Modeling of axisymmetric viscous flows of incompressible fluid by the boundary element method.pdf Метод граничных элементов (МГЭ) является эффективным средством решения различных задач механики сплошных сред, в частности задач динамики жидкости. Существуют различные его варианты, причем главная разница в используемых подходах обусловлена выбором прямой или непрямой формулировки метода [1, 2]. Соотношения непрямого МГЭ для плоских и пространственных течений вязкой жидкости и примеры расчетов приведены в [3, 4]. Данный подход позволил провести ряд исследований практически важных двумерных течений, характерной особенностью которых является наличие свободной поверхности [5-8]. Возможен учет нелинейного поведения жидкости [9]. В некоторых случаях течение имеет осевую симметрию. Например, при заполнении цилиндрических пресс-форм или растекании капли жидкости по горизонтальной поверхности. Тогда становится возможным существенно упростить трехмерный анализ, сведя его практически к решению задачи в одной плоскости, проходящей через ось симметрии. Для этого необходимо использовать вместо декартовой цилиндрическую систему координат и соответствующие ей выражения для фундаментальных сингулярных тензоров скоростей и усилий. Последний необходим при моделировании течений со свободной поверхностью. Этому вопросу посвящено значительное количество работ, в основном касающихся теории упругости, например [10, 11]. В [12] приводятся соотношения для компонент фундаментального тензора скоростей (в том числе проинтегрированных по угловой координате) для уравнений Стокса при использовании прямого МГЭ. В итоге получаются довольно громоздкие формулы, содержащие различные комбинации эллиптических интегралов первого и второго рода. Как следует из работ по теории упругости, для усилий получаются еще более сложные выражения [13]. В настоящей работе приводится полный вывод выражений для компонент фундаментальных тензоров скоростей и усилий в цилиндрической системе координат, необходимых для решения осесимметричных задач динамики вязкой жидкости, и формулируется гранично-интегральная постановка задачи в непрямом представлении. Проверка полученных соотношений проведена с помощью решения смешанной краевой задачи (с граничными условиями первого и второго рода), имеющей аналитическое решение. Фундаментальные сингулярные решения уравнений Стокса в осесимметричном случае Уравнения Стокса и неразрывности для случая единичной сосредоточенной силы, действующей в точке 4 в направлении Л декартовой системы координат можно записать в безразмерной форме в виде dxJ дыЛ = bikS(xk -%k), (1) = 0, (2) dx где -2 = - r5 sin 94, >-3 = zx - z5. Тогда, используя формулы (3) - (6), получим выражения для компонент фундаментального тензора скоростей в цилиндрической системе координат: 1 < (x, 4) = - 8п uZ (x, 4) = -Ur (x, 4) = - (7) cos 8; cos 8; (rx + r; ) - ГхГ; (cos 8;+ 1) P P 1 (zx - )(rx cos e;- r;) 8n p3 ' 1 (zx - )(rx - r; cos 0;) 2 8n р 1 +(zx - ) < (x, 4) = -J-8n При решении задач со смешанными краевыми условиями (например, при наличии свободной поверхности) на части границы области задаются компоненты вектора усилий: tr = °ijnj, Рис. 2. Орты систем координат 0 rx Рис. 1. Системы координат где nj - компоненты внешней нормали к границе в точке x. Выражения (8), (3) позволяют получить формулу для компонент фундаментального тензора усилий для уравнений Стокса в декартовой системе координат: • У,У,Укп,(x). 4пр5 Поступая совершенно аналогично предыдущему, получим компоненты этого тензора в цилиндрической системе координат: r3 t;(x4) = ТТ( -r;cose;)(rxcosе; -r;)\_пг ( -r;cosе;) + nz ( -z; )\, 4пр r3 t; (x, 4) = -- (zx - z; ) (rx cos 0; - r; ) ) (rx - r; cos 0; ) + nz ( - z; ), 4np 3 t; (x, 4) = ■-- (zx - z; ) (rx - r; cos 0; ) \nr (rx - r; cos 0; ) + nz (zx - z; ), 4np 3 2 К(x, 4) = -- (zx - z;) \nr (rx - r; cos e;) + nz (zx - z;). 4np Соотношения (7), (9) позволяют перейти к гранично-интегральной постановке краевой задачи (1), (2) в осесимметричном случае. Гранично-интегральная формулировка задачи и метод решения (8) tk (x, 4)=- (9) Течение рассматривается в осесимметричной области Q с поверхностью S, получаемой вращением образующей Г вокруг оси z (рис. 3). Рис. 3. Область течения Само течение также осесимметричное, т.