Two-rank SP-groups with clean endomorphism rings.pdf Данная работа является продолжением исследований автора [1] вопросов чистоты колец эндоморфизмов SP-групп конечного ранга без кручения - одного из классов смешанных абелевых групп [2-4]. Ранее автором было доказано, что кольца эндоморфизмов SP-групп ранга 1 с циклическими p-компонентами являются чистыми. Кроме того, было показано, что любой эндоморфизм SP-группы конечного ранга с циклическими p-компонентами, переводящий все элементы группы в её периодическую часть, является чистым. В данной работе объектом исследования являются SP-группы ранга 2 с циклическими p-компонентами без бесконечных периодических прямых слагаемых. Ниже приведён основной результат, содержащий полный ответ на вопрос о чистоте рассматриваемых групп. Теорема. Кольцо эндоморфизмов SP-группы ранга 2 с циклическими p-компо-нентами, не имеющей бесконечных периодических прямых слагаемых, является чистым. Напомним основные определения. Определение 1. Пусть R - кольцо с единицей. Элемент r кольца R называется чистым, если r = u + e , где e - идемпотент, а u - обратимый элемент кольца R. Кольцо R называется чистым, если всякий его элемент является чистым. Определение 2. Редуцированная смешанная абелева группа A с бесконечным числом ненулевых p-компонент называется SP-группой, если естественное вложение 0Ap ^ nAp продолжается до сервантного вложения A ^ nAp. Здесь и p p p далее предполагается, что p пробегает множество всех простых чисел, относящихся к A, то есть таких, что Ap Ф 0. Пусть для группы A выполнено условие A/ 0 Ap = W, (1) peP где W - двумерное подпространство Q -пространства П Ap/ 0 Ap, порождённое peP peP двумя линейно независимыми векторами ai + 0 Ap , i = 1,2 . Причём ai - бескоpe P нечные векторы из П Ap, где Ap = Z k , kp £ N ,P - некоторое бесконечное p£P p P множество простых чисел. Обозначим через Лi множество тех простых чисел p £ P , для которых пpai Ф 0. Будем полагать, что P \ (Ц- =12Лг-) - конечное множество, что равнозначно (поскольку все p-компоненты циклические) условию, что группа A не содержит бесконечных периодических прямых слагаемых. Легко показать, что A - SP-группа ранга 2. В свою очередь, любая SP-группа ранга 2 удовлетворяет условию (1), поэтому в дальнейшем изложении будем пользоваться представлением группы A , описанным выше. Доказательство основного результата удобно разбить на несколько частей, каждая из которых будет соответствовать одному из следующих случаев строения множеств Л1 и Л2 : • Л1 пЛ 2 - конечное множество; • Л1 пЛ2 - бесконечное множество и хотя бы одно из множествЛ1 \Л2, Л2 \ Л1 - бесконечное; • Л1 пЛ2 - бесконечное множество и при любом выборе базисных векторов Л1 \ Л2, Л2 \ Л1 - конечные множества. Таким образом, план доказательства - показать чистоту кольца эндоморфизмов группы A для каждого из описанных выше случаев. Это будет гарантировать справедливость чистоты кольца эндоморфизмов для произвольной группы A, удовлетворяющей условиям теоремы. Заметим, что в случае, когда Л1 пЛ2 - конечное множество, группу A можно представить в виде A = ( П Ap )ф( П Ap )ф( П Ap), где p^^Q p£A 2\Q p£Q Q = (Л1 пЛ2) u(P\(Ui=i 2Лг)) - конечное множество. Учитывая полученные ранее результаты для случая SP -групп ранга 1 [1], мы получим, что группа A обладает чистым кольцом эндоморфизмов. Таким образом, согласно предложенному плану, остаётся рассмотреть оставшиеся два случая - когда Л1 пЛ 2 является бесконечным множеством. Поэтому далее для группы A будем предполагать, что данное условие выполнено. Ниже рассмотрим некоторые вспомогательные результаты, которые будут использоваться при доказательстве основных результатов. Запишем проекции для базисных векторов: пp (a, ) = pkp-sp apcp , и зафиксируем действие эндоморфизма f на p -компонентах группы A fcp = npcp, где np £ Z; a'p £ Z, причём (a'p, p) = 1; s'p £ N, причём 0< s'p < pk ; cp - образующий элемент группы Ap . Лемма 1. Пусть множество Л1 \ Л2 - бесконечное. Тогда fa2 £ T(A), если fa1 £ T(A). Доказательство. Поскольку fa2 6 A, найдутся такие целые числа n, n1, n2, a'2 6 T (A), что nfa2 = n1a1 + n2 a2 + a'2. Перейдём к равенствам для p-компонент: почти для всех p 6 P справедливо равенство nfn pa2 = n1n pa1 + n2П pa2. Но npa2 = 0, а npa1 ф 0 для p бЛ1 \Л2, откуда следует, что n1 = 0 . Таким образом, nfa2 = n2 a2 + at2. (2) Следовательно, найдутся такие n, n2 6 Z, af 6 T (A), что справедливо следующее равенство: n fa2 = n2a2 + af. Тогда почти для всех p 6Л1 имеем k -S1 п p(fa1) = npfp p alpcp =°. Следовательно, np: p p . В таком случае k -S2 k -S2 nnppp p apcp = nnp (fa2) = n2 pp p apcp. , S2 Поэтому (nnp - n2)\p p . Поскольку s'p ф 0, то n2:p почти для всех p 6Л1. То есть n2 =0, а значит, fa2 6 T(A). ■ Лемма 2.Если для базисных векторов a1 и a2 существуют прообразы при отображении f 6 E(A) и f - автоморфизм для каждой p-компоненты Ap , то f - автоморфизм группы A. Доказательство. Поскольку f - автоморфизм для каждой p -компоненты Ap , то f - мономорфизм группы A и автоморфизм группы П Ap. Для доказательства p6P предложения таким образом необходимо показать, что f - эпиморфизм. Поскольку f L - автоморфизм для любого p 6 P , то для любого элемента группы A конечp ного порядка найдётся прообраз при отображении f. Поэтому далее будет рассмотрен случай бесконечных векторов. Обозначим прообразы для векторов a1 и a2 через b1, b2 соответственно. Покажем теперь, что для любого бесконечного вектора a 6 A элемент f l(a) 6 C. Так как a 6 A , найдутся такие m, n2 6 Z, at 6 T(A), что справедливо следующее равенство: ma = m1a1 + m2a2 + at. Заметим, что поскольку f- автоморфизм группы П Ap, то прообраз f 1(a) p6P существует, поскольку a 6 A сД Ap. Проверим, принадлежит ли f l(a) p6P группе A: mf l(a) = f l(ma) = f l(m1a1 + m2a2 + at) = = mj-1 (a1) + m2 f _1(a2) + f-1 (at) = = m1b1 + m2b2 + f-1 (at). Ввиду того, что f- автоморфизм для каждой p-компоненты Ap , то f ^(at) £ A . Тогда m1b1 + m2b2 + fl(at) £ A , а значит, и mf-1 (a) £ A . Следовательно, f - эпиморфизм группы A. ■ Лемма 3. Если существует такое конечное подмножество QcP, что f -чистый элемент в Е( ф Ap), то f - чистый элемент в Е(A). p£P\Q Доказательство. Обозначим группу ф Ap через C. Заметим, что p£P\Q f 1ф A - чистый элемент кольца Е(ф p£QAp), поскольку ф £QAp - ограниф p£Q p ченная группа (см. [7]). Принимая во внимание тот факт, что A = C ф(ф p£QA p) и то, что C и фp£QAp - вполне характеристические подгруппы группы A, из [6] получим, что f - чистый элемент кольца Е(A). ■ После доказательства некоторых вспомогательных утверждений перейдем непосредственно ко второму случаю из рассмотренного нами плана (Л1 пЛ 2 - бесконечное множество и хотя бы одно из множеств Л1 \Л2, Л2 \Л1 - бесконечное). В следующей лемме будет рассмотрена первая часть доказательства данного случая, когда каждое из множеств Л1 \ Л2, Л2 \Л1 - бесконечное. Заметим, что для доказательства результата достаточно рассмотреть случай, когда f 2sp и f - такой эндоморфизм группы A, что fa2 e T(A), то f -чистый элемент E(A). Лемма 6. Если для бесконечного числа простых чисел p £Л2 справедливо неравенство slp Ф sp и f - такой эндоморфизм группы A, что fa2 g T(A) и fa1 g T(A), то f - чистый элемент E(A). Лемма 7. Если для бесконечного числа простых чисел p £Л2 справедливо неравенство slp > 2s2p, то кольцо E(A) - чистое. Доказательство. Как отмечалось ранее, для доказательства результата достаточно рассмотреть случай, когда f g Hom(A, T(A)). Согласно лемме 5, в случае, когда fa2 £ T(A), f - чистый элемент E(A). Поскольку мы рассматриваем случай f g Rt, то, учитывая условия на множества Л1 \ Л2 и Л2 \ Л1, можно показать, что fa1 g T(A). Следовательно, в случае, когда fa2 g T(A), выполнено условие леммы 6 и f - чистый элемент E(A). Таким образом, мы показали, что E(A) - чистое кольцо. ■ Лемма 8. Если для бесконечного числа простых чисел p £Л2 справедливо неравенство slp < 2s2p, то кольцо E(A) - чистое. Доказательство. Как отмечалось ранее, для доказательства результата достаточно рассмотреть случай, когда f g Hom(A, T(A)). Поскольку множество Л1 \ Л2 - бесконечное, а множество Л2 \ Л1 - конечное, то, как отмечалось в лемме 7, fa1 g T(A). Покажем, что в условиях данной леммы fa2 g T(A). Предположим противное: что fa2 £ T(A). Поскольку множество Л1 \ Л2 - бесконечное, а множество Л2 \ Л1 - конечное, то для любого эндоморфизма f группы A образ fa2 может зависеть только от одного образующего вектора a2. Таким образом, найдутся такие целые n, n2, n , n^, n2 £ Z и a[, a'2 £ T(A), что nfa2 = n2 a2 + a2 ; (5) n fa1 = n1 a1 + n2 a2 + a[. (6) Далее, перейдя во втором равенстве к p-компонентам, можно прийти к следующему выражению: (pkp-sp (ny ppSP - n1 )a1p - n'2 a 2ppkp ~sp )i pkp. (7) Рассмотрим далее два случая: 1. Для бесконечного числа p £Л2 справедливы неравенства sp < sp < 2sp . 2. Для бесконечного числа p £Л2 справедливо неравенство sp < sp . Начнём с первого случая: для бесконечного числа p £Л2 справедливы неравенства sp < slp < 2sp . Поскольку sp < sp, то из (7) следует, что n1 =0 . То есть выражение (7) примет вид (pkp-sp + spnypa1p -n2pkp'sp )• pkp. Далее, поскольку slp < 2sp, то kp - slp + sp > kp - sp . Значит, (p ^ -spny p ap - n2)i /p. Следовательно, n2 =0. В итоге мы получили, что fa1 e T(A). Рассмотрим далее случай, когда справедливо второе условие: для бесконечного числа p eЛ2 справедливо неравенство slp < sp . Тогда kp - slp > kp - sp и из выражения (7) будет следовать (/p -sp (ny p/p - n1)ap - n2 a p )i . Это, в свою очередь, приведёт к тому, что n2 =0. В таком случае из (7) получим, , s2 , s1 , что (n уpp p - n1): p p , а значит, n1 =0. В итоге получили, что fa1 e T(A). Таким образом, выполнено условие леммы 6 и f - чистый элемент E(A). Следовательно, показали, что E(A) - чистое кольцо. ■ Лемма 9. Если для бесконечного числа простых чисел p бЛ2 справедливо равенство slp = sp ,то кольцо E(A) - чистое. Доказательство. Для доказательства результата достаточно рассмотреть случай, когда f g Hom(A, T(A)). Поскольку множество Л1 \ Л2 - бесконечное, а множество Л2 \ Л1 - конечное, то, как отмечалось в лемме 7, fa1 g T(A). Рассмотрим вначале случай, когда fa2 eT(A). Сразу отметим, что если разность множества Л2 и множества, для которого справедливы указанные выше