On the existence of G ₂ class structures on a strictly nearly Kahler sixdimensional manifold.pdf Пусть (M, g, J, ю) - почти эрмитово многообразие, где g - риманова метрика, J - почти комплексная структура, согласованная с метрикой g: g(JX, JY) = g(X, Y), для произвольный векторных полей X, Y на M, и ю - соответствующая 2-форма: ю(Х, Y) = g(JX, Y). В работе Грэя А. и Хервеллы Л. [1] приведена классификация почти эрмитовых структур и выделены шестнадцать классов таких структур. Напомним данную классификацию. Для произвольной почти эрмитовой структуры (g, J, ю) рассмотрим 3-форму: a(X, Y, Z): = VX ю(Y, Z), где V - связность Леви - Чивита метрики g. Очевидно, что определенная таким образом форма a обладает некоторыми симметриями, а именно: a(X, Y, Z) = -a(X, Z, Y) = - a(X, JY, JZ), для произвольных векторных полей X, Y, Z на M. Пусть теперь V - вещественное векторное пространство четной размерности с почти комплексной структурой J и вещественным положительно определенным скалярным произведением g, согласованным с J. Пусть W - подпространство в VQVQV, определенное следующим образом: W = { a е V*®V*®V*: a(X, Y, Z) = - a(X, Z, Y) = - a(X, JY, JZ), VX, Y, Ze V }. Оно состоит из 3-форм на V с теми же симметриями что и VXrn(Y, Z) на многообразии. Обычное представление унитарной группы U(n) на V индуцирует представление на W. На W существует естественное скалярное произведение. В [1] показано, что представление группы U(n) на W имеет четыре неприводимые компоненты, W = W1©W2©W3©W4. Из этих компонент можно образовать шестнадцать различных подпространств (включая {0} и W ). Теперь можно построить классификацию почти эрмитовых многообразий. Для произвольного почти эрмитова многообразия (M, g, J, ю) существует представление группы U(n) на каждом касательном пространстве TM, VxeM. Положим 'Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ, грант 12-01-00873-а; также работа поддержана грантом Президента РФ по поддержке научных школ, проект НШ-4382.2014.1. Wx = {ае Tx M®TX M®TX M: a(X,Y,Z) = -a(X, Z, Y) = -a(X, JY, JZ), VX, Y, Z e TM). Тогда индуцированное представление группы U(n) на Wx имеет четыре компоненты, как показано выше. Пусть U - одно из шестнадцати инвариантных подпространств в W, x eM, обозначим Ux соответствующее подпространство в Wx. Будем говорить, что почти эрмитово многообразие (M, g, J, ю) принадлежит некоторому классу U, если (Vra)xe Ux, VxeM. Некоторые из этих классов хорошо изучены и широко известны. Так, например, многообразия (M, g, J, ю), принадлежащие классу W1, известны как приближенно кэлеровы и характеризуются условием VXJ(X) = 0, VX, где V - связность Леви - Чивита метрики g. Приближенно кэлеро-ва геометрия возникла благодаря концепции слабой голономии, введенной Грэем А. [2] в 1971 году. Унитарная группа U(n) является структурной группой почти эрмитова многообразия. Если группа голономии совпадает с U(n), то данное почти эрмитово многообразие является кэлеровым (принадлежит классу K = {0) cWJ VX®(Y, Z) = 0, VX, Y, Z). В ослабленном случае [2] почти эрмитово многообразие со слабой группой голономии U(n) - приближенно кэлерово. Многообразия (M, g, J, ю) е W2 называются почти кэлеровыми и характеризуются условием d

Скачать электронную версию публикации