On two-dimensional hyperbolic equations with power-law nonlinearity in the derivatives.pdf В современной теории уравнений в частных производных существенное место занимает анализ нелинейных гиперболических уравнений и методов их точного интегрирования [1-3]. С точки зрения общности результатов серьезный интерес представляют исследования классов нелинейных уравнений, содержащих произвольные функции [3]. Одним из наиболее эффективных методов исследования нелинейных уравнений остается метод разделения переменных. В работах [3, 4] подробно изложены основы метода и его современные варианты (обобщенное и функциональное разделение переменных). В настоящее время опубликовано достаточно много работ, посвященных исследованию нелинейных уравнений указанным методом. Так, в работах [5, 6] методом разделения переменных исследованы некоторые многомерные уравнения, содержащие однородные и мультиоднород-ные функции от частных производных. В [7-9] с помощью данного метода были получены решения некоторых нелинейных эллиптических и гиперболических уравнений. В настоящей работе этот метод применяется для построения решений двумерных гиперболических уравнений, содержащих степенные нелинейности по производным с произвольными показателями и нелинейность произвольного вида от неизвестной функции. (1) Здесь g (u)- некоторая заданная функция, рьр2 - вещественные параметры. В частном случае Р1 = Р2 = 0 уравнение (1) переходит в нелинейное волновое уравнение, сводящееся путем замены переменных к нелинейному уравнению Клейна -Гордона. В случае Р1 = Р2 = 1/2, g(u) = const (1) переходит в уравнение Гурса [3]. 1. Постановка задачи. Решения типа бегущей волны Рассмотрим нелинейное гиперболическое уравнение следующего вида относительно неизвестной функции u(x,y) : Так как уравнение (1) не содержит явно независимых переменных, то оно допускает решение типа бегущей волны: u(x, y) = U (z), z = с1 x + с2у, (2) где с1, с2 - некоторые постоянные. Подставив решение (2) в уравнение (1), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) относительно функции U (z): U" (z) = c* Л2Р2-1 g (U) (U' (z) )+P2. (3) Проанализируем решения уравнения (3) в зависимости от значений параметров Pi,P2, характеризующих нелинейность. Случай 1. р1 + р2 * 2 . Тогда уравнение (3) приводится к виду (U'(z))-(в+в2) U'(z) = C0 dG(U(z)), (4) dz где C0 = Лв2 -1, G(U) = J g (U )dU. Уравнение (4) сводится к уравнению первого порядка: И-C0G(U) + A, (5) V где v = 2 - (Р1 +Р2). Решение уравнения (5) в неявном виде запишется так: z - z0 = J[v(C0G(U ) + A)]-V dU. (6) Здесь и далее A, z0 - произвольные постоянные. В частности, при Р1 + Р2 = 0 получаем v = 2 и решение (6) принимает вид г dU (6а) J V2(C0G(U) + A) " При Р1 + P2 = 1 имеем v = 1, а решение (6) приводится к следующему: dU (6б) и J C0G(U) + A Случай 2. р1 +р2 = 2. Понижая порядок уравнения (3), аналогично предыдущему случаю, нетрудно получить решение в неявном виде: z - z0 = aJexp(-C0G(U)) dU . (7) Пример. Пусть g (u) = g0 = const. Тогда для рассмотренных выше случаев 1 и 2 из формул (6), (7) находим V (V-1)

Скачать электронную версию публикации