, позволяющего воспроизводить объекты этой геометрии: длины, углы, площади, объёмы и прочее. Около полувека назад зародилось и активно развивается иное направление в основаниях геометрии (в рамках более широкой концепции физических структур [1]). В идейном плане данное направление (представленное такими авторами, как Ю.И. Кулаков, Г.Г. Михайличенко, В.Х. Лев, В.А. Кыров) опирается на круг представлений, очерченный ещё Германом Гельмгольцем в его знаменитой работе 1868 г. «О фактах, лежащих в основании геометрии» [2] (наличие функциональной связи между координатами точек). Исследователи, придерживающиеся этого направления, сопоставляют паре точек не один инвариант, а несколько. По устоявшейся в среде упомянутых лиц традиции эти инварианты именуют метриками2, а теорию, описывающую данные инварианты, называют полиметричекой феноменологически симметричной геометрией. Предлагаемая работа выполнена в рамках описанной выше концепции, чем и объясняется употребление терминов «метрика» и «метрический» в смысле, характерном для данной концепции, и применяемом только в ней. Это, в частности, позволяет соотносить результаты, полученные автором данной работы с результатами иных исследователей, развивающих указанное направление. Целью исследования является построение классификации двуметрических феноменологически симметричных двумерных геометрий [3, 4] ранга3 3 аналитическим методом, которая (классификация) ранее была построена Г.Г. Михайличенко групповым методом [3]. Наш подход применения аналитического метода состоит в исследовании функциональных отображений и решении возникающих функционально-дифференциальных уравнений. Перейдем к точным формулировкам, которые приведем по монографии [4]. Пусть имеется множество M 2 , являющееся гладким двумерным многообразием, а также отображение некоторого Gf с M2 х M2 в R2 , сопоставляющее каждой паре точек (A,B) е Gf два вещественных числа f (A,B) = (f l(A,B), f 2(A,B)) e R2 . Если x, y - локальные координаты двумерного многообразия M2, то для отображения f (A,B) можно записать его локальное координатное представление: f (A, B) - (f1 (A, B), f2 (A, B)) - (f1 ( xa , yA, xb , yB), f2 ( xa , yA, xb , yB)), (1) где xA, yA, xB, ув - локальные координаты текущих точек А и В пары (A, B) е Gf. Следуя [3], будем точки многообразия M2 обозначать i, ], k и соответственно их координаты xi, yi и т.п. Здесь и везде далее поскольку i - (xi,yi), j - (x^,yj), то f1 (i, j),f2 (i, j) есть некоторые функции f1 (xi, yi, xj, yj), f2 (xi, y{, xj, yj) и, в частности, f1 (i, j) f 1 (x,.,y,xy,yj), gf2 (i, j) - ^((ji) (2) dx, cx, dxi dxi В отношении вектор-функции f(A,B) = (fl(A,B),f2(A,B)) будем предполагать выполнение следующих аксиом: А1. Область определения Gf вектор-функции f (A,B) = (f 1(A,B), f 2(A,B)) есть открытое и плотное множество в M2 х M2. А2. Вектор-функция f в локальных координатах имеет гладкость того порядка, который достаточен для наших целей. А3. (Аксиома невырожденности). Для координатного представления вектор-функции f (A,B) = (f l(A,B), f 2(A,B)) выполняются следующие неравенства: d( f '(i, j), f 2(i, j)) ф 0 d( f '(i, j), f 2(i, j)) ^ 0 (3) d(x,, y,) ' d(x] , у] ) ' где x,, y, и xj, yj - локальные координаты текущих точек i и j пары (i, j) е Gf (следует учитывать правила обозначений, принятые нами в (2)). Заметим, что при условии (3) ранг касательного отображения для отображения (1) равен 2, то есть