Mathematical simulation of the formbuilding of the conic driving gear details with ec-gearing.pdf В [1] была рассмотрена геометрия касания поверхностей детали и инструмента при формообразовании деталей цилиндрического передаточного механизма с экс-центриково-циклоидальным зацеплением (ЭЦ-зацеплением [2]), т.е. устройства, у которого оси вращения входной и выходной деталей параллельны. В данной работе аналогичные задачи решены для конической передачи с ЭЦ-зацеплением, у которой оси вращения деталей пересекаются (рассмотрен случай пересечения под прямым углом - см. рис.1). Рис. 1. Входная и выходная детали конической передачи в ЭЦ-зацеплении 1. Параметрические уравнения поверхностей деталей Параметрические уравнения поверхностей деталей X = fx(u, v), У = f2(u, vX г = fs(u, v) будут записаны в виде вектор-функций двух аргументов, т.е. в виде (f (u,v Г (u, v ) = f2 (u, v ) f3 (u, VI 1.1. Выходная деталь Пусть дана сфера радиуса R, которую можно задать вектор-функцией двух аргументов u и v, принимающих значения от 0 до 2п: cos u cos v ( R R cos u sin v R sin u Л S (u, v) = Обозначим через z1 количество зубьев входной детали (далее - шестерни), через z2 - количество зубьев выходной детали (далее - колеса), а через n - передаточное отношение Z2 П =-. Z1 Циклоидальную кривую на сфере описывает точка окружности радиуса е, лежащей на сфере, при одновременных поворотах этой окружности вокруг своего -а центра на угол а и вокруг оси вращения колеса (ось OZ) на угол - . Такую окn ружность можно задать поворотом радиус-вектора точки (VR2-7Л 0 0 ^ M = - £ вокруг оси OX: Okr(а) = Qx(а)M, (1 0 0 cosa - sin а 0 sina cosa Qx (а) = где - матрица поворота вокруг оси OX на угол а. Тогда циклоидальная кривая на сфере (см. рис. 2) задаётся в виде вектор-функции Sn (а) = Qz (а )Ok:(а), (1.1) Г f-аЛ . f-аЛ ^ cos | - I - sin I - | О n J V n Qz (а) = -а -а где sin cos - матрица поворота вокруг оси OZ на угол n Рис. 2. Обозначено: 1 - циклоидальная кривая; 2 - окружность радиуса е, 3 - точка, описывающая циклоиду Поверхность колеса образована движением в пространстве кривой, называемой профилем детали. В коническом ЭЦ-зацеплении профилем колеса является эквидистанта циклоидальной кривой на сфере (1.1), т.е. огибающая семейства окружностей радиуса р < е , лежащих на сфере, центры которых проектируются из центра сферы в точки кривой (1.1). Для построения эквидистанты достаточно повернуть радиус-вектор каждой точки циклоидальной кривой в нормальных плоскостях этой кривой на угол Y = arccos--. R Принимая в качестве базисных векторов нормальной плоскости в точке кривой (1.1) ортогональные векторы Sn(a) и векторное произведение Sn(a) х Sn'(a), запишем эквидистанту циклоидальной кривой на сфере в виде ~ЕГ, ч тт. ч , D • Sn(a)х Sn'(a) Ev(a) = cos y Sn(a) + R sin y _Л .. (1.2) Sn(a) х Sn'(a) -а На рис. 3 изображен фрагмент эквидистантной кривой - профиля колеса в касании с окружностью радиуса р - профилем зуба шестерни для случая z1 = 3 . 2 V 1 J Рис. 3. Обозначено: 1 - окружность радиуса е; 2 - окружности радиуса р; 3 - эквидистантная кривая Для построения поверхности колеса нужно эквидистанту циклоидальной крии „„ вой поворачивать на угол - вокруг OZ с одновременным уменьшением радиуса n сферы, на которой она расположена от R до (R - lr) (lr - ширина входной детали). Это приводит к записи уравнения поверхности колеса в виде вектор-функции двух аргументов: Fk (и, а) = C (и )• Qz (и )Ev(a), (1.3) lr • z1 где C (и) = 1 - с1и, с1 = п 2п а параметр и изменяется от 0 до -. zi При и = 0 координатная