On a class of reserved devices.pdf Задача повышения надёжности сложных устройств остаётся актуальной, несмотря на прогресс в технологии изготовления элементов систем. Прогресс в повышении надёжности элементов систем компенсируется растущим усложнением структуры и возрастающими требованиями к надёжности систем. Среди моделей с управляемым резервом, рассмотренных в работах Райкина [1], Герцбаха [2], То-миленко [3], Ушаковой - Пестова [4], можно выделить один класс систем с управляемым резервом. Задача, аналогичная данной, решалась другими методами в работах [5-7]. Далее мы дадим описание систем этого класса. Время в системе дискретно и может принимать значения, кратные некоторой положительной константе А: А, 2 А, 3А,... . В каждый из этих моментов времени производится проверка исправности всех включённых в работу элементов и принимается решение о том, какое количество исправных элементов следует включить в работу. Исправные элементы в резерве (не включённые в работу) остаются исправными. Пусть состояние системы в данный момент времени полностью характеризуется набором параметров (r,s), где r - количество исправных элементов в данный момент времени, как включённых, так и не включённых в работу, s - некоторый конечный вектор параметров системы, задаваемый в начале работы системы. В дальнейшем исследуются системы, у которых в процессе работы вектор параметров s не изменяется. Функцию K(r,s), принимающую целые значения и такую, что для каждого натурального r выполнено неравенство 1 < K(r,s) < r , назовём стратегией резервирования системы. Поскольку вектор параметров s не изменяется в процессе работы системы, то в перечне аргументов различных функций мы будем его опускать. Например, вместо K(r,s) всюду пишем K(r). Система рассматривается на этапе нормальной работы, когда элементы не стареют (или почти не стареют). Заметим, что через K (K прописное с индексами) будем обозначать стратегию резервирования, в отличие от k строчного, обозначающего целочисленную константу. Функционал T, заданный на множестве пар (r,K) и принимающий неотрицательные значения, назовём критерием оптимизации. Таким образом, если задано количество r исправных элементов и стратегия K, то задано и значение критерия T(r,K). Рассмотрим несколько моделей, где функционал T имеет уже конкретный смысл. В каждой из моделей, рассмотренных ниже, задан свой критерий оптимизации. Модель Mi. Система Sm функционирует на конечном промежутке [1,n], где n -натуральное число. Система Sm функционирует исправно тогда и только тогда, когда количество включённых в работу исправных элементов не меньше чем m. Для вычисления характеристик системы ещё необходимо знать распределения вероятностей отказов элементов за один шаг, если в работу включено k исправных элементов. Обозначим через f (k,i) вероятность следующего события: в работу включено k исправных элементов, из них за один шаг отказало ровно i. Будем считать функцию f (k,i) известной. В качестве критерия оптимизации в модели M1 используем среднее время исправной работы системы. Обозначим через T(r) математическое ожидание времени работы системы при стратегии, оптимальной по критерию среднего времени работы системы, если в начальный момент имеется ровно r исправных элементов. Через T(k,r) обозначим