равенства slp = s2p, есть бесконечное множество (обозначим данное множество через Л), то fa1eT(A). Действительно, если для любогоp бЛ будет справедливо неравенство slp Ф sp, то, с учётом условия fa2 e T(A), получим n1 =0. Последнее, в свою очередь, означает, что n fa1 = n2 a2 + a(. С другой стороны, из равенства (7) следует, что при выполнении равенства slp = sp для бесконечного множества p e Л2 справедливо n2: p, то есть n2 =0 и fa1 e T(A). Полученное противоречие означает, что при fa2 e T(A) равенство slp = sp справедливо почти для всех p eA2. Таким образом, остаётся рассмотреть ситуацию, когда почти для всех p бЛ2 справедливо равенство sp = sp = sp . Из равенства (7) почти для всех p бЛ2 получим (n1 a1p- n2 appp. Перейдём в группе A/T(A) к новому базису: b1 + T(A) = (n1 a1 - n2a2) + T(A), b2 + T(A) = a2 + T(A). Очевидно, что векторы нового базисы выражаются через векторы старого и наоборот. Рассмотрим теперь проекции вектора ' ' '1 ' 2 kp -s b1 = n1a1 - n2a2 : почти для всех p eЛ2 пpb2 = (n1 ap - n2ap)p p pcp = 0 . Таким образом, пришли к ситуации, описанной в начале данной статьи, когда группу A можно представить в виде прямой суммы двух групп ранга 1 и ограниченной периодической группы: A = ( П Ap )ф( П Ap)ф( П Ap), p£A^Q p£A 2\Q p£Q где Q - конечное множество простых чисел, в которое входит P \(иг=12Лг-), а также все простые числа p £Л2, для которых не выполнено равенство sp = sp = sp . Учитывая полученные ранее результаты для случая SP -групп ранга 1 [1], можем утверждать, что группа A обладает чистым кольцом эндоморфизмов. Перейдём к случаю, когда fa2 g T(A). Аналогично предыдущему случаю рассмотрим вначале вариант, когда разность множества Л2 и множества, для которого справедливы равенства slp = sp, является бесконечным множеством (ранее мы обозначили данное множество через Л ). Тогда получаем, что условия леммы 6 выполнены, а значит, f - чистый элемент E(A). Рассмотрим ситуацию, когда fa2 gT(A) и почти для всех p£Л2 справедливо .,1во Г1 - Г£Л2 равенство sp = s = sp . Запишем равенство (5) покомпонентно: почти для всех nnp (п pa2) = П p (nfa2 ) = П p (n2 a2) = n2П p (a2). Отсюда следует, что (nnp - n2)): p p почти для всех p £Л2. При этом очевидно, что (np, p) = 1. Далее рассмотрим покомпонентно равенство (6): почти для всех p £ Л1 \ Л2 nnp(пpa1) = пp(nfa) = пp(n1 a1 + n2a2) = пp(n1a1) = n1 пp(a1). Отсюда следует, что (nnp - n): p для бесконечного числа p £Л1 \ Л2. Следовательно, либо (np, p) = 1 почти для всех p £Л1, либо n1 =0. В первом случае, аналогично доказательству леммы 4, легко показать, что существует такое прямое слагаемое C группы A, что f - мономорфизм на C, причём A = Cф(ф p£QAp), а QcP - конечное множество. Кроме того, аналогично подходу, изложенному в доказательстве леммы 4, можно показать, что существуют прообразы проекций базисных векторов на группу C, что вместе с леммами 2 и 3 означает чистоту f в кольце E(A). Рассмотрим подробнее второй вариант. В этом случае равенство (6) покомпонентно можно представить в следующем виде: почти для всех p £Л2 nnp (п pa1) = n2 П p (a2). Тогда (nnpa)p - n2ap): p p. Домножим обе части равенства на n и воспользуемся равенством nnp = p p 5 + n2. Получим (n (pSp 5p + n2)a1p - nn2ap )i p"p. Отсюда следует, что (n n2a)p - nn2a2p): p p . Далее, аналогично рассуждениям, изложенным в доказательстве данной леммы для случая fa2 e T(A), легко показать, что группу A можно представить