е. скорость движения жидкости зависит только от r, z и не зависит от угловой координаты 9. В соответствии со стандартными представлениями теории потенциала будем считать, что по поверхности S области Q распределены фиктивные силы с плотностью на единицу площади S равной ф(4). Таким образом, используется представление, аналогичное тому, что приводит к понятию потенциала простого слоя. Причем вектор ф(4) в силу осесимметричности имеет вид ф(4) = Ф,£г(4) + Фг£г(4). Тогда, используя принцип суперпозиции и фундаментальные решения, соответствующие единичным сосредоточенным силам ez(4), ez(4), можно записать для точек x0, принадлежащих образующей Г: ur (Х0) = J [фг (4)urr (Х0,4) + фz (4W'r (X0, 4)] dГ (4), (10) г uz (X0) = J [фг (4W (X0, 4) + фz (4)«zz (X0, 4)] dГ(%), (11) r tr (X0) = J [фг (4)?rr (X0, 4) + Фz (4)?rz (X0, 4)] dГ(4), (12) r tz (X0) = J [фг (4)tr (X0, 4)+фz (4)?zz (*0, 4)] dr(4), (13) (14) где 2n 2n К(X0, 4) = r%J ur(X0,4)de^, uz (X0,4) = nqJ u'z (X0,4)de^, 0 0 2n 2n К(x0, 4) = zqJ uZ (X0 , 4)d, К(x0, 4) = zqJ ul(X0 , 4)d, 0 0 2n 2n tr (X0, 4) = rj tr (X0, 4)de5, tz (X0, 4) = zj tz (X0, 4)de5, 0 0 2n 2n tz (X0, 4) = zj tzr (X0, 4)de5, fzz (X0, 4) = z J ti (X0, 4)de5, 00 а также принято во внимание, что элемент поверхности S равен dS(4) = r^ d9^ dr(4). В уравнениях (10) - (13) подразумевается, что точка 4 принадлежит образующей Г. Краевые условия в общем случае заключаются в том, что на части образующей Г задано значение вектора скорости (твердая стенка либо входная или выходная граница), а на другой части вектор усилий (свободная поверхность или граница раздела). Таким образом, левая часть в уравнениях (10) - (13) известна и задача заключается в определении неизвестной функции плотности ф(4). После этого по формулам, аналогичным (10) - (13), можно найти значения вектора скорости и других характеристик течения в любой внутренней точке x. Основные уравнения (10) - (13) можно записать в компактной форме: u (X)) = J "i (х0, П)фj (n)dГ(п), (15) r ti(xQ) = Jt/ (*0,п)фj(n)dГ(п), (16) r где индексы i, j = 1, 2 соответствуют координатам Пъ"П2, т.е., фактически r и z (рис. 4). 2п Тогда и/ (X0, п) = П J u/ (X0, n)de^, (17) 0 2п t/ (X0, п) = П1 J tj (X0, n)de^, (18) 0 причем точки п^Г. Уравнения (15), (16) практически тождественны уравнениям для плоского случая, поэтому для их решения можно использовать метод, приведенный в [3]. Главное отличие заключается в том, что соответствующие интегралы крайне затруднительно вычислить аналитически, поэтому используются стандартные численные квадратуры. Отметим, что подынтегральное выражение в (15) имеет слабую особенность, эквивалентную ln р. Интеграл (16) существует в смысле главного значения по Коши, поэтому при совпадении точек x0 и ц следует использовать анализ, проведенный в [14]. Это означает, что диагональные элементы матрицы, получаемые после дискретизации задачи (рис. 4) равны 18ifqj (x0). 2 z,n 2 r ,П1 Рис. 4. Гранично-элементная дискретизация Вычислительные свойства получаемой в итоге системы линейных алгебраических уравнений аналогичны плоскому случаю. Поэтому при получении решения были использованы технологии параллельных вычислений хорошо зарекомендовавшие себя ранее [15]. Решение тестовой задачи Краевые условия тестовой задачи представлены на рис. 5, причем в качестве масштаба длины R выбран радиус цилиндрической трубы, а масштаба скорости U - средняя скорость течения. Очевидно, что решение уравнений Стокса при таких условиях соответствует течению Пуазейля. Целью является проверка полученных выше соотношений НМГЭ, включая формулы для фундаментальных сингулярных решений (7), (9) путем сравнения с известным аналитическим решением. Отметим, что представленная краевая задача имеет все основные типы граничных условий, которые встречаются в практических приложениях, а именно: входная граница, твердая стенка и выходная граница с заданными значениями компонент вектора усилий (аналог свободной поверхности, либо границы раздела). Одновременно проверяется возможность использования простых численных квадратур (типа формул Гаусса) для вычисления интегралов со слабыми особенностями. t1 = -4П1, t2 = 0 П1 u 1 = 0, u2 = 2(1-n12) Рис. 5. Тестовая краевая задача Результаты вычислений представлены на рис. 6 и 7. Аппроксимационная сходимость оценивалась в норме L2, т.е. отклонение профиля скорости, рассчитанного на выходной границе от аналитического, вычислялось по формуле e=N iV (up - ua )2, N i=1 где up - рассчитанные значения аксиальной компоненты вектора скорости на выходной границе, и" - аналитические значения, i - номер узла (середины) i-го граничного элемента, N - количество элементов на выходной границе. Общее число граничных элементов равно 3N. Полученные результаты подтверждают работоспособность изложенного в работе варианта НМГЭ. Рис. 6. Профили аксиальной скорости Рис. 7. Аппроксимационная сходимость на выходной границе для различных N в норме L2 Заключение Получены выражения для компонент фундаментальных тензоров скоростей и усилий, необходимых для моделирования ползущих течений вязкой жидкости в осесимметричном случае. Представлен упрощенный вариант непрямого метода граничных элементов, основанный на численном вычислении всех необходимых интегралов, включая интегралы со слабыми особенностями. Достоверность приведенных в работе соотношений подтверждена решением тестовой краевой задачи.

Скачать электронную версию публикации