математическое ожидание времени работы системы, если в начальный момент включено в работу k элементов, а в дальнейшем используется стратегия, оптимальная по критерию среднего времени работы системы. Из определения системы Sm следует, что k > m. По формуле полного математического ожидания [8] имеем k -m T(k,r) = £ T(r - i)F(k, i). (a) i=0 Рассмотрим максимум величины T(k,r) по k. Этот максимум существует в силу конечности модели Sm. Очевидно, что maxT(k, r) = T(r). k Всюду в дальнейшем предполагаем, что исправные элементы в резерве остаются исправными, а каждый исправный элемент, включённый в работу, отказывает за один шаг с вероятностью q = 1-p, независимо от состояния других элементов, и остаётся исправным с вероятностью p . Итак, если в работу включено k элементов, то количество элементов, отказавших за один шаг, подчиняется биномиальному распределению. Значит, F(k, i) = C'kpk-1q', и также k-m T(k,r) =X Ckpk-'q'T(r -i). (b) i=0 Модель M2. Система функционирует на промежутке [1, ж). Как и в модели M2, вводим характеристики системы: T(k,r) - математическое ожидание времени работы системы, если в начальный момент включено в работу k элементов, а в дальнейшем используется стратегия, оптимальная по критерию среднего времени работы системы; обозначим через T(r) математическое ожидание времени работы системы при стратегии, оптимальной по критерию среднего времени работы системы, если в начальный момент имеется ровно r исправных элементов. По формуле полного математического ожидания [8] имеем k-m T(k,r) =£ C[pk-'q'T(r -i). (c) i=0 Модель M3. Пусть система функционирует на промежутке [1, n], где n - натуральное число. Пусть K есть стратегия резервирования. Иначе, K есть функция, заданная на множестве натуральных чисел N, такая, что для каждого r из N величина K (r) есть количество исправных элементов, которые следует включить в работу, если количество исправных элементов равно r. Обозначим через T(K,r) вероятность того, что система не откажет на [1,n] при стратегии K, если в начальный момент имеется r исправных элементов. Как и раньше, будем считать известной функцию f (k,l) - вероятность такого события: если в работу включено k исправных элементов, то из них за один шаг отказало ровно l. Обозначим через T(r) математическое ожидание времени исправной работы системы при стратегии, оптимальной по времени работы системы, если в начальный момент имеется r исправных элементов. По формуле полной вероятности имеем к-m T(к, r) = £ Скрк-1q'T(r - i). (d) =0 В каждой модели стратегию, обеспечивающую максимум заданного в этой модели критерия оптимизации, назовём оптимальной стратегией (подробнее: стратегией, оптимальной по заданному критерию). Оптимальную стратегию обозначим через K0. Естественно, в различных моделях различны и оптимальные стратегии. 