On equations of mathematical physics containing multi-homogeneous functions of derivatives.pdf В современной математической физике и ее приложениях одним из важнейших методов является метод разделения переменных (РП), который успешно применяется для решения уравнений в частных производных [1, 2]. В работе [3] с помощью этого метода получены решения некоторых уравнений, содержащих однородные функции от производных по пространственным переменным. Данная работа является логическим продолжением работы [3]. Здесь рассматривается случай, когда в уравнение входит мультиоднородная функция от производных, у которой свойство однородности выполняется для некоторых подмножеств ее множества аргументов. 1. Мультиоднородные функции и некоторые их свойства Пусть рассматривается функция N переменных F(p1,..., pN). Предполагаем, что множество значений I = {1,...,N} индекса i, нумерующего переменные, разбито на K+1 непересекающихся подмножеств Ik (k = 0,1,...,K). Тогда вектор переменных P = {pj,...,pN} можно разбить на K+1 непересекающихся подвекто-ров Pk = {pi} . По определению, функция F называется мультиоднородной относительно подвекторов P1,...,PK , если для произвольных значений р ,...,PK и произвольного действительного а выполняются соотношения F (Pq, P,..., aPk,..., Pk ) = а r"F (P0, р,..., Pk ) (1) Соотношения (1) должны выполняться для всех k =1,...,K ; показатели однородности rk являются некоторыми действительными постоянными. Понятие муль-тиоднородной функции, введенное в работе [5], является обобщением классического понятия однородной функции [4]. Однако здесь, в отличие от работы [5], рассматривается более общий случай, когда имеется подвектор переменных P0 , по которым функция F не является однородной. Отметим некоторые свойства мультиоднородных функций, которые будут использованы в дальнейшем. Свойство 1. При всех 1 < k < K , для которых rk > 0, F (Po, P,..., Pk,..., Pk )|pk = о = 0. (1а) Это свойство вытекает непосредственно из соотношений (1). Свойство 2. Пусть множество значений S ={1,...,K} индекса k разделено произвольно на L (1 < L < K) непересекающихся подмножеств Sl (l = 1,..., L). Определим новую систему подвекторов р ,...,PL следующим образом: P'l = ^ Pk . Тоke»i гда, если функция F является мультиоднородной относительно подвекторов р ,...,Pk с показателями однородности rk , то она является мультиоднородной и относительно подвекторов р,...,Pl с показателями однородности r = ^ rk . В i kei частности, если функция F является мультиоднородной относительно любой системы подвекторов р,..., Pk , то она является однородной в обычном смысле K относительно вектора переменных Р = ^ Pk . k=1 Это свойство также можно получить из соотношений (1), применив эти соотношения последовательно для всех значений k, принадлежащих одному и тому же подмножеству Sl . 2. Уравнение, содержащее мультиоднородную функцию Рассмотрим уравнение относительно неизвестной функции u(t, Xj,..., xN) ( du du | Lu= F\-- I. (2) v dX] dxN ) M gm Здесь Lt = ^ am (t)--линейный дифференциальный оператор по переменной t. m=1 dt du Пусть pi =- (i =1,., N). Далее, предположим, что вектор Р = {pj,...,pN} dx1 можно разбить на K+1 непересекающихся подвекторов Р0,р,...,Рк таким образом, что функция F является мультиоднородной относительно подвекторов р,..., Рк . Вектор независимых пространственных переменных X = {xj,..., xN} разбиваем на соответствующие подвекторы Xk = {xi}ieI и введем также соответд Г д ] ствующие векторы производных-= < - > (k = 0,1,..., K). dXk № J ieIk Применяя метод РП к уравнению (2), решение будем искать в виде u(t, X) = T0(t) + V00 (X 0) + £ Tk (t) Vk (Xk). (3) k=1 Подставим выражение (3) в уравнение (2) и, учитывая соотношения мультиод-нородности (1), приводим это уравнение к виду LTot(Xk) LMl = ffe, ( S(t) k=1 S(t) ^5Xo 5Xi 5xk J W s (t) = П T (t )]rk. (4а) k=1 Продифференцируем уравнение (4) по Xk (k =1,..., K), откуда получаем LtTk(t) dVk = F(dVLdVL дУЛ (5) S (t) dXk dXk !vdX0 , dX1 '" dXK J ' () Так как правая часть уравнения (5) не зависит от t, то это уравнение может удовлетворяться только при