в виде прямой суммы двух групп ранга 1 и ограниченной периодической группы, что, в свою очередь, будет означать чистоту кольца эндоморфизмов группы A. Таким образом, для каждого из рассмотренных случаев fa2 e T(A) и fa2 g T(A) мы доказали чистоту E(A). ■ Следующее предложение завершает доказательство второго случая из предложенного плана доказательства основного результата (Л1 пЛ2 - бесконечное множество и хотя бы одно из множеств Л1 \ Л2, Л2 \ Л1 - бесконечное). Предложение 1. Если хотя бы одно из множеств Л1 \ Л2, Л2 \ Л1 - бесконечное, то кольцо E(A) - чистое. Доказательство. Как отмечалось ранее, для доказательства результата достаточно рассмотреть случай, когда f g Hom(A, T(A)). Для начала отметим, что если оба множества Л1 \ Л2, Л2 \ Л1 - бесконечные, то выполнены условия леммы 4, а значит, кольцо E (A/T (A)) будет чистым. Тогда нам остаётся рассмотреть случай, когда только одно из множеств, не умаляя общности, можно считать, что это множество Л1 \ Л2 является бесконечным. При этом множество Л2 \ Л1 - конечное. Принимая во внимание результаты, доказанные в леммах 7 - 9, получаем, что кольцо E(A) - чистое. ■ Далее переходим к доказательству последнего, третьего случая из плана доказательства основного результата данной работы (Л1 п Л2 - бесконечное множество, и при любом выборе базисных векторов Л1 \ Л2, Л2 \ Л1 - конечные множества). Вначале рассмотрим случай, когда почти для всех p e P справедливо равенство slp = sp (лемма 10 - 13). Заметим, что в последующих двух леммах доказательства носят технический характер и используют лишь те приёмы и методы, которые уже применялись в представленных ранее доказательствах. В связи с этим, поскольку полученные результаты носят лишь вспомогательный характер, доказательство данных лемм не приводится. Уточним действие произвольного эндоморфизма f eE(A) на базисных векторах: nfa1 = n1a1 + n2 a2 + aj, kfa2 = k1a1 + k2a2 + a2t , где n,k e N , n1,n2,k1,k2 e Z , aj,at e T(A). При этом fcp = npcp, где cp - образующие Ap , np e Z . Аналогично предыдущим доказательствам будем рассматривать случай, когда f g Hom(A, T(A)). Кроме того, во всех дальнейших результатах (леммы 10 - 13) будем полагать справедливость следующего условия: при любом выборе базисных векторов Л1 = Л2 = P и почти для всех p e P справедливо равенство s\ = sp . Лемма 10. Если np : p для бесконечного множества p е P , то справедливы следующие утверждения: • k2 n1 - k1n2 , • kni - П^2 , • k1, k2, n1, n2 Ф 0, • np : p почти для всех p е P . Лемма 11. Если k2n1 - k1n2, то np : p почти для всех p е P . Лемма 12. Если np : p для бесконечного множества p е P , то f - чистый элемент E(A). Доказательство. Согласно лемме 10, выполнены равенства k2n1 - k1n2 ; (8) kn1 - -nk2 . (9) Кроме того, k1, k2, n1, n2 Ф 0 и np: p почти для всех p е P . Множество всех тех p е P , для которых (np, p) - 1, обозначим через й . Добавим к нему также все простые числа p е P , которые участвуют в разложении чисел n, k, k1. Рассмотрим прямое разложение A - Cф(фpеQAp) и докажем, что эндоморфизм u - 1- f является автоморфизмом группы C. Ввиду выбора множества й очевидно, что u |A - автоморфизм почти для всех p е P \ й . Докажем, что существует также прообраз элемента nC (a1). Рассмотрим элемент b1 е C, для которого справедливо равенство mb1 - m1 nC (a1) + m2nC (a2), где m - -k1kx, m1 - k1 x(k2 -k), m2 - k^x, xей . В таком случае справедливо следующее равенство: mnkub1 - nku(m1a1 + m2a2 + bt) - nk (1 - f)(m1a1 + m2a2 + bt) - = nk(m1a1 + m2 a2) - m1k(n1a1 + n2 a2) - m2n(k1a1 + k2 a2) + bt - = (nkm1 -m1kn1 -m2nk1)a1 + (nkm2 -m1kn2 -m2nk2)a2 + bt. При этом легко убедиться в справедливости следующих равенств: nkm1 + m1kn1 + m2 nk1 - mnk, nkm2 - m1kn2 - m2nk2 - 0. Таким образом, получаем, что mnk ub1 - mnk nC (a1). Отсюда следует, что kk1kn(ub1 -nC (a1)) - 0. Напомним, что в множество й входят все простые числа из P, которые участвуют в разложении следующих чисел: n, k, k1. Учитывая этот факт, можем утверждать, что ub1 -nC (a1) - 0. Аналогично можно показать, что для элемента nC (a2) прообразом будет элемент b2 е C , для которого справедливо равенство lb1 - l1nC (a1) +12nC (a2), где l - k , l1 - k1, l2 - k + k2. Согласно лемме 2, u - автоморфизм группы C, поскольку существуют прообразы для каждого из базисных векторов и u |A - автоморфизм почти для всех p e P \ Q. Значит, f чистый элемент кольца эндоморфизмов группы C . Тогда из леммы 3 следует, что f - чистый элемент кольца E(A). ■ Лемма 13. Если (np, p) = 1 почти для всех p e P , то f - чистый элемент E( A). Доказательство. Согласно условиям леммы, (np, p) = 1 почти для всех p e P . Множество всех тех p e P , для которых (np, p) = p, обозначим через Q . Добавим к нему также все простые числа p e P , которые участвуют в разложении чисел n, k,(k1n2 - k2n1). Рассмотрим прямое разложение A = Cф(фpeQAp), докажем, что эндоморфизм f является автоморфизмом группы C . Ввиду выбора множества Q очевидно, что f |A - автоморфизм почти для всех p e P \ Q . Докажем, что существует также прообраз элемента nC (a1). Рассмотрим элемент b1 e C, для которого справедливо равенство mb1 = m1nC (a1) + m2nC (a2), где m = k2n1 - k1n2, m1 = nk2, m2 = -kn2. Принимая во внимание лемму 11, легко показать, что k2n1 - k1n2 Ф 0 и k1, n1 не могут одновременно равняться нулю, что также справедливо и для k2, n2. В таком случае справедливо следующее равенство: mnk fb1 = nk f (m1a1 + m2 a2 + bt) = = m1k(n1a1 + n2 a2) + m2 n(k1a1 + k2 a2) + bt = = (m1kn1 + m2 nk1)a1 + (m1kn2 + m2 nk2)a2 + bt. При этом легко убедиться в справедливости следующих равенств: m1kn1 + m2 nk1 = mnk, m1kn2 + m2 nk2 = 0. Таким образом, получаем, что mnk fb1 = mnk nC (a1). Отсюда следует, что kn(k2n1 - k1n2)(fb1 - nC(a1)) = 0. Напомним, что в множество Q входят все простые числа из P , которые участвуют в разложении следующих чисел: n,k,k2n1 - k1n2. Учитывая этот факт, можем утверждать, что fb1 -nC(a1) = 0. Аналогично можно показать, что для элемента nC (a2) прообразом будет элемент b2 e C , для которого справедливо равенство lb1= l1nC (a1) +12nC (a2), где l = k1n2 - k2n1, l1 = k1n , l2 = -kn1. Согласно лемме 2, f - автоморфизм группы C , поскольку существуют прообразы для каждого из базисных векторов и f |A - автоморфизм почти для всех p e P \ Q . Значит, f - чистый элемент кольца эндоморфизмов группы C. Тогда из леммы 3 следует, что f - чистый элемент кольца E(A). ■ Лемма 14. Если при любом выборе базисных векторов Л1 \ Л2 , Л2 \ Л1 - конечные множества и почти для всех p е P справедливо равенство slp - sp , то E(A) - чистое кольцо. Доказательство. Заметим, что, не умаляя общности, можно считать, что Л1 - Л2 - P , поскольку прямые суммы p-компонент, относящихся к множествам Л1 \ Л2, Л2 \ Л1 и P \ (Л1 и Л2) можно выделить конечными прямыми слагаемыми, каждое из которых, согласно [1], будет обладать чистым