1. Некоторые свойства функций T(r), T(r,k) В моделях резервированных систем Mb M2, M3 величины T(r), T(r,k) имеют различный смысл. Тем не менее для них выполнены следующие общие свойства: 1) По физическому смыслу T(r) > 0, T(r) возрастает с ростом r. 2) Экспериментальные данные приводят к гипотезе: если K0(r) постоянна на некотором промежутке [r1,r2] и р>0,5, то имеет место неравенство T(r+2)-T(r+1) < T(r+1)-T(r) (1) или T(r+2)-2T(r+1)+T(r) < 0 , (2) r е [r1, r2 - 2] . Геометрически (1) означает, что график функции T(r) - выпуклый. С физической стороны неравенство (2) означает, что скорость роста показателя качества уменьшается с ростом r. 3) В каждой из моделей Mb M2, M3 введём оператор ст на множестве функций {T(r)} следующим образом. Для каждого положительного r положим по определению ctT (r +1) = T (r). Далее оператор ст продолжаем как линейный оператор на m множество функций вида £ a^(r + bt), где а,, bt - вещественные константы. i=0 m m Таким образом, ст£ aiT(r + bt) = £ aiT(r + bt -1). i=0 i=0 к-m В частности, ст T(k,r) = £ С'крк-'q'T (r - i -1) = T(к, r -1). i=0 Итак, при r>1 имеем ctT (к, r) = T (к, r -1). Запишем свойство 2) с помощью оператора ст : (ст-1)2T(r + 2) < 0. (.1) T (r + 2) T (r +1) 4) Так как T(r) строго возрастает, то из 2) следует-1, строго убывает с ростом r , то по теореме Больца-но - Вейерштрасса существует lim T(r +1) / T(r). Обозначим этот предел через l. r -^да Докажем, что этот предел равен 1. Теорема. При r ^ да имеет место соотношение T(r+1)/T(r) ^ 1. Доказательство: По теореме возможны два случая: 1) ko(r+1) = ko(r) = k. Тогда, используя сигма-оператор, получим T(k,r+1) - T(k,r) < T(k,r+1) - T(k-1,r) = [(p+qc)k-1 (p+qo-o)]T(r+1) -(qc)k-1(qc-c)T(r+1) = p(p+qc)k-1 (1-c)T(r+1)+p(qc)k-1T(r) = = p(p+qc)k-1T(r+1) - p(qc)k-1T(r+1)+p(qc)k-1T(r+1) - p(p+qc)k-1 T(r)+p(qc)k-1 T(r) = = p(T(k- 1,r+1)-T(k- 1,r)+qk-1 T(r-k+2)). Имеем T(k,r+1) - T(k,r) < p(T(k-1,r+1)-T(k-1,r)+qk-1T(r-k+2)). Продолжая неравенство, имеем T(k,r+1) - T(k,r) < p2(T(k-2,r+1)-T(k-2,r)+qk-2T(r-k+3))+pqk-1T(r-k+2)) < ... < pqk-1 T(r+1 -(k- 1))+p2qk-2T(r+1 -(k-2))+.. ,+pk-1 qT(r)+pk-1 (T(1,r+1)-T(1,r)) < (pqk-1 + p2qk-2+...+ pk-1q)T(r) = pq(pk-1-qk-1)/(p-q) ^ 0 , при r^-o) по лемме 1. 2) k0(r) = k, k0(r+1) = k+1. Доказательство проводится аналогично. 2. Возрастание k0(r) с ростом r Обозначим через Sm модель, в которой система исправна, если и только если в работу включено не менее m исправных элементов. Рассмотрим разность k - m+1 k-m Tm(k +1,r)-Tm(k,r) = X Ck+!pk+1-'q'Tm(r-i)Ckpk-yTm(r-i). i=0 i=0 Воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов: Ck+1 = Ck + Ck-\ Tm (k +1, r ) - Tm (k, r ) = k-m+1 k-m+1 k-m = X Ckpk+1-'q'Tm(r-i) + X Ck-1 pk+1-'q'Tm(r-i)-XCkpk-'q'Tm(r-i) = i=0 i=1 i=0 k-m+1 k-m+1 k-m = X Ckpk+1-q'Tm(r-i) + X Ck-1 pk+1-q'Tm(r-i)-XCkpk-!q!Tm(r-i) = i=0 i=1 i=0 k-m k-m = -q X Ckpk-'q'Tm (r - i) + q X Ckpk-'q'Tm (r - i-1) + Ckk+1-mpmqk+1-mTm (r - k+m-1) = i=0 i=0 = q(Tm (k,r -1) - Tm (k,r)) + Ckk+1-mpmqk+1-mTm (r - k -i -1). Окончательно получаем Tm (k +1, г) - Tm (k, г) = q(а - 1)Tm (k, г) + Ck+1-mpmqk+1-mTm (r - k - i -1) . (2.1) Так как в выражении (2.1) разность Tm (k,г -1) - Tm (k,г) возрастает с ростом г, то и Tm (k +1, г) - Tm (k, г) возрастает при увеличении г. Докажем теперь, что 10(г) возрастает с увеличением параметра г. Пусть T^k/) достигает максимума при k = 10(г). Тогда ЫШг) - ^(Ыгу^г) > 0. Отсюда в силу предыдущего свойства получаем, что ^(Ыг),^) - T^M^-I^I) > 0. Значит, k0(г+1) > k0(г), то есть, k0(г+1) > k0(г). Итак, в модели Sm функция k0(г) возрастает (нестрого) с ростом г. 3. Выпуклость T(k,r) по k в Sm k Теорема: При p >- функция Tm(k,г) для системы Sm имеет не более 2k - m +1 двух максимумов при фиксированном