выполнении условий LLTW = v, (6) s (t) k где k =1,..., K. Подставляя (6) в уравнение (4) и учитывая, что правая часть этого уравнения также не зависит от t, получим LTt) = v (6а) S(t) 0 В итоге уравнение (4) приводится к виду +iWk)=F(fkfi-....fKl (7 k=1 ldX 0 dX1 dXK ) Рассмотрим частные случаи, в которых может быть удовлетворено уравнение (7). Случай 1: Х0 = 0, Хк = 0 (k =1,..., K). Тогда функции Vk (Xk) должны удовлетворять уравнению F fe, ^1 = o. (8) \dX o 9X1 9Xk J Решение уравнения (8) будем искать в виде Vk (Xk) =Фk(Zk) (k =1,...,K) , vq(Xo) = zq, (9) z, k =: ctxt, (9а) isI, где ci - некоторые постоянные, (zk) - некоторые неизвестные дифференциdV = ct Ф'к (zk), уравнение (8) isIk дхг сводим к следующему: П[Фk(Zk)fkF (Co,С1,...,Ck )= o, (10) k=1 где введены постоянные векторы Ск = {сг }isI . Уравнение (10) удовлетворяется в следующих случаях. руемые функции. Принимая во внимание, что k а) F (Co,Ci,...,C, )= 0. (11) Тогда решение уравнения (2) в этом случае u(t,X) = To(t) + Zo (t)Фк(Zk) . (12) k=1 Здесь функции Фk (zk) являются произвольными, zk определяются формулой (9а) при k = 0,1,...,К , причем постоянные ct должны удовлетворять соотношению (11), а функции Tk (t) при тех же значениях k должны удовлетворять уравнению LtTk (t) = 0. (12а) б) Фk (zk) = 0 при некотором фиксированном k = k0, удовлетворяющем условию rk > 0 . Тогда решение уравнения (2) также определяется формулой (12), причем функция Фk = const, а остальные функции Фk (zk) являются произвольными. При этом, в отличие от п. а), постоянные ct также являются произвольными. Случай 2: X0 ф 0, Xk = 0 (k =1,...,К). В этом случае левая часть уравнения (7) равна X0 , т.е. не зависит от пространственных переменных, поэтому Vk (Xk) = zk и решение уравнения (2) запишется как u(t,X) = T0(t) + z0 +^Тк(t)zk . (13) k=1 Здесь функции Tk (t) определяются из уравнения (12а), после чего функция T0(t) находится из уравнения (6а). Постоянные ct, входящие в выражение (9а) для zk, должны удовлетворять условию F (C0,C1,...,Cк )=X0 (13а) Случай 3: X k ф 0 при некоторых значениях k eH . Множество значений S ={1,...,К} индекса k разделим на два непересекающихся подмножества Sb S2 следующим образом: если k eH1 (k eH2), то для данного значения k Xk ф 0 (Xk = 0) соответственно. Тогда уравнение (7) запишется следующим образом: X0 + ,5 «(Xk) = F- С Так как левая часть уравнения (14) не зависит от Xk при k eH2, k = 0, то для этих значений k Vk (Xk) = zk. Далее, покажем, что уравнение (14) может быть удовлетворено только в том случае, если множество Е1 включает в себя не более одного элемента. Так как левая часть (14) представляет собой сумму функций, зависящих от разных аргументов, то и правая часть этого уравнения должна быть представима в виде суммы функций, зависящих от тех же аргументов: F (P0, P,. P,к )=Е Fk (Pk). (15) keH, Пусть l eS1 - некоторое фиксированное значение индекса k. Тогда из соотношений (1) и (15) следует F(Pq,P1,...,aP,,...,Pk) = ^ S Fk(Pk). (16) С другой стороны, из (15) непосредственно вытекает F(Pq,P,...,aPi,...,PK) = £ Fk(dkPk) , (17) где fa если k = l, если k * l. ~ I*-*. WJlfl /V a k =L „_ и., (17а) (a 1 Сопоставляя (16) и (17), приходим к соотношению S {(Pk) - Fk (akPk )} = 0. (18) Равенство (18) должно удовлетворяться при произвольных a, Pk . Так как слагаемые в левой части (18) зависят от разных аргументов , то (18) эквивалентно следующей системе равенств: (ari -1)Fk (Pk) = 0 (k e»1, k * l), (19а) a rlF (P) - F (aP) = 0 (196) Равенства (19а) могут быть удовлетворены при произвольных a, Pk только в том случае, если Fk (Pk) = 0 при всех k еН1, k * l. Это означает, что при выбранном значении l F(P0,P1,...PK) = Fl(Pl), т.