Non-standard problems of homogeneous structural elements with wedge shape features in the plane case.pdf Понятие нестандартной задачи механики деформируемого твердого тела (МДТТ) не является общепринятым. Оно впервые вводится в настоящей статье. Под нестандартными мы понимаем задачи МДТТ, в которых количество ограничений, вытекающих из сути задачи, оказывается избыточным. Например, в плоской задаче при задании усилий на контуре в каждой точке стандартно задается вектор напряжений, определяемый двумя параметрами (в частности, нормальным и касательным напряжением). Если на контуре имеется точка, в которой заданы не два, а три или более условий для напряжений, задача становится нестандартной. Нестандартные задачи характерны для однородных тел, на границе которых касательные к образующим претерпевают разрывы первого рода; для составных тел, например слоистых; для конструкций, полученных путем пайки, сварки или склеивания; в контактных задачах при наличии и отсутствии сухого трения и т. п. Во всех этих случаях возникают точки концентрации напряжений, способствующие разрушению конструкции, поэтому изучению рассматриваемых задач уделяется достаточно большое внимание исследователей [1-17]. При этом обычно авторы нестандартную задачу заменяют стандартной. Для этого используется два подхода. Первый состоит в исключении из рассмотрения точки, в которой заданы избыточные условия [1,3-7 и др.]. Решение в этом случае может быть лишь асимптотическим и оно, как правило, не удовлетворяет всем ограничениям, накладываемым на параметры состояния в особой точке. Другой прием перехода от нестандартной задачи к стандартной основан на изменении заданной геометрии конструкции - окрестность точки, в которой имеется скачок касательной, изменяется таким образом, чтобы избавиться от этого скачка [17]. Такой прием, очевидно, приводит к совершенно другой задаче. В настоящей статье предлагается способ выявления избыточно заданных независимых ограничений на параметры состояния в вершинах клиньев, являющихся конструктивными элементами однородных конструкций в условиях плоской задачи. Способ основан на использовании факта независимости компонент тензора напряжений или деформаций. Приводится пример исследования нестандартной задачи. 1. Клин, образующие которого свободны от нагрузок Рассматривается элемент конструкции, имеющий особенность в виде клина. По биссектрисе угла 2а при вершине А клина направим ось хх декартовой ортонормированной системы координат х1,х2. Внешние нормали к образующим клина обозначим через n , m . Через П', m' обозначим соответственно перпендикулярные им орты (рис. 1). Для компонент тензора напряжений принимаются обозначения ст^, для нормальных напряжений - стт, стп , для касательных - тт-, тп-. Векторы напряжений на образующих клина АВ и АС равны нулю, поэтому граничные условия в рассматриваемой задаче вблизи вершины записываются равенствами стп = 0, т, = 0, стт = 0, тт = 0 . (1) n ' n ' m ' m y ' В точке A эти равенства представляют собой систему четырех линейных однородных уравнений относительно трех неизвестных напряжений ст11, ст12, ст22: ст11 sin2 а + 2ст12 sin а cos а + ст22 cos2 а = 0, -ст11 sin а cos а-CT^cos2 а-sin2 а) + ст22 sin а cos а = 0, (2) ст11 sin2 а - 2ст12 sin а cos а + ст22 cos2 а = 0, ст11 sin а cos а -CT12(cos2 а- sin2 а) -ст22 sin а cos а = 0. Из матрицы системы уравнений (2) можно построить четыре различных определителя третьего порядка Дг- (i = 1,2,3,4). Эти определители выражаются равенствами Д1 = Д2 = -4 sin а cos а, Д3 = -Д4 = cos 2а sin 2а. (3) Приравнивая нулю определители (3), находим условия, при которых ранг матрицы системы уравнений (2) оказывается меньшим трех: а = п /2, а = п . (4) Следовательно, для решений уравнений (2) возможны три случая 1) а^п /2, а^п. Матрица системы уравнений (2) имеет ранг равный трем. Поэтому решение будет тривиальным стп = 0, ст12 = 0, ст22 = 0. Таким образом, в рассматриваемом случае напряженное состояние в точке А полностью известно и не зависит ни от материальных свойств конструкции, ни от способа ее нагружения. Оно обусловлено заданными граничными условиями в точке А. Здесь число заданных независимых условий оказывается избыточным, равным трем, что и свидетельствует о нестандартности данной задачи МДТТ. 2) а = п / 2 . Граница тела не имеет угловой точки. Из уравнений (2) определяются напряжения стп = 0, ст12 = 0. Компонента ст22 из системы уравнений не определяются, она должна находиться из решения задачи о расчете рассматриваемого элемента конструкции в соответствии с его нагружением. Число граничных условий в точке А равно двум, задача МДТТ оказывается стандартной. В С Рис. 1. Элемент конструкции в виде клина 3) а = п. Точка А в этом случае оказывается вершиной трещины. Из уравнений (2) определяются напряжения ст22 = 0, ст12 = 0. Компонента стп должна находиться из решения задачи о расчете рассматриваемого элемента конструкции. Задача МДТТ является стандартной. 2. Клин с жестко заделанными образующими Пусть образующие клина АВ и АС (рис.1) жестко заделаны, точки этих образующих неподвижны в процессе деформирования элемента конструкции. Из этого следует, что в точке А относительное удлинение линейных элементов в направлении ортов n', -m', а также сдвиги между ними, обращаются в нуль. Эти условия выражаются равенствами Biinin) = 0 eijmim'j = 0 8упЧ =0. (5) Через eij обозначены компоненты тензора деформаций. Третье из равенств (5) получено с использованием формулы Ф sin P = [2erp - (nk +П i )5 rp ] krlp, (6) определяющей сдвиг ф в произвольной точке сплошной среды между линейными элементами с направлениями k , l и углом р между ними. В формуле (6) обозначено , П1 - относительные удлинения в точке сплошной среды в направлении ортов k , l соответственно, 5 rp - координаты метрического тензора. Равенства (5) в результате подстановки координат ортов n', m' приводятся к системе линейных однородных уравнений относительно деформаций еп, sJ2, s22: Sjj cos2 а- 2sj2 sin а cos а + S 22 sin2 а = 0, Sjj cos2 а + 2sj2 sin а cos а + s22 sin2 а = 0, (7) -Sjj cos2 а + s22 sin2 а = 0 . Определитель Д матрицы системы уравнений (7) Д = 8cos3 а sin3 а в промежутке 0

Скачать электронную версию публикации