г, причем она выпукла вверх по k в области m < k < k0m (г) +1 и не возрастает при k0" (г) < k < г . Доказательство: Воспользуемся соотношением (2.1): T(k +1, г) - T(k, г) = q(a- 1)T(k,г) + C\+1-mpmqk+1-mT(г - k -1 + m). Преобразуем с помощью него следующую разность: [T (k +1, г) - T (k, г)] - p[T (k, г) - T (k -1, г)] = = q(a - 1)T(k, г) + Cl+1-mpmqk+1-mT(г - k -1 + m) - pq(a - 1)T(k -1, г) --pCk^1"pmqk-mT(г - k + m) = q(a- 1)[T(k,г) - pT(k -1,г)] + +Ck+i-mpmq+1-mT(г - k -1 + m) - pC^pmqk-mT(г - k + m). Упростим выражение в квадратных скобках: k-m k-m-1 T(k,г) - pT(k -1,г) Ckpk-'q'T(г -i) - p X C'k-1 pk-'-1q'T(г -i) = i=0 i=0 k -m k -m k -m-1 = X Ck-1 pk-'4Пг -i) + X C-pk-г^(г -i) - X Ck-1 pk-4T(v -i) = i=0 i =1 i=0 k - m-1 = X Cj-1 pk-1 -1q]+1T(г - j -1) + CkkZmipmqk-mT(г - k + m) = j=0 = qT(k -1,г -1) + Ck-™pmqk-mT(г - k + m). Окончательно получаем [T (k +1, г) - T (k, г)] - p[T (k, г) - T (k -1, г)] = = q(a - 1)[qT(k -1, г -1) + Ckk^1"pmqk-mT(г - k + m)] + +Ck+1-mpmqk+1-mT(г - k -1 + m) - pC^pmqk-mT(г - k + m). (3.1) В (3.1) слагаемое q(a-1)[qT(k-1,г-1) + C^pmqk-mT(г-k + m)]-. 2k - m +1 k Таким образом, если T(k, r) - T(k -1, r) > 0 и p >-, то выполнено 2k m^ +1 T(k +1,r) -T(k,r) < p[T(k,r) -T(k-1,r)] < T(k,r) -T(k-1,r). (3.2) Это значит, что функция T(k, r) при фиксированном r выпукла по k на промежутке m < k < km (r) +1, где k0" (r) - значение параметра k, при котором функция T(k,r) в системе Sm достигает максимума при фиксированном r. Также из (3.2) следует, что когда T(k, r) - T (k -1, r) < 0, разность T (k +1, r) - T (k, r) < 0, а это означает, что при k0m (r) < k < r функция T(k,r) убывает по k. Свойство системы, состоящее в том, что при возрастании резерва на единицу оптимальное количество элементов, включаемых в работу, возрастает не более чем на 1, доказано в работе [1] для модели 3. Выкладки для моделей 1,2 аналогичны, поэтому в данной работе доказательство этого свойства опустим. 4. Поведение функции T(r) на скачках функции K0(r) Рассмотрим поведение функции (ст-1)2 T (r) при тех r, где K0(r) возрастает на единицу. Так как K0(r) < K0(r+1) < K0(r)+1, то возможны три случая: 1) K0(r-1) = k-1, K0(r) = k, K0(r+1) = k. 2) K0(r-1) = k-1, K0(r) = k-1, K0(r+1) = k. 3) K0(r-1) = k, K0(r) = k, K0(r+1) = k. В случае 1 получаем (ст -1)2T(r+1) = T (k, r +1) - 2T (k, r) + T (k -1, r -1) = = (p + qCT)k-1 (p + (q - 2p)CT + (p - q)CT2 )T(r +1) - (qCT)k-1 (qCT + (p - q)CT2 )T(r +1) . Так как ctT(r +1) = aT(r +1), ct2T(r +1) = apT(r +1), то в правой части имеем (p + qCT)k-1 (p + (q - 2p)a + (p - q)a$)T(r +1) - (qa)k-1 (qa + (p - q)aP)T(r +1). Оценим Aj = p + (q - 2p)a + (p - q)ap , учитывая, что a > p : Aj = p + (q - 2p)a + (p - q)ap = p(1 - a) + (q - p)a(1 - P) < (1 - a)(p + (q - p)a). Так как a ^ 1, то начиная с некоторого r, выполнено неравенство 1 - a < qa . Тогда A1 < 2qa(1 - a) < 2q(1 - a) . Оценим A2 = (qa + (p - q)aP)(qCT)k-1T(r +1) > paP(qCT)k-1T(r +1) > p3 (qCT)k-1T(r +1) . Используя оценку ctT(r +1) > pT(r +1), имеем (ст -1)2 T(r +1) < [2q(1 - a) - pk+2qk-1 ]T(r +1). (4.1) Таким образом, если 2q(1 -a) < pk+2qk-1, (4.2), то из неравенства (4.1) следует, что (а -1)2 T(r +1) < 0 . Неравенство (4.2) выполняется, начиная с некоторого r = r0, в силу того, что величина pk+2qk-1 с ростом r