кольцом эндоморфизмов и будет вполне характеристической подгруппой. Тогда, учитывая [6], вопрос изучения чистоты E(A) сведётся к прямому слагаемому, являющемуся дополнением к указанных выше прямым слагаемым, то есть к A|(QреК ПЛ Ap). Пусть f е E(A). Сразу заметим, что в случае, когда f е Hom(A, T(A)), согласно предыдущим результатам f - чистый элемент E(A). Поэтому далее рассмотрим случай, когда f g Hom(A,T(A)). В этом случае, согласно леммам 12 и 13,f - чистый элемент E(A). ■ Теперь, для завершения доказательства третьего случая из плана доказательства основного результата нам остаётся рассмотреть условие, когда почти для всех p е P справедливо неравенство slp Ф sp (леммы 15 - 19). Аналогично предыдущим доказательствам будем считать, что f g Hom(A, T(A)). Кроме того, во всех дальнейших результатах (леммы 15 - 18) будем полагать справедливость следующего условия: при любом выборе базисных векторов Л1 - Л 2 - P и для всех p ей справедливо неравенство slp > s p (QcF - бесконечное множество). Заметим, что доказательство следующей леммы носит технический характер и используют лишь те приёмы и методы, которые уже применялись в представленных ранее доказательствах. В связи с этим, поскольку полученные результаты носят лишь вспомогательный характер, доказательство данной леммы не приводится. Лемма 15. Справедливы следующие утверждения: • kfa2 - k2 a2 + at; • если np: p для бесконечного числа p ей, то - nfa1 - n2 a2 + aj, - fa2 е T(A), то есть np: p почти для всех p е P , - почти для всех p е P справедливо неравенство slp > sp ; • если (np, p) - 1 почти для всех p ей, то k2, n1 Ф 0. Лемма 16. Пусть f е E( A) и np : p для бесконечного числа p ей, тогда f -чистый элемент E(A). Доказательство. Согласно лемме 15, неравенство slp > sp справедливо почти для всех p е P . Кроме того, fa2 е T(A), то есть np : p почти для всех p е P и nfa1 - n2a2 + aj, где n,Z\{0}, aj е T(A). Множество всех тех p е P , для которых (np, p) = 1, обозначим через Q . Добавим к нему также все простые числа p e P , которые участвуют в разложении числа n. Рассмотрим прямое разложение A = Cф(фpeQAp) и докажем, что эндоморфизм u =1 - f является автоморфизмом группы C. Ввиду выбора множества Q очевидно, что u |A - автоморфизм для всех p e P \ Q. Докажем, что существует также прообраз элемента nC (a1). Рассмотрим элемент b1 e C, для которого справедливо равенство mb1 = m1 nC (a1) + m2nC (a2), где m = n, m1 = n, m2 = n2. В таком случае справедливо следующее равенство: mn ub1 = n u(m1%Ca1 + m2nCa2) = n (1 - f )(m1nCa1 + m2nCa2) = = n(m1nCa1 + m2nCa2) - m1n2 nCa2 + bt = nm1nCa1 + (nm2 nCa2 - m1n2 nCa2) + bt = = nnnCa1 + (nn2 nCa2 - nn2nCa2) + bt = mnnCa1 + bt. Таким образом, получаем, что mn ub1 = n2 nC (a1) + bt. Отсюда следует, что n 2(ub1 - nC (a1)) e C . Напомним, что в множество Q входят все простые числа из P , которые участвуют в разложении n. Учитывая этот факт, можем утверждать, что ub1 - nC(a1) = 0. Легко показать, что существует такой b2 eT(A), что a2 = u(a2 + bt2). Согласно лемме 2, u - автоморфизм группы C , поскольку существуют прообразы для каждого из базисных векторов и u ^ - автоморфизм для всех p e P \ Q. Значит, f - чистый элемент кольца эндоморфизмов группы C. Тогда из леммы 3 следует, что f- чистый элемент кольца E(A). ■ Лемма 17. Пусть f e E(A) и (np, p) = 1 почти для всех p e P , тогда f -чистый элемент E(A). Доказательство. Согласно лемме 15, kfa2 = k2a2 + at2, кроме того, k2, njf0. Согласно условиям леммы, (np, p) = 1 почти для всех p e P . Множество всех тех p e P , для которых (np, p) = p, обозначим через Q . Добавим к нему также все простые числа p e P , которые участвуют в разложении чисел n, k, k2, n1. Рассмотрим прямое разложение A = Cф(фpeQAp), докажем, что эндоморфизм f является автоморфизмом группы C . Ввиду выбора множества Q очевидно, что f ^ - автоморфизм для всех p e P \ Q . Докажем, что существуют также прообразы для элементов nC (a1) и nC (a2). Заметим, что в лемме 13 было доказано, что для эндоморфизма f удовлетворяющего условию (np, p) = 1 почти для всех p e P , существуют прообразы для элементов nC (a1) и nC (a2). Несложно показать, что найденные в доказательстве леммы 13 элементы будут прообразами для nC (a1) и nC (a2) в условиях данного предложения: kfa2= k2 a2 + at и k2, n1 Ф 0. Тогда, согласно лемме 2, f- автоморфизм группы C, поскольку существуют прообразы для каждого из базисных векторов и f |A - автоморфизм почти для всех p е P \ й . Значит, f - чистый элемент кольца эндоморфизмов группы C. Тогда из леммы 3 следует, что f - чистый элемент кольца E(A). ■ Лемма 18. Пусть f е E( A) и (n , p) - 1 почти для всех p ей (йcP - бесконечное множество), тогда f- чистый элемент E(A). Доказательство. Согласно лемме 15, kfa2 - k2a2 + at2, кроме того, k2,n1 Ф 0. Предположим, что почти для всех p е P ей выполнено равенство slp - sp . Согласно лемме 10, (np, p) - 1 почти для всех p е P \ й, так как в противном случае kfa2 - k1a1 + k2a2 + a2t , где k1 е Z \{0}. Следовательно, (np, p) - 1 почти для всех p е P . Рассмотрим альтернативный случай, когда почти для всех p е Pей выполнено неравенство slp Ф s2p. Предположим, что для бесконечного числа p е P ей справедливо np:p . Тогда, согласно лемме 16, np:p почти для всех p е P , что противоречит условиям предложения. Следовательно, (np, p) - 1 почти для всех p е P . Таким образом, (np, p) - 1 почти для всех p е P . Тогда, согласно лемме 17, f - чистый элемент E(A). ■ Лемма 19. Если при любом выборе базисных векторов Л1 \ Л2 , Л2 \ Л1 - конечные множества и для бесконечного множества чисел p е P справедливо неравенство slp Ф s2p ,то E(A) - чистое кольцо. Доказательство. Заметим, что, не умаляя общности, можно считать, что Л1 - Л2 - P , поскольку прямые суммы p -компонент, относящихся к множествам Л1 \ Л2, Л2\ Л1 и P \(Л1 и Л2) можно выделить конечными прямыми слагаемыми, каждое из которых, согласно [1], будет обладать чистым кольцом эндоморфизмов и будет вполне характеристической подгруппой. Тогда, учитывая [6], вопрос изучения чистоты E(A) сведётся к прямому слагаемому, являющемуся дополнением к указанным выше прямым слагаемым, то есть к A|(Qре^ пЛ Ap). Пусть f е E(A). Сразу заметим, что в случае, когда f е Hom(A, T(A)), согласно предыдущим результатам, f - чистый элемент E(A). Поэтому далее рассмотрим случай, когда f g Hom(A, T(A)). В этом случае, согласно леммам 16, 18, f - чистый элемент E(A). ■ Следующее предложение завершает доказательство третьего случая из предложенного плана доказательства основного результата (Л1 пЛ 2 - бесконечное множество и при любом выборе базисных векторов Л1 \ Л2, Л2 \ Л1 - конечные множества) и непосредственно следует из лемм 14 и 19. Предложение 2. Если при любом выборе базисных векторов Л1 \ Л2 , Л2 \ Л1 конечные множества, то E(A) - чистое кольцо.

Скачать электронную версию публикации