е. множество S1 состоит из одного элемента. Поэтому сумма в левой части (14) включает только одно слагаемое, благодаря чему это уравнение можно записать в виде f dV ^ X0 + XV (Xl) = Fl ^) . (20) ~ Xq С помощью линейной замены V = Vl + - это уравнение сводится к следующему: Xl f dV, ^ - Fl IdF)-XV(Xl) = 0. (20а) Уравнение (20а) было рассмотрено в работе [3]. Его решение имеет вид а) в случае в,Ф 0 (г,Ф 1): V(Xl) = ®,В,)1/Pl (z, + dl)1/Pl, z, = S СгХг ; (21a) xi sXi б) в случае в, = 0 (г, = 1): V (Xl) = exp (Bl (z, + dt)). (21 б) Здесь введены обозначения: р'=(r'-1)/r„ в,=УЫ"", ci, d, - произвольные постоянные, С{ = {ci } ieI . Тогда решение исходного уравнения (2) для рассматриваемого случая можно записать как u (t, X) = T0 (t) + Z0 + £ Tk (t) Zk + T (t) V (z,). (23) k=1 k *l Здесь функции Tk (t) являются решениями уравнения (12а), функция T0(t) находится из уравнения (6а), T, (t) определяется из уравнения (6), в котором необходимо заменить k ^ l, (zl) определяется формулами (21). Случай 4: Vk = const при некоторых значениях k eH , причем предполагаем, что для этих значений k rk > 0 . Разделим множество H на два непересекающихся подмножества Sb S2 следующим образом: если k eH1 (k eH2), то для данного значения k Vk = const (Vk Ф const) соответственно. Из свойства (1а) мультиод-нородной функции следует, что в рассматриваемом случае правая часть уравнения (7) тождественно равна 0. Тогда это уравнение можно переписать в виде X 0 kVk (Xk) = 0, (24) keH2 X0 = X0 + £XkVk . (24а) keH1 Так как слагаемые под знаком суммы в левой части (24) зависят от разных аргументов и при этом не являются постоянными, то это уравнение может быть удовлетворено в том и только в том случае, если X0 = 0, Xk = 0 для всех k eH2 . Тогда, введя функцию T0(t) = T0(t) + X Tk(t)Vk , решение keH 1 уравнения (2) для данного случая запишем в виде u(t,X) = A(t) + Z0 + X Tk(t)Vk(Xk). (25) keH 2 Здесь функции T0(t) , Tk (t) должны удовлетворять уравнению (12а), а функции Vk (Xk) являются произвольными. Кроме рассмотренных выше решений уравнение (2) может иметь также дополнительные решения. Это вытекает из свойства 2 мультиоднородных функций, сформулированного в п. 1. Действительно, для каждой из систем подвекторов P,..., PL, образованных способом, описанным в п.1, из исходной системы P,..., PK, проводя рассуждения, аналогичные приведенным выше, можно получить решения, соответствующие этой системе подвекторов. d2u du Г du Л2 du Г du л2 dt dx1 V dx3 J dx2 V dx, Функция в правой части этого уравнения является мультиоднородной относи тельно подвекторов Pj = {p1,p2}, P2 = {p3,p4}, где p, = Решая уравнение (26) методом РП, в соответствии с описанными выше результатами, получаем следующие решения: 1) u(t,X)=A01 + B0 +£ (Akt + Bk)Фк (zk) ; k=1 2) u(t,X)=A0t + B0 + (A1t + B1)V1(x1,x2) ; 3) u(t,X)=A0t + B0 + (A21 + B2)V2(x3,x4); (26) du dx Пример. Рассмотрим уравнение 4) u(t,X) = T,(t) + £(Akt + Bk)Zk , k=1 T)(t) = A0t + B0 + a-^2- j + B2)6 + Bl^t + B2f X 0 [ A где Ai = "A1, B1 = Bi -AT B2; a2 ^2 2 A2 t = A2t + B2, l1/4,K1/4 - модифи- ( г t2 л Гт2 Л Л где T1 (t) = A1I + B1K1/4 1/4 V 2 A2 J V 2 A2 j цированные функции Бесселя; 6) u(t,X)=A0t + B0 + (A1t + B1)z1 + 4q2T2(t)(z2 + c0)2 , где T2 (t) определяется из уравнения T2''(t) - X2 (A1t + B1 )T22 (t) = 0 ; 7) u(t, X)=A0t + B0 +4qT (t) 3j2 -(z + C0) где T(t) определяется из уравнения T"(t) - XT3(t) = 0 ; 8) u(t,X)=A0t + B0 + q1/3(At + B)(z + c0); 9) u(t, X)=A0t + B0 + (At + B)Ф(z). Здесь Ф(z), Ф12 (z12), V (x1, x2), V2 (x3, x4) являются произвольными дифференцируемыми функциями своих аргументов; c, (i = 0, 1, 2, 3, 4), X, A, B, Xk, Ak, Bk (k = 0,1,2) - произвольные постоянные; q, qk определяются выражениями (k = 0,1,2); zk определяются выражением (9а), Xk X q= 2 2 , qk 2 2 C1C3 I C2 C4 C1C3 I C2 C4 4 z = Xcixi . Решения 5), 6), 7), 8) применимы при условии c1c32 + c2c42 Ф 0 ; решеi=1 ния 1), 4), 9) - при условии c1c32 + c2c42 = 0 . Уравнения для функций T(t), T2(t), приведенные выше для решений 6),7), сводятся к уравнению Эмдена - Фаулера [6]; выражение для T1(t), входящее в состав решения 5), также получено в [6, с.157]. Заключение Таким образом, в данной работе методом разделения переменных получены решения уравнения в частных производных, содержащего мультиоднородную функцию от производных первого порядка по пространственным переменным. Проанализирован вид решения для возможных частных случаев и приведен пример применения полученных в работе соотношений.

Скачать электронную версию публикации