либо не изменяется, либо уменьшается в pq раз. Для дальнейшего удобно ввести следующие обозначения. Определение. Через ri обозначим значение r, при котором оптимальное значение K0(r) изменяется с i на i+1. Изучение экспериментальных данных приводит к следующим предположениям: 1) Расстояние между соседними скачками | ri+1 - rt | увеличивается при возрастании i; 2) функция 1-а( r) всё быстрее убывает при увеличении i. Случай 2. Пусть K0(r-1) = k-1, K0(r) = k-1, K0(r+1) = k. Тогда (а-1)2 T (r +1) = T (k, r + 1)-2T (k-1, r) + T (k-1, r-1) = = (p + qa)k-1 (p - (1 + p)a + a2 )T(r +1) + (qa)k-1 ((1 + p)a - a2 )T(r +1) = = [(p + qa)k-1 (p - (1 + p)a + aP) + (qa)k-1 ((1 + p)a - aP)]T(r +1). Оценим каждое из слагаемых в прямых скобках. Для первого имеем (p - (1 + p)a + aP)(p + qa)k-1T(r +1) = (p(1 -a) -a(1 - P))(p + qa)kk T(r + 1) > > -a(1 - P)(p + qa)k-1T(r +1) > -(1 - P)(p + qa)k-1T(r +1) > -(1 - P)T(r +1). Для второго слагаемого выполнено (qa)k-1 ((1 + p)a - aP)]T(r +1) = (qa)k-1 ((1 -P) + p]T(r) > > p(qa)k-1T(r) = pqk-lakT(r +1). Воспользуемся неравенством: akT(r +1) > pkT(r +1). Тогда (a -1)2 T(r +1) > [pk+lqk-1 - (1 - P)]T(r +1) . (4.3) Первое слагаемое в квадратных скобках с ростом k уменьшается в pq раз, а второе - с возрастанием k всё быстрее стремится к нулю. Поэтому первое слагаемое, начиная с некоторого r, будет превосходить второе. Из неравенства (4.3) вытекает, что существует такое r0, что при r>r0 первое слагаемое больше второго и, следовательно, (a -1)2T(r +1) положительно. Введем определение. Назовем максимальный промежуток [rb r2], на котором функция K0(r) постоянна, промежутком Ko-постоянства. Таким образом, 1) промежуток [0,+да) разбивается на непересекающиеся промежутки K0-постоянства; 2) при входе в очередной промежуток постоянства значение функции (a -1)2 T (r +1) становится положительным; 3) внутри промежутка и на выходе из него функция (a-1)2 T(r + 1) остается отрицательной. Случай 3 исследуется аналогично. 5. Алгоритм вычисления оптимальной стратегии резервирования Построим алгоритм вычисления оптимальной стратегии резервирования по заданному критерию T(r) в модели Sm с помощью метода динамического программирования Беллмана [9]. Для вычисления оптимальной стратегии будем использовать равенства (b),(c),(d). 1) Пусть количество исправных элементов r равно m. По построению Sm имеем k0(m) = m. Далее для каждой модели необходимо вычислить T(m). В данной работе ограничимся вычислением T(m) для модели 2. В модели 2 система Sm работает на бесконечном промежутке и в качестве критерия выступает среднее время безотказной работы системы на бесконечном промежутке. Рассмотрим события вида Alm = {система из m элементов проработала безотказно l шагов, а на следующем шаге отказала}: P( Am) = pml (1 - pm). ад ад Тогда T(m) = £ lP(Am) == (1 - pm )£ lpml . 1=1 l=1 Переобозначим pm = x. Используя почленное интегрирование ряда, вычисляем сумму £ x =l=1 (1 - x)1Тогда выражение для T(m) принимает вид pm T (m) =-f--. (1 - pm) Замечательно, что дальнейшие вычисления для всех рассмотренных моделей производятся одинаково. k-m k-m 2) Имеем T(k,r) = £ C'kpk-'q'T(r -i) = pk T(r) + £ C'kpk-'q'T(r -i) : (5.1) i=0 i=1 a) Подставляя в (5.1) k = k0(r) = k0, получим ko-m , r

Скачать электронную версию публикации