Contact metric structures on odd-dimensional unit spheres.pdf 1. Предварительные сведения Напомним основные понятия о контактных многообразиях. Определение 1 ([1]). Дифференцируемое (2n+1)-мерное многообразие M2n+1 класса (CM) называется контактным многообразием или имеет контактную структуру, если на нем задана глобальная дифференциальная 1-форма п, такая, что П л (dn)n * 0 всюду на M2n+1. Контактная структура задает 2n-мерное распределение E, E _ {X е TM2n+1 : n(X) _ 0}, которое называют контактным распределением, и ненулевое векторное поле 4, такое, что п(4) _ 1, dX) _ 0 для всех векторных полей X на M2n+1. Это векторное поле определяет 1-мерное распределение, дополнительное к E, и называется характеристическим векторным полем контактной структуры. Определение 2 ([1]). Говорят, что дифференцируемое многообразие M2n+1 имеет (п, 4, ф)-структуру, если оно допускает поле ф эндоморфизмов касательных пространств, векторное поле 4 и 1-форму п, удовлетворяющую условиям П© _ 1, ф2 _-i + П®1, (1 где I - тождественное преобразование TM2n+1. Также имеют место следующие условия: _ 0 и п ° ф_ 0 в определении (п, 4, ф)-структуры, вытекающие из условий (1). Определение 3 ([1]). Если многообразие M2n+1 с заданной (п, 4, ф)-структурой допускает риманову метрику g, такую, что g(qX, фГ) _ g(X, Y) - п(X)n(Y) , (2) dп(X, Y) _ g(X, фГ) для любых векторных полей X, Г, тогда говорят, что M2n+1 имеет (п, 4, ф, g)-струк-туру или контактную метрическую структуру. Риманова метрика g контактной метрической структуры называется ассоциированной метрикой. Полагая Y - в равенстве (2), получим П( X) = g & X). 2. Контактная метрическая структура на S Определим контактную структуру на S3 и вычислим ее основные характеристики в координатах стереографической проекции. Рассмотрим S3 как сферу в C9, т.е. S3 = {(z1, z2) e C2: |z1|2+|z2|2 = 1}. На сфере S3 подействуем справа группой G - {e" ,0 < t < 2п} . Ее можно отождествить с единичной сферой S1. Группа G действует по правилу it /1 it 2 it \ z • e - (z • e , z • e ). Тогда S3/Sl = CP1. Получим отображение S3^CP1, которое называется расслоением Хопфа. Прообразом каждой точки из CP1 при этом отображении является окружность S1 = {elt}. Так как CP1 диффеоморфно двумерной сфере S2, тогда получим отображение S3^S2. Контактная структура на S3 строится следующим образом. Действие S1 на S3 порождает характеристическое векторное поле Его значение в комплексных координатах C2 z) = d \ (z • e") = = z • i • e" ^=0 = i • z = i(z1, z2). dt '=0 Контактная форма определяется как n( X) = g0 (§, X) для всех векторных полей X на S3, где g0 - риманова метрика. Аффинор ф определяется из соотношения dn(X, Y) = g0(X,

Скачать электронную версию публикации