максимален. Рассмотрим гладкое отображение Fv : U ^ E с R6, где U с M2 х M2 х M2, сопоставляющее тройке (i, j, k) точку z - ( f1 (i, j), f2 (i, j), f1 (i,k), f2 (i,k), f1 (j,k),f 2 (j,k)) e R6 , область определения которого U, очевидно, открыта и плотна в M2 х M2 х M2. Далее, пусть имеется ещё одно гладкое отображение Ф: E ^ S с R2, где E с R6, которое сопоставляет точке z е R6 пару чисел (Ф;(z), Ф2(z) )е R2. Данные построения поясняет рис. 1. Определение. Будем говорить, что вектор-функция f(ij) = (f l(ij), f 2(ij)) задает на гладком двумерном многообразии M2 двуметрическую феноменологически симметричную двумерную геометрию ранга 3, если кроме аксиом А1, А2, A3 выполняется аксиома А4. Вектор-функция f(ij) называется метрической функцией [3]. А4. (Аксиома феноменологической симметрии.) Существует плотное в U множество, для каждой точки Т которого, то есть для тройки (i, j, k) и некоторой ее окрестности s((i, j, k)) найдется такое достаточно гладкое отображение Ф: E ^ S с R2, определенное в некоторой области E с R6, содержащей точку z = F((i, j, k)), что в ней ранг якобиевой матрицы отображения Ф равен 2 и множество F(s((i, j, k))) является подмножеством множества нулей функции Ф , то есть Фт (f1 (i, j), f 2 (i, j), f1 (i,k), f 2 (i,k), f1 (j, k), f2 (j, k)) = 0, (m = 1,2) (4) для всех троек (i, j,k)из s((i, j,k)). Если данная аксиома выполнена для отображения Ф (f1 (i, j), f2 (i, j), f1 (i, k), f2 (i, k), f1 (j, k), f2 (j, k)) = = (Ф1 (f1 (i, j), f2 (i, j), f1 (i, k), f2 (i, k), f1 (j, k), f2 (j, k)), Ф2 (f1 (i, j), f2 (i, j), f1 (i,k), f2 (i, k), f1 (j, k), f2 (j, k))), то на множестве E величины fl(i, j), f 2(i, j), fl(i, k), f 2(i,k), fj, k), f 2(j,k) связаны двумя независимыми функциональными соотношениями (4). dxi df\i, j) dy, dx, df 2(i, к) дУ, A = df \i, j) df 2(i, j) 0 0 df 1( j, к) df 2( j, к) dxj dxj dxj dxj df \i, j) df 2(i, j) 0 0 df 1( j, к) df 2( j, к) dyj dyj dyj dyj 0 0 df \i, к) df 2(i, к) df 1(j, к) df 2( j, к) ^к dxк dxк dxк 0 0 df \i, к) df 2(i, к) df 1( j, к) df 2( j, к) V dy.к dy.к 9Ук dyк dx df 2(i, j) dy, dx, df \i, к) дУ, (5) Функциональная матрица отображения FU df 1(i, j) df2(i, j) df \i, к) df2(i,к) имеет 6 строк и 6 столбцов, а ранг этой матрицы есть ранг касательного отображения. Лемма 1. Если вектор-функцияf(ij') = f ^ij), f2(ij)) и аналогичные ей удовлетворяют аксиомам А1, А2, А3, то ранг матрицы (5) не менее 4. Справедливость леммы следует из того, что минор четвертого порядка Д4, занимающий «северо-восточный угол» матрицы, отличен от нуля. Замечание. Понижение ранга матрицы до четырех равносильно тому, что каждый из двух первых столбцов матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов (то есть столбцов с номерами 3,4,5,6). Требование разложимости по базисным столбцам первого столбца налагает ограничения на производные функции f1 (i, j) и аналогичных ей функций. Такое же требование, предъявленное ко второму столбцу, налагает точно те же ограничения на производные функции f 2(i, j) по тем же аргументам. Исследуем следствия из разложимости первого столбца и убедимся в том, что они не только необходимы для выполнения условия rang (A) = 4 , но и достаточны. Этот результат - центральный для нашей работы, и оформляем его следующей теоремой: Теорема 1. 