линия поверхности Fk (и, а) лежит на сфере радиус 2п R - lr са R , а при и =--на сфере радиуса-. z1 R В [3] было показано, что точки контакта профилей деталей в реальном зубчатом ЭЦ-зацеплении лежат в достаточно узкой области в зоне перегиба циклоидальной кривой. Поэтому достаточно вытачивать только часть поверхности колеса, содержащую эту зону контакта. Эта часть поверхности определяется как лежащая по одну сторону от конуса с вершиной в центре сферы и основанием - ок- R • 2п ружностью радиуса rk на сфере. Величина rk задается из тех соображений, чтобы «обрезаемая» часть поверхности колеса не содержала точек зоны контакта. Запишем уравнения конуса, обрезающего зубья: rk2 cos v^ Kon (u, v) = u На рис. 4 изображен фрагмент поверхности колеса и конус, «обрезающий» зуб детали. Рис. 4. Фрагмент зуба поверхности колеса и «обрезающий» конус 1.2. Входная деталь Поверхность зуба входной детали получается следующим образом. Дана сфера радиуса R и круговой конус с вершиной в центре этой сферы, пересекающий её по окружности радиуса е. Поверхность зуба образована окружностями, лежащими на концентрических сферах уменьшающихся радиусов, с центрами на конической винтовой линии, причем по мере приближения к центру сферы уменьшаются и радиусы окружностей (рис. 4). Наибольшая образующая окружность зуба лежит на сфере радиуса R и имеет радиус р. Эту окружность можно задать в виде вектор-функции: '4R2rk sin v -rk okr(a)= Тогда уравнение поверхности зуба шестерни можно записать в виде Fs(u, а) = C (и) Qx(u) okr (а). (1.4) Уравнение конуса, на котором лежат центры окружностей, образующих зуб шестерни, имеет вид u - е-sinv v / Wr1 -е2 u -е •cosv kon(u, v) = На рис. 5 изображён этот конус и один зуб шестерни. ч Рис. 5. Поверхность одного зуба входной детали на коническом барабане цессе движения фрезы её центр находится на поверхности цилиндра переменного радиуса с осью - осью вращения колеса. Запишем уравнения этого цилиндра в виде вектор-функции: 'Rxk cos u Clk (u, v) = Rxk sin u I v Здесь через Rxk обозначен переменный радиус цилиндра: ( Rc - Rc0 k = RC1 -( 1 K где K - число шагов изменения радиуса цилиндра, а k - это целое число, находящееся в диапазоне от 0 до K. Для каждого значения этого радиуса от Rc до Rc0 нужно найти координаты центра сферы (фрезы), касающейся заданной линии на обрабатываемой поверхности. Линия задается фиксированным значением параметра а = а0 в уравнениях поверхности (1.3) или (1.4). Это касание обеспечивается, во-первых, наличием общей точки у сферы диаметром df и у поверхности детали, что можно в векторной форме записать в виде df_ 2 и, во-вторых, параллельностью нормалей к этим поверхностям в точке касания (общая касательная плоскость). Поскольку нормаль к сфере определяется вектором Clk (u, v) - F (и, а0), а нормаль к поверхности детали перпендикулярна касательным к двум координатным линиям на этой поверхности, то второе условие приводит к ещё двум уравнениям: ГС4 (u, v) - Fto a0)l.dFu^ = 0; (.2) k do \CTk (u, v) - Ffr a0)]--dF(U-^ = 0. (2.3) k да Таким образом, получена система (2.1) - (2.3) из трёх уравнений на три неизвестных: u, v, и. Её аналитическое решение приводит к трансцендентному уравнению на и, корни которого находятся численно с помощью встроенных программ пакета MathCad. Благодаря специальному созданному алгоритму нахождения начальных приближений, корни находятся с высокой точностью (порядка 10-12мм). На рис. 6 изображено положение сферической фрезы с центром на заданном цилиндре при касании фрезы с поверхностью зуба колеса в точке заданной линии на этой поверхности. 