The contact problem for bending of a two-leaf spring with variable thicknesses of leaves.pdf Контактная задача об изгибе двухлистовой рессоры заключается в отыскании контактных сил в системе двух консольных балок (листов) различной длины под заданной нагрузкой (рис. 1). В отсутствие этой нагрузки балки прямолинейны и плотно прилегают друг к другу. Сечения балок являются прямоугольниками одинаковой ширины, но различной переменной толщины. Под нагрузкой балки испытывают слабый совместный изгиб с возможным отставанием. Трение между балками отсутствует; изгиб каждой балки описывается моделью Бернулли - Эйлера [1]. Строгая постановка рассматриваемой контактной задачи сформулирована в [2]; там же доказана единственность решения. Аналитическое решение задачи имеется для следующих частных случаев: 1) постоянные толщины [2, 3]; 2) отношение переменных толщин меньшей и большей балок - неубывающая функция, а нагрузка - одна сила, сосредоточенная на краю большей балки [4]; 3) длины балок одинаковы, а переменные толщины и нагрузка таковы, что балки соприкасаются по всей длине [4]. Заметим, что в «технической» теории листовых рессор [5-7] решение для случая (1) известно только для нагрузки в виде силы, сосредоточенной на краю большего листа, а решения для случаев (2) и (3) являются неизвестными. Целью настоящей работы является расширение и некоторое упорядочение набора частных случаев, для которых можно построить аналитическое решение. Этим построением одновременно доказывается существование решения. Постановка контактной задачи Балки испытывают слабый (линейный) изгиб в одной плоскости; L 1 > L 2 > 0 -длины балок. Согласно теории Бернулли - Эйлера [1], линии изгиба балок y 1(x), y 2(x) имеют вид y 1(x) = ITf0Xfn-^- (f tZ1(T-t)q(T)dT-f*2(T-t)f(T)dx)dtds , (1) Ew* 0J° h13(t )\J t Jt ) y 2( x) = IT J 0 J IL 2(T -1) f (T) dT dt ds , (2) Рис. 1. Модель двухлистовой рессоры с листами переменной толщины EwJ 0 J 0 h 3(t)J * где E - модуль Юнга; w - ширина сечения; h i(x) > 0, h 2(x) > 0 - переменные толщины сечений (геометрически - при определении функций y 1 (x), y 2(x) - толщины считаются равными нулю); q(x) - заданная нагрузка; f (x) - плотность сил взаимодействия балок. Задача заключается в отыскании f(x). Будем считать, что эта функция имеет вид p( x) + Х tPt S( x - x,), (3) где p(x) > 0 - кусочно-непрерывна, непрерывна слева при 0 < x < L 2 и непрерывна справа при x = 0; P, > 0; x , > 0 (все x , различны); сумма конечна; 5 - дельта-функция Дирака. Обозначим r(x) = y 2(x) - y 1(x) (расстояние между балками). Из (i), (2) следует, что r (x) = 10x 10s a(t) ( J L 2(T -1) f (t) dt - k(t)) dt ds, (4) () 12 ' где a( x) =- Ew h3( x) h 23( x) 1 f L1 k(x) =----.---I (s - x)q(s)ds . , 1 + hf( x)/h 2( x)J x Будем считать, что q(x) > 0 непрерывна при 0 < x < L 1, а h 1(x) и h 2(x) дважды непрерывно дифференцируемы при 0 < x < L 2; тогда k(x) > 0 дважды непрерывно дифференцируема при 0 < x < L 2. Условие контакта балок состоит, помимо неотрицательности плотности сил взаимодействия, в том, что расстояние между балками неотрицательно, а в тех точках, где плотность сил взаимодействия положительна, - равно нулю. Окончательно приходим к следующей математической постановке задачи. 2 Задача. Найти функцию f (x) вида (3), такую, что при 0 < x < L r (x) {= 0 (f (x) > (5) r (x) \> 0 (f (x) = 0), (5) где r(x) в^1ражается формулой (4), в которой a(x) > 0 непрерывна при 0 < x < L 2, k(x) > 0 дважды непрерывно дифференцируема при 0 < x < L 2. Утверждение 1. Поставленная задача может иметь только одно решение. Доказательство проведено в [2] (с использованием несколько иного представления функций (1), (2)). Аналитическое решение задачи в некоторых частных случаях Утверждение 2. Если k"(x) < 0 при 0 < x < L 2, то решение поставленной задачи имеет вид f (x) = F S( x - L 2) (6) (соприкосновение в одной точке, рис. 2, а; здесь и далее соприкосновение в точке защемления не упоминается), где С L 2 С L 2 2 F = J (L 2 - x)a(x)k(x)d^/ ^ (L 2 - x) a(x)dx. (7) Доказательство. Очевидно, что f(x) имеет вид (3). Подставляя (6) в (4) и учитывая (7), найдем, что r(L 2) = 0, а при 0 < x < L 2 r(x) = j 0x j s a(t)(L2 -1) (F - b(t))dtds, (8) где b(x) = k(x)j(L2 - x), b'(x) = c(x)j(L2 - x)2 , c(x) = k(x) + k'(x)(L 2 - x), c '(x) = k"(x)(L 2 - x). Так как c'(x) < 0 при 0 < x < L 2 и c(L 2) = k(L 2) > 0, то c(x) > 0; следовательно, b(x) возрастает при 0 < x < L 2. Тогда из (8) следует, что F > b(0) (иначе r(L 2) < 0). Так как b(L 2 - 0) = + да (из неравенства k"(x) < 0 следует, что k(L 2) > 0), то существует 0 < 1 * < L 2, такое, что F - b(t) > 0 при 0 < 1 < 1 * и F - b(t) < 0 при 1 * < 1 < L 2. Отсюда, с учетом (8) и равенства r(L 2) = 0, нетрудно получить, что существует 0 < x * < L 2 такое, что r(x) не убывает при 0 < x < x * и не возрастает при x * < x < L 2. Тогда из равенств r(0) = 0, r(L 2) = 0 вытекает неравенство r(x) > 0 при 0 < x < L 2. Далее, /(x) может быть положительна только при x = L 2, а r(L 2) = 0; таким образом, (5) выполнено. Утверждение 3. Если k"(x) > 0 при 0 < x < L 2 и k(L 2) = 0, то решение поставленной задачи имеет вид / (x) = k'' (x) (9) (соприкосновение по всему отрезку 0 < x < L 2, рис. 2 b). Доказательство. Очевидно, что /(x) имеет вид (3). Заметим, что если k(L 2) = 0, то k'(L 2) = 0. Тогда, подставляя (9) в (4), найдем, что r(x) = 0 при 0 < x < L 2; таким образом, (5) выполнено. Утверждение 4. Если k''(x) > 0 при 0 < x < L 2 и k(L 2) > 0, то решение поставленной задачи имеет следующий вид: а) Если Ф(0) < 0, то / (x) = F 5( x - L 2) (10) (соприкосновение в одной точке, рис. 2, а). (12) (13) Рис. 2. Варианты сил взаимодействия листов b) Если Ф(0) > 0, то c(X) Гk"(x) (0 < x < X), /(x) = b(X)5(x-L2)-Li-)X§(x-X) 0) (X < x < L)) (11) (соприкосновение по части отрезка 0 < x < L 2 и в точке; рис. 2, c), где ф(Л) = |л2 a(x)(L2 -x)2 (Ь(Л)-b(x))dx, 0 0 при X < t < t** и b(X) - b(t) < 0 при t** < t < L 2. Отсюда, так же как при доказательстве утверждения 2, заключаем из (14), что r(x) > 0 при X < x < L 2 и, следовательно, при 0 < x < L 2. Далее, f(x) может быть положительна только при 0 < x < X и при x = L 2, а r(x) = 0 для этих значений x; таким образом, (5) выполнено. Некоторые замечания к полученным результатам и выводы Если толщины листов постоянны, то утверждение 4 приводит к результатам [2, 3]. Теорема, эквивалентная утверждению 3, упомянута в [4] без доказательства. В [4] также без доказательства приведено решение контактной задачи для случая, в котором h 2(x) / h 1(x) - неубывающая функция и q(x) = P5(x - L 1). Этот случай утверждениями 2-4 не охватывается. Таким образом, в настоящей работе результаты [2-4] частично обобщены и частично дополнены. Можно показать, что утверждения 1-4 остаются справедливыми и при заметном ослаблении требований на гладкость функции k(x). Эту функцию можно считать лишь непрерывной и кусочно дважды непрерывно дифференцируемой, если понимать k"(x) в "обобщенном смысле": в точках излома k(x) доопределять k'(x) по непрерывности слева, а в точках разрыва k'(x) (первого рода) добавлять к k''(x) соответствующую 5-функцию. Использованный в настоящей работе подход к решению контактной задачи для двух балок переменной толщины показывает, что структура решения определяется знаком функции k''(x). Этот подход может быть применен как для дальнейшего исследования данной задачи (случаи, когда k''(x) меняет знак), так и для решения близких контактных задач (например, для других вариантов закрепления концов балок).

Скачать электронную версию публикации