1. Если ранг отображения FU равен 4 на открытом и плотном в U множестве, то вектор-функцияf(ij) = (fl(ij),f2(ij)), удовлетворяющая аксиомам А1, А2, А3, задает на гладком двумерном многообразии M2 двуметрическую феноменологически симметричную двумерную геометрию ранга 3 (то есть удовлетворяет аксиоме А4). 2. Система аксиом А1, А2, А3, А4 совместна, то есть существует модель соответствующей аксиоматической теории - набор вектор-функций f(i,j) = = (f l(i, j), f 2(i, j)), для которых выполнены все четыре аксиомы. Доказательство пункта 1. Пусть для тройки (i, j,к) е U ранг отображения FU равен 4. Из леммы 1 и Замечания следует, что для некоторой окрестности тройки (i, jjc) ранг функциональной матрицы (5) не менее 4 и равен для неё этому значению. Согласно теореме математического анализа о функциональной зависимости [6], для некоторой окрестности е(( i, j, k)) найдется такое достаточно гладкое отображение Ф: E ^ R2, определенное в соответствующей области E с R6, содержащей точку z - (f1 (i, j), f2 (i, j), f1 (i, k), f2 (i,k), f1 (j, k), f2 (j,k)), в которой га^Ф) = 2, что имеет место уравнение (4). Поскольку ранг матрицы (5) для исходной тройки (i, j, k) равен 4 и максимален в окрестности е((i, j, k)), из этой же теоремы о функциональной зависимости следует, что найдется такая его окрестность е'се и соответствующая область E'с E, для которых множество значений F(е') совпадает с множеством нулей функции Ф в E, являясь гладкой без особых точек поверхностью в R6. Пункт 1 доказан. Доказательство пункта 2. По лемме 1 ранг матрицы не менее 4. Докажем, что ранг матрицы (5) не более 4. Для доказательства продифференцируем уравнение (4) по каждой из 6 координат x,, y, xj, yj, xk, yk точек тройки (i, j, k). В результате получим 6 линейных однородных уравнений относительно 6 производных функции Ф: дФт f1 (i, j) + дФ m df 2(i, j) + дФ m df'(i, k) + 5Фт df 2(i, k) - 0 df1 (i, j) ax, df 2(i, j) Sx, df1(i, k) dx, df 2(i, k) dx, , дФт df '(i, j) + дФ m df 2(i, j) + дФ m df'O', k) + дФт df 2(i, k) - 0 df1 (i, j) дУ, df 2(i, j) dy, df1 (i, k) dy, df 2(i, k) dy, , дФm df'(i,j)df2(i,j) df'(j,k) df2(j,k)-0 df \i, j) dxj df 2(i, j) dxj df 4 j, k) dxj df 2( j, k) , ^ (6) дФ m df '(i, j) + дФ m df 2(i, j) + дФ m df'(j, k) df 2( j, k) - 0 df \i, j) dyj df 2(i, j) дУу df \ j, k) дУу df 2( j, k) дУу , дФm df'(i,k) + дФ)Я df2(i,k)df'(j,k) df2(j,k)-0 df1 (i,k) dxk df2(i,k) dxk df>(j,k) dxk df2(j,k) dxk , дФm df'(i,k) df2(i,k)df'(j,k) df2(j,k)-0 df1 (i, k) dyk df 2(i, k) dyk df>( j, k) dyk df 2( j, k) dyk (m - 1,2), матрица которой совпадает с функциональной матрицей (5) с точностью до транспонирования. Предположим, что ранг матрицы системы (6) равен 5 или 6. Тогда система (6) будет иметь только одно линейно независимое ненулевое решение или ни одного, так как их число равно разности между числом переменных в системе (6) и рангом ее матрицы. Однако уравнения системы (6) имеют, по крайней мере, два таких решения в некоторой окрестности е ((i, j, k)), так как по аксиоме А4 rang Ф = 2 в точке z - F ((i, j, k)). Ниже, в ходе анализа систем уравнений, мы убедимся в существовании метрической вектор-функции f(ij) = (f l(ij), f 2(ij)), удовлетворяющей аксиомам А1, А2, А3, А4, причем rang Ф = 2. Теорема 2. С точностью до гладкого преобразования %(f f и замены кальных координат х, y существуют две и только две невырожденные метрические вектор-функции вида f(ij) = (f l(ij), f 2(i j)), задающие на гладком двумерном многообразии M2 двуметрическую феноменологически симметричную двумерную геометрию ранга 3. Компоненты этих метрических вектор-функций могут быть представлены следующими каноническими [3] выражениями: (7) ло 1. f l(i,j) = х - х}, f 2(i, j) = Уг- У]; 2. f 1 (i, j) = (xi - х] )Уг, f 2 (i, j) = (xi - х])У]. (8) Доказательство. Учитывая Замечание, сделанное нами выше, сводим требование rang (A) = 4 к обращению в нуль миноров пятого порядка, окаймляющих базисный минор четвертого порядка, содержащих элементы первого и второго столбцов. Тогда, применяя для окаймления строки пятую и шестую и приравнивая полученные миноры нулю, приходим к функционально-дифференциальным уравнениям A (i, k )Ao (j, k) - A22 (i, k) A (j, k)+ дх, cX,дУг +аЦ (j, k) Ao (i, k) - A22 (j, k) A (i, k)= 0, Зу, Aj (i, k)Ao (j, k) - A2 (i, k) Ao (j, k) + (9) дУ, dfa (i, j) Су, дхг dfa (i, j ) ,2 - A2( j, k) Ao(i, k) = o, +Aj( j, k) Ao(i, k) дх,- (a = 1,2). Коэффициенты при произвольных компонент функции f (i, j) в уравнениях системы (9) имеют следующий вид: Aj(i, k) = df j(i, k) df 2(i, k) df j(i, k) df 2(i, k) дУг df \i, k) СУ, df 2(i, k) , Aj2(i, k) = дхг df \i, k) дхг df 2(i, k) Сх( Сх( Сх( Сх( df j(i, k) df 2(i, k) df j(i, k) df 2(i, k) СУ, df j(i, k) СУ, df 2(i, k) , A22(i, k) = дх, df j(i, k) дх, df 2(i, k) dyk dyk dyk dyk df\i, k) df2(i, k) дх, ^ df\i, k) df2(i, k) A2(i, k) = (io) Ao(i, k) = * o. дУ, дУ, Аналогично определяются Aj (j, k), Aj2 (j, k), A2j (j, k), A22 (j, k), Ao (j, k). Выпишем матрицу этой системы: rAl(i, к)Л0(], к) -A2(i, к)А0(/, к) 4(j, к) A0(i, к) -A2(j, к)Д,(,", к)л A(i, к) Ао( j, к) - A22(i, к) Ао( j, к) A2( j, к) A,(i, к) -А22( j, к) A,(i, к) Лемма 2. Ранг системы уравнений (9) равен 2. Доказательство леммы 2. Заметим, что применив условие (3) к точкам j и к, мы получаем неравенства (12) d(f Чj, к), f 2(j, к)) * 0 d(f'(j, к), f 2(j, к)) * 0 ' д(хк, Ук) ' d (xj, У]) Выделим в матрице (11) квадратную подматрицу второго порядка, содержащую отличный от нуля определитель Ao(i,K), для определителя которой в силу (12) справедливо соотношение - A1( j, к) Ao(i, к) A2( j, к) Ao(i, к) = - A1( j, к) Ao(i, к) A22( j, к) Ao(i, к) r df1 (j, к) df2 (j, к) df2 (j,к) df1 (j, к)л dx. 9У, ЙХ,- * 0. = -( Ao(i, к ))2 дУ, df1 (j, к) df2 (j, к) df2 (j, к) df1 (j, к) dx. Следовательно, ранг системы (9) равен 2. Заменяя величины A^ (i, к), AjP (j, к), где ц, р = 1,2, в уравнениях (9) на (11) A (i, к), A (j, к) 4(i, ко) = df \i, к) df 2(i, к) df \i, к) df 2(i, к) СУ, df \i, к) СУ, df 2(i, к) , A1 (i, ,O) = дх, df \i, к) dx, df 2(i, к) сХк дхк к = ,o дхк дхк df \i, к) df 2(i, к) df \i, к) df 2(i, к) Су, df \i, к) dyt df 2(i, к) , A2(i, ^) = дх, df \i, к) dx, df 2(i, к) дУк дУк df \i, к) df 2(i, к) дУк дУк Ao(i, ко) = дх, df \i, к) dx, df 2(i, к) , СУ, СУ, к = к получим систему двух независимых дифференциальных уравнений в частных производных относительно компонент метрической вектор-функции f (i, j): A (i, ko)-Ao (j, ko) Sf"0, J) - .A22 (i, ko).A (j, ko)+ дх,дх, dy, +AA1 (j, ko)A (i, ko) df10, j) -.A22 (j, ko)A (i, ko) df"^ j) = o, Су, A (i, ko) A (J, ko) df10, J) - A2 (i, ko ).Ao (j, ko ) + (13) дх дх,, дУ, +Aj (j, ko )A (i, ko) - .Aj2 (j, ko )A (i, ko) = o, dy, (a = 1,2). Поделив почленно уравнения системы (13) на произведение Ao(i, ko) A(j, ko) * o и вводя новые обозначения коэффициентов, получим более простую ее запись M х, у ) ЯШ +СТ,< х, У,) ЯШ+X,< х- у ) ЯШ+ст,< х- у) ЯШ.=o/ дх, Sy, дх - dy, дa (,, j) df a (i, j) с/ОС,, J) Су - +ct2

Скачать электронную версию публикации