3. Обработка деталей торической фрезой При формообразовании поверхности детали малого размера, целесообразно использование не сферической фрезы, а фрезы, режущая часть поверхности которой - тор, поскольку при этом достигается меньший радиус кривизны вытачивающей поверхности фрезы. I CTk (u, v) - F (и, a0)| = f, (2.1) Рис. 6. Касание сферической фрезы с поверхностью выходной детали в точке заданной линии. Показан цилиндр, на котором лежит центр фрезы Зададим поверхность тора, полагая, что ось фрезы - это ось OZ, в виде вектор-функции двух аргументов: V rf sin u J (3.1) где df - диаметр фрезы, rf - радиус кривизны боковой поверхности тора. 3.1. Формообразование поверхности зуба колеса При обработке поверхности зуба колеса фреза перемещается в пространстве, сохраняя положение своей оси параллельным оси вращения колеса (ось OZ). При касании с поверхностью колеса в точке координатной линии, задаваемой фиксированным значением параметра а = а0 в уравнениях этой поверхности (1.3), положение фрезы определяется значениями трех смещений поверхности тора (3.1) относительно координатных осей. Обозначая величины этих смещений через Rx, Ry, Rz, запишем уравнения поверхности торической фрезы в касании с зубом колеса в виде (3.2) rf sin u + Rz V Определим дискретный набор точек на линии а = а0 значениями параметра и в уравнении поверхности колеса (1.3) по формуле = 2nk k = z1K' где K - число шагов изменения параметра и, а k - целое число, изменяющееся от 0 до K. Задача определения местоположения фрезы при обработке зуба колеса сводится к тому, чтобы для каждого значения k, т.е. для каждой из K точек на линии а = а0 , найти величины смещений Rx, Ry, Rz, исходя из условий касания поверхностей фрезы (3.2) и детали (1.3). Эти условия: 1) наличие общей точки у поверхностей (3.2) и (1.3) и 2) параллельность нормалей к поверхностям в точке касания. Из первого условия, приравнивая правые части (3.2) и (1.3), получаем выражение смещений Rx, Ry, Rz через параметры u и v: ( Rx ^ = Fk(Uk, а0) - tor (u, v). Ry v Rz / (3.3) Для записи соотношений, к которым приводит второе условие, обычным образом найдем вектор нормали к поверхности тора (3.1): dtor(u, v) dtor (u, v) ( cos u cos v^ cos u sin v sin u dv \ Nt (u, v) = du Аналогично, дифференцируя по параметрам и и а вектор-функцию (1.3), найдем вектор нормали к поверхности зуба колеса: /1 (и,а)а^| Пj + (и,а^1п (n ./1(и,а^1п| Пj- /,(и,а)аи(П /0(и,а) Nk (и, а) = (3.4) где обозначено: /0 (и, а) = ((а)0 Ev (а)0 + Ev(0)1 Ev (а)1 ) + ((а) 0 Ev (а)1 - Ev(а)J Ev (а)0 ) C /1 (и, а) = -Ev(a)0 Ev (а)2 C+ (((а^ Ev (а)2 - Ev(a)2 Ev (а))c1, /2 (и, а) = -Ev^\ Ev (а)2 C+ (((а)0 Ev (а)2 - Ev^)2 Ev (а)0)c1. В соотношениях (3.4) скалярные функции Ev^). и Ev (а). (i = 0,1,2) - это координаты вектор-функции Ev^) из (1.2) и ее производной по параметру а, а C (и) и c1 введены в (1.3). Из условия 2) параллельности нормалей Nt(u, v) и Nk("ok, а0) получаются два соотношения на параметры u и v, из которых удается выразить эти параметры через uk и а0. Таким образом, для каждой точки (uk) на линии а0 получаем значения параметров u и v, при подстановке которых в (3.2) получаем координаты точки касания фрезы и детали, а при подстановке этих значений в (3.3) находим величины смещений Rx, Ry, Rz, определяющих положение фрезы в пространстве в момент касания с деталью. На рис. 7 показан фрагмент поверхности зуба колеса в касании с торической фрезой в точке линии а = а0 . Рис. 7. Фрагмент поверхности зуба колеса в касании с торической фрезой 3.2. Формообразование поверхности зуба шестерни Запишем уравнения обрабатываемой поверхности зуба шестерни (1.4) в развернутом виде: С okr (а)0 А Fs(u, а) = C (и) (3.5) okr (а)1 cos и - okr (а)2 sin и окг(а)1 sin и + окг(а)2 cos и где okr (а) (i = 0,1,2) - координаты вектор-функции okr (а), задающей наибольшую образующую окружность зуба шестерни (см. п. 1.2). Параметр а на поверхности зуба шестерни считается заданным (а = а0) - тем самым на этой поверхности выделяется винтовая линия, которой касается фреза при обработке детали. Вектор нормали в произвольной точке поверхности (3.5) имеет вид ' Я0(и,а) А Ns(u, а) = gj (и, а)о^ и + g2 (и, а^ш и vgj (u^)sin и - g2 (и,а)ао и где обозначено g0(u,a) = okr'(a)j (okr(a) C(u) - okr(a)2 c1) + okr'(a)2 (okr(a)2 C(u) + okr(a) c1), g1 (u,a) = -okr '(a)2 okr (a)0 c1 - okr '(a)0 (okr (a)j C(u) - okr (a)2 c1), g2(u,a) = -okr'(a)1 okr(a)0 c1 + okr '(a)0 (okr (a)2 C(u) + okr(a)1 c1), а okr '(a);, i = 0,1,2, - координаты производной вектор-функции okr(a). При обработке поверхности зуба шестерни ось фрезы находится в плоскости П, перпендикулярной оси вращения шестерни (ось OX), смещаясь вместе с этой плоскостью вдоль оси OX на величину Rx. Кроме того, ось фрезы поворачивается в плоскости П на угол ф, а поверхность тора смещается вдоль этой оси на величину Ht. Эти три величины определяют положение фрезы в каждый момент времени обработки детали (т.е. для каждой точки Fs(uk, a0) заданной линии a = a0 на обрабатываемой поверхности) и должны быть найдены из условия касания взаимодействующих поверхностей. Запишем уравнения поверхности фрезы с учетом этих смещений в виде (1 0 0 \( (0 ^ (Rx\ tor(u,v)+ 0 VHt уу V 0 cos ф sin ф V0 - sin ф cos фу Тогда единичный вектор нормали поверхности тора в точке с криволинейным координатами (u, v) имеет вид ' cosucosv Л Nt(u,v,ф) = sinфsinu+cosфcosusinv . V cos ф sin u-sin ф cos u sin v у Чтобы найти точки касания поверхности детали и тора (фрезы), используем два условия: параллельность нормалей этих поверхностей в точке касания и принадлежность этой точки обеим поверхностям. Из условия параллельности нормалей Ns(uk, a0) X Nt(u, v, ф) = 0 при a = a0 получаем 2 уравнения на 3 неизвестных, u, v, ф, из которых можно выразить u и v через ф: sin(uk +ф) g1 (%, a0) - cos(% +ф) g2 (uk, a0) (3.6) Tr(u, v, ф, Rx, Ht) = tg(u) = Vg0(uk, a0)2 + g1(uk, a0)2 cos(uk +ф) g1 (uk, a0) + sin(uk +ф) g2 (uk, a0) tg(v) = g0(uk, a0) Условие наличия общей точки у поверхностей: Tr (u, v, ф, Rx, Ht) = Fs(uk, a0) приводит к ещё трём уравнениям на 3 неизвестных ф, Rx и Ht (после подстановки в эти уравнения соотношений (3.6)). Аналитическое решение этой системы приводит к трансцендентному уравнению на ф, корни которого находятся численно с помощью встроенных программ пакета MathCad. Благодаря специальному созданному алгоритму нахождения начальных приближений, корни находятся с высокой точностью (порядка 10-12 мм). На рис. 8 изображено положение торической Рис. 8. Контактное взаимодействие поверхности зуба шестерни с торической фрезой Решенные в данной работе задачи были использованы при разработке компьютерных программ для станка с ЧПУ, управляющих движением фрез при формообразовании деталей различных механизмов с ЭЦ-зацеплением. Эти программы успешно применяются при изготовлении в ЗАО «Технология маркет» (г. Томск) опытных образцов конических тяговых редукторов для железнодорожного транспорта и двухступенчатого редуктора [3], который прошел успешные испытания на фирме SEW (Германия